1控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

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Chapter1控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

1.1狀態(tài)空間模型

在經(jīng)典控制理論中，采用n階微分方程作為對控制系統(tǒng)輸入量u(t)和輸出量

或者在零初始條件下，對ny(t)之間的時域描述，

階微分方程進行Laplace變換，

得到傳遞函數(shù)作為對控制系統(tǒng)的頻域描述，“傳遞函數(shù)〞建立了系統(tǒng)輸入量

U(s)?L[u(t)]和輸出量Y(s)?L[y(t)]之間的關(guān)系。傳遞函數(shù)只能描述系統(tǒng)的外部

特性，不能完全反映系統(tǒng)內(nèi)部的動態(tài)特征，并且由于只考慮零初始條件，難以反映系統(tǒng)非零初始條件對系統(tǒng)的影響。

現(xiàn)代控制理論是建立在“狀態(tài)空間〞基礎(chǔ)上的控制系統(tǒng)分析和設(shè)計理論，它用“狀態(tài)變量〞來刻畫系統(tǒng)的內(nèi)部特征，用“一階微分方程組〞來描述系統(tǒng)的動態(tài)特性。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型描述了系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系，透露了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的運動規(guī)律，反映了控制系統(tǒng)動態(tài)特性的全部信息。1.1.1狀態(tài)空間模型的表示法

例1-1（P6例1.1.1）如下面RLC（電路）系統(tǒng)。試以電壓u為輸入，以電容上的電壓uC為輸出變量，列寫其狀態(tài)空間表達式。

例1-1圖RLC電路圖

解：由電路理論可知，他們滿足如下關(guān)系

?di(t)?Ldt?Ri(t)?uC(t)?u(t)?duC(t)?C?i(t)dt?經(jīng)典控制理論：消去變量i(t)，得到關(guān)于uC(t)的n?2階微分方程：

duC(t)dt22?RduC(t)Ldt?1LCuC(t)?1LCu(t)

對上述方程進行Laplace變換：(s2?2?s??02)UC(s)??02U(s)

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得到傳遞函數(shù)：G(s)??02220s?2?s??，?0?1LC，??R2L

現(xiàn)代控制理論：選擇???x1??i(t)?流過電容的電流i(t)和電容上的電壓uC(t)作為?????u(t)??x?2??C?2個狀態(tài)變量，n?2（2個儲能元件）；1個輸入為u(t)，m?1；1個輸出y?uC，

r?1。向量x?(x1x2)T完全描述了電路的內(nèi)部狀態(tài)，電路的動態(tài)過程，由狀態(tài)

變量的初始值x(0)和外部輸入u(t)唯一確定，輸出y(t)?uC(t)。

R11?di(t)??i(t)?u(t)?u(t)C?dtLLL?duC(t)1??i(t)C?dt由于

可列寫出矩陣形式的狀態(tài)方程如下。???1???R/L?x???????x2??1/C?1/L??x1????????0??x2??1/L???0??u(t)，y???控制矩陣B?x1?1???x??輸出矩陣C?2??0

系數(shù)矩陣A系統(tǒng)在任一時刻的狀態(tài)可以用右圖“狀態(tài)空間〞中的一個點例如M(i(t1)，uC(t1))來描述。狀態(tài)：動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)，是指能完全描述系統(tǒng)時域行為的一組相互獨立的變量組（給定變量組的初始值x(t0)和輸入函數(shù)u(t?0)，就能完全確定輸出y(t)，t?0。

狀態(tài)向量：系統(tǒng)有n個狀態(tài)變量x1(t),...,xn(t)，用這n個狀態(tài)變量作為分量所構(gòu)成的向量（尋常以列向量表示）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量：x(t)?(x1(t)...xn(t))T

n狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量x1,x2,...,xn為坐標軸所組成的n維空間，稱為狀態(tài)空間X狀態(tài)空間的每一個點均代表系統(tǒng)的某一特定狀態(tài)。系統(tǒng)在t?0時的各瞬時狀態(tài)在狀態(tài)空間中構(gòu)成一條軌線。**也可以從方程

x1?uC?C?x?1選擇x2?u?2?u??C??2?x2??02x1??02uxdu(t)dt22?Rdu(t)Ldt?1LCuC(t)?1LCu(t)出發(fā)

?1??0?x?????2?x????2????0??x1??0???u????2??????2???x2???0?12

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detsI(?A)?s?1s?2??20?s?2?s??0，這正是傳遞函數(shù)的特征方程！

?x?221選取uC(t)?y(t)作為電路輸出量，則狀態(tài)空間模型的輸出方程為y??10???x??。

?2?由此可見，一個系統(tǒng)的狀態(tài)變量的選取不是唯一的，相應的狀態(tài)空間模型也是不同的，這使得可以通過適選中取狀態(tài)變量，使系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型具有特別的結(jié)構(gòu)（能控標準型、能觀標準型、對角型、約當型等），從而極大的便利控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計。系統(tǒng)分類：

??獲得輸出信息，例如各種比例放大器；①由已知輸入信息????????

