偏微分方程數(shù)值習(xí)題解答

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李微分方程數(shù)值解習(xí)題解答1-1假使?(0)?0，則稱x0是J(x)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)）.矩陣A對(duì)稱（不必正定），求證x0是J(x)的駐點(diǎn)的充要條件是：x0是方程組Ax?b的解

證明:由?(?)的定義與內(nèi)積的性線性性質(zhì),得?(?)?

'J(x0??x)?12(A(x0??x),x0??x)?(b,x0??x)

?J(x0)??(Ax0?b,x)?'?22(Ax,x)

?(?)?(Ax0?b,x)??(Ax,x)

必要性:由?(0)?0,得,對(duì)于任何x?R,有(Ax?b,x)?0,

由線性代數(shù)結(jié)論知,

Ax?b?0,Ax?b

'n000充分性:由Ax'0?b,對(duì)于任何x?Rn,

?(0)?(Ax0?b,x)??(Ax,x)|??0?0

即x是J(x)的駐點(diǎn).§1-2

補(bǔ)充:證明f(x)的不同的廣義導(dǎo)數(shù)幾乎四處相等.

證明:設(shè)f?L(I),g,g?L(I)為f(x)的廣義導(dǎo)

02212數(shù),由廣義導(dǎo)數(shù)的定義可知,對(duì)于任意?(x)?C(I),有

?0??babg1(x)?(x)dx???f(x)?(x)dx

b'aag2(x)?(x)dx???f(x)?(x)dxab'

兩式相減,得到

?ba(g1?g2)?(x)?012???C0(I)

?由變分基本引理,g?g幾乎四處為零,即g,g幾乎四處相等.

補(bǔ)充:證明a(u,v)的連續(xù)性條件(1.2.21)

證明:設(shè)|p(x)|?M,|q(x)|?M,由Schwarz不等式

12'|a(u,v)|?|?(puv?quv)dx|?M||u||.||v||?M||u||.||v||ab'''''?2M||u||1.||v||1,其中M**?max{M,M}

'習(xí)題:

1設(shè)f(x)為f(x)的一階廣義導(dǎo)數(shù),試用類似的方法定義f(x)的k階導(dǎo)數(shù)(k?1,2,...)

解:一階廣義導(dǎo)數(shù)的定義,主要是從經(jīng)典導(dǎo)數(shù)經(jīng)過分部積分得到的關(guān)系式來定義,因此可得到如下定義:

對(duì)于f(x)?L(I),若有g(shù)(x)?L(I),使得對(duì)于任意的??C(I),有

'22?0?bag(x)?(x)dx?(?1)k?baf(x)?(k)(x)dx

則稱f(x)有k階廣義導(dǎo)數(shù),g(x)稱為f(x)的k階廣義導(dǎo)數(shù),并記g(x)?dfdxkk

注:高階廣義導(dǎo)數(shù)不是通過遞推定義的,可能有高階導(dǎo)數(shù)而沒有低階導(dǎo)數(shù).

2.利用L(I)的完全性證明H(I)(H(I))是Hilbert空間.

證明:只證H(I)的完全性.設(shè){f}為H(I)的基本列,即

||f?f||?||f?f||?||f?f||?0

21m11n''nm1n'm0nm0因此知{f},{f}都是L(I)中的基本列(按L(I)的范數(shù)).由L(I)的完全性,存在f,g?L(I),使||f?f||?0,||f?g||?0,以下證明

22nn22'n0n0||fn?f||1?0(關(guān)鍵證明g?dfdx)

由Schwarz不等式,有

|?(fn(x)?f(x))?(x)|?||fn?f||0.||?||0

ab|?(fn(x)?g(x))?(x)dx|?||fn?f||0||?||0

'''ab對(duì)于任意的?(x)?C0(I),成立

?limn???bafn(x)?(x)dx??baf(x)?(x)dx

limn???abafn(x)?(x)dx?''?bag(x)?(x)dxb'

'由?bfn(x)?(x)dx???fn(x)?(x)dxabb取極限得到?即g(x)?1ag(x)?(x)dx???f(x)?(x)dxa

f',即f?H(I),且

1''||fn?f||1?||fn?f||0?||fn?f||0?0

1故H(I)中的基本列是收斂的,H的.