代數(shù)方程(可以是超越方程等)②由已知輸入信息?微分方程，初始條件???????獲得輸出信息，例如各種動態(tài)系統(tǒng)。1.1.2狀態(tài)空間模型的一般形式

以狀態(tài)空間模型描述系統(tǒng)行為的方法和傳遞函數(shù)不同，它把輸入對輸出的影響分成兩段來描述。第一段是輸入引起系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)發(fā)生變化，由一階向量微

?(t)?分方程xf(x(t),u(t),t)（狀態(tài)方程）來描述；其次段是系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化引

起系統(tǒng)輸出的變化，用一個代數(shù)方程y(t)??(x(t),u(t),t)（輸出方程，也稱觀測方程）來描述。本教材使用m維輸入，r維輸出。

u1y1狀態(tài)變量x1,x2,?,xnu2umy2yr圖1-1

狀態(tài)向量：x(t)?(x1(t)...xn(t))T，角標T只表示將“豎式〞寫成“橫式〞；

yr(t))T輸入向量：u(t)?(u1(t)...um(t))T，輸出向量：y(t)?(y1(t)...矩陣轉(zhuǎn)置運算：(BAB)T

?BT???BTAT???C?；??CA???????T?C?TACTT?“行矩陣〞的轉(zhuǎn)置等于分別轉(zhuǎn)置后的“列矩陣〞；“列矩陣〞的轉(zhuǎn)置等于分別轉(zhuǎn)置后的“行矩陣〞；利用矩陣的轉(zhuǎn)置運算可將“列矩陣〞表達為“行矩陣〞形式。

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對線性時變系統(tǒng)，上式可寫成如下規(guī)范形式：

?(t)?A(t)x(t)?B(t)u(t)，y(t)?C(t)x(t)?D(t)u(t)xn?1n?nn?1n?mm?1r?1r?nn?1r?mm?1對線性定常系統(tǒng)，可進一步寫成如下規(guī)范形式：

?(t)?Ax(t)?Bu(t)，y(t)?Cx(t)?Du(t)xn?1n?nn?1n?mm?1r?1r?nn?1r?mm?1物理意義：A?系數(shù)矩陣，描述狀態(tài)量本身對狀態(tài)量變化的影響；

B?輸入（控制）矩陣，描述輸入量對狀態(tài)量變化的影響；

C?輸出矩陣，描述狀態(tài)量對輸出量變化的影響；

D?直接轉(zhuǎn)移矩陣，描述輸入量對輸出量變化的直接影響；實際中，很少有輸入量直接傳遞到輸出端，因而往往D?0，故線性定常系統(tǒng)可用(A,B,C)表示。

系統(tǒng)的輸出量和狀態(tài)變量是兩個不同的概念，輸出量是人們希望從系統(tǒng)外部能測量到的某些信息，它們可能是狀態(tài)分量中的一部分，也可以是一些狀態(tài)分量和控制量的線性組合；而狀態(tài)變量則是完全描述系統(tǒng)動態(tài)行為的一組量，在大量實際系統(tǒng)中往往難以直接從外部測量得到，甚至根本就不是物理量。如何恰選中擇輸出量，要根據(jù)需要來決定，但其數(shù)量不會超過狀態(tài)分量的個數(shù)。例1-2（P11例1.1.2）：如下面彈簧質(zhì)量（機械）系統(tǒng)。忽略摩擦力，試以m1受力

u1、m2受力u2為輸入，以質(zhì)量m1的偏離平衡位置的位移y1、質(zhì)量m2偏離平衡位

置的位移y2為輸出變量，列寫其狀態(tài)空間表達式。

例1-2圖彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)P11

解：兩個質(zhì)量塊，儲存動能，三個彈簧，儲存勢能，共5個儲能元件，但由于兩端固定，三個彈簧只有兩個是“自由的〞，故只有4個狀態(tài)變量。令狀態(tài)變量為

?2，向量x?(x1?1，x3?y2，x4?yx1?y1，x2?yx2x3x4)T可完全描述系統(tǒng)

的內(nèi)部狀態(tài)；可列寫出矩陣形式的狀態(tài)方程和輸出方程如下。

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0??x?1??k?k2????1?2?m1?x???x0?3?????k2?x???4??m2?1000?0k2m10k2?k3m20????x1??0????x??2???1??x3???????0??x?4????01m1000??x1????0?u1??y1??1000??x2????????,???????0??u2?????y2??0010??x3?1?輸出矩陣C,p?n?2?4?x??4??m2?系數(shù)矩陣A,n?n?4?4控制矩陣B該系統(tǒng)為輸入m?2、輸出r?2，狀態(tài)n?4系統(tǒng)。

例1-3（P13例1.1.4）：液位系統(tǒng)模型如下圖（化工機械系統(tǒng)）。在化工過程中，往往需要將液位保持在一定高度上。穩(wěn)態(tài)時，兩水箱單位時間流入量和流出量均為Q。蓄水池1的橫截面積為S1，液面高度為h1，閥1的阻抗為R1；水箱2的橫截面積為S2，液面高度為h2，閥2的阻抗為R2。假使第一個水箱的輸入量變化u，引起水箱1液位變化x1，流出量變化y1，進一步引起水箱2液位變化x2，流出量變化y2。指定水箱2的流出量變化y2的數(shù)學模型。

?y為被控量（輸出），求出該系統(tǒng)

例1-4圖