3.證明非齊次兩點(diǎn)邊值問題

(I)是完全

證明:邊界條件齊次化

令u(x)????(x?a),則w?u?u滿足齊次邊界條件.w滿足的方程為Lw?Lu?Lu?f?Lu,即w對(duì)應(yīng)的邊值問題為

0000?Lw?f?Lu0(P)?'?w(a)?0,w(b)?0由定理知,問題P與以下變分問題等價(jià)求w?C2?H1E,J(w*)?minJ**(w)w?H1E其中J*(w)?12a(w,w)?(f?Lu0,w).而

J*(w)?12a(u?u0,u?u0)?(f?Lu0,u?u0)

?J~(u)?(Lu0,u)?a(u0,u)?C而(Lu0,u)?a(u0,u)??p(b)?u(b)?C2

從而J*(w)?J~(u)?p(b)?u(b)?C*

則關(guān)于w的變分問題P等價(jià)于:u?C2?H1*,u(a)??

使得

J(u*)?min1J(u)u?H

u(a)??其中J(u)?12a(u,u)?(f,u)?p(b)?u(b)

4就邊值問題（1.2.28）建立虛功原理解:令u0????(x?a),w?u?u0,則w滿足

Lw?Lu?Lu0?f?Lu0w(a)?0,w'(b)?0

等價(jià)于:?v?H1E

(Lw,v)?(f?Lu0,v)?0

求

求解得到其解為u213c2??16,c2??1212,c1?1

2?u0?(x?a)?(x?a)

Ch2橢圓與拋物型方程有限元法

§1.1用線性元求以下邊值問題的數(shù)值解:

?y?\?24y?2sin'?2x,0?x?1

y(0)?0,y(1)?0

此題改為?y?y?1,y(0)?y(1)?0,h?1/4解:取h?1/2,xj?jh(j?0,1,2),y1,y2為未知數(shù).

Galerkin形式的變分方程為(Lu,v)?(f,v),

\其中

(Lu,v)???uvdx?01\?240?uvdx01,(f,v)??2sin01?2xv(x)dx

又??uvdx??uv|0??uvdx??u'v'dx

001\'11''1因此a(u,v)??(uv?01''?24uv)dx

在單元Ii?[xi?1,xi]中,應(yīng)用仿射變換(局部坐標(biāo))??節(jié)點(diǎn)基函數(shù)為

x?xi?1h

x?xi?1??,??xi?x?xi?1?h?x?xi?1??i(x)???,??,xi?1?x?xi(i?1,2,3)

h?other?0,??a(?1,?1)??x1x0??x2x1[?1?2'2?24?]dx???12??0?h2?4(1??)?d?????122?11?2?h??[2??]d??04?h

取h?1/2,則計(jì)算得a(?1,?1)?4?a(?1,?2)??[?01?212

?21h1211??11(f,?1)?2h[?sin(0?h?)?d???sin(??)(1??)d?00222211?h??(1??)??sin?d???sin(1??)d?00241?11(f,?2)?2h?sin(??)?d?

0222??24h?(1??)d???2?

代數(shù)方程組為

?a(?1,?1)??a(?,?)?12a(?1,?2)??y1??(f,?1)????????????a(?2,?2)??y2??(f,?2)?代如求值.

取h?1/4,未知節(jié)點(diǎn)值為u,u142,u3,u4,方程為

?a(?i?1i,?j)ui?(f,?j)j?1,2,3,4

應(yīng)用局部坐標(biāo)?表示,

a(?j,?j)???[8?01?(0211h??h42?)d???[0211h??h42(1??)]d?2

?82?]d??8?1?224

2a(?j?,?j?1)??[?01h??h4?(1??)]d?

?2??4??216??(1??)d?01??4?96

a(?j?1,?j)??4??296

?12系數(shù)矩陣為A?diag{?4?取f10960,8??224,?4??296}

?1,(f,?j)?h??d??h?(1??)d??114

(f,?j)?h?2sin[0?2(xj?h?)]?d?(xj?1?h?)](1??)d??h?2sin[01?2

j?1??21sin[?401?sin[?202344?(j??)88(j??)]?d??124?(j?1??)]?sin[]?d?80sin[?21?(??4)](1??)d?

??

12?sin[01?(j?1??)]d??12?8?[cos(?(j?1??)8)]|102.就非齊次第三邊值條件

u(a)??1u(a)??1,u(b)??2u(b)??2

''導(dǎo)出有限元方程.解:設(shè)方程為Lu??(pu則由

'''b''')?qu?f'

((pu),v)?puv|a?(pu,v)?p(b)v(b)[?2??2u(b)]?p(a)v(a)[?1??1u(a)]?(pu,v)''變分形式為:?''v?H(a,b)

1(pu,v)?(qu,v)??2p(b)u(b)v(b)??1p(a)u(a)v(a)?(f,v)?p(b)?2v(b)?p(a)?1v(a)

u0?u(a),uN?u(b)

記

A