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本文格式為Word版,下載可任意編輯——九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)222二次函數(shù)與一元二次方程典型例題2素材(新
《二次函數(shù)與一元二次方程》典型例題
例1已知:二次函數(shù)y=x+2ax-2b+1和y=-x+(a-3)x+b-1的圖象都經(jīng)過x軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N,求a,b的值。
例2已知二次函數(shù)y?ax?bx?c的圖像如下圖.(1)試確定
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a,b,c,b2?4ac,2a?b,2a?b,a?b?c,a?b?c的符號(hào);(2)求OA?OB的值;(3)求
?AMB的面積;(4)若OA?OC,求a,b,c之間的關(guān)系.
例3拋物線y?ax?bx?c與x軸交于A、B兩點(diǎn),Q(2,k)是該拋物線上一點(diǎn),且
2AQ?BQ,則ak的值等于().
(A)?1(B)?2(C)2(D)3.
例4如下圖,直線AB是一次函數(shù)y?x?n的圖像,直線AC是一次函數(shù)y??2x?m的圖像(m?n?0).(1)用m,n表示A點(diǎn)坐標(biāo);(2)若?ABC的面積為12,且A點(diǎn)在拋物線y?3x?2x?3上,求直線AB與AC的函數(shù)解析式.
例5已知拋物線y?212x?x?2.2(1)確定此拋物線的對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖,若直線l:y?kx(k?0)分別與拋物線交于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B,與直線y??x?4相交于點(diǎn)P,試證
OPOP??2;OAOB(3)在(2)中,是否存在k值,使A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和等于4?假使存在,求出k值;假使不存在,請(qǐng)說明理由.
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參考答案
例1解:方法一依題意,設(shè)M(x1,0),N(x2,0),且x1≠x2,則x1,x2為方程x+2ax-2b+1=0
的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以x1+x2=-2a,x1·x2=-2b+1。
由于x1,x2又是方程-x+(a-3)x+b-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以x1+x2=a-3,x1·x2=1-b.由此得方程組
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當(dāng)a=1,b=0時(shí),二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),所以a=1,b=0舍去。當(dāng)a=1,b=2時(shí),二次函數(shù)為y=x+2x-3和y=-x-2x+3符合題意,所以a=1,b=2。方法二由于二次函數(shù)y=x+2ax-2b+1的圖象的對(duì)稱軸為x=-a,二次函數(shù)
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a?3,又兩個(gè)二次函數(shù)圖象都經(jīng)過x2a?3軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N.所以兩個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為同一直線,所以?a?,
2y??x2?(a?3)x?b2?1的圖象的對(duì)稱軸為x?解得a=1.所以兩個(gè)二次函數(shù)分別為y=x+2x-2b+1和y=-x-2x+b-1。依題意,令y=0得
x+2x-2b+1=0,(1)-x-2x+b-1=0,(2)
(1)+(2)得b-2b=0,解得b1=0,b2=2。以下解法同方法一。
注意:此題給出兩種不同的解法.方法一的關(guān)鍵是緊緊抓住問題的本質(zhì)就是兩個(gè)二次函數(shù)圖
象都經(jīng)過x軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N.從而把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言,設(shè)M(x1,0),N(x20),再轉(zhuǎn)化為x1,x2是兩個(gè)二次方程的等根來解。
方法二是利用兩個(gè)二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過x軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N這個(gè)現(xiàn)象,挖掘它的內(nèi)涵(從草圖中也可看出)知道,兩個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸應(yīng)為同一直線,從而解得a=1.在求b的過程中把方程(1)和方程(2)相加消去x,由于兩個(gè)方程設(shè)而不解,這種方法同學(xué)們可能不習(xí)慣,可以這樣理解:x1、x2都是方程(1)和(2)的解,不妨設(shè)
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x12?2x1?2b?1?0,同時(shí)也應(yīng)有?x12?2x1?b2?1?0,所以x12?2x1?2b?1?b2?1.從而推出2b=b2得解。
最終提醒學(xué)生對(duì)于解得的結(jié)果還要進(jìn)行檢驗(yàn)是否符合題意。
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例2分析:(1)觀測(cè)圖象,由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)或令x取?1,就可以確定幾個(gè)式子的符號(hào).(2)關(guān)鍵要能明白OA?OB與x1x2之間的關(guān)系.
解:(1)∵拋物線開口向下,∴a?0.
又∵拋物線的頂點(diǎn)在y軸的右側(cè),∴?b?0,而a?0,∴b?0.2a又拋物線與y軸的交點(diǎn)(0,c)在x軸上方,∴c?0.
∵拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),∴b?4ac?0.又?x??2b?1,a?0,∴2a?b?0.2a?x??b??1,a?0,∴2a?b?0.2a當(dāng).x?1時(shí),y?0,∴a?b?c?0.當(dāng)x??1時(shí),y?0,∴a?b?c?0.(2)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0).∴OA?x1??x1,OB?x2?x2,
?x1、x2是方程ax2?bx?c?0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,
∴x1x2?cc.∴OA?OB??x1x2??.aa222cb2?4ac?b?(3)而(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?????4??.?AB?x1?x2,2aa?a?b2?4ac?a?0,b?4ac?0,∴x1?x2?.
?a2∴S?AMB1(b2?4ac)b2?4ac?AB?DM?.28a2(4)?OA?OC,∴?x1?c即x1??c.
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又?x1是方程ax?bx?c?0的一個(gè)根,由OA?OC知?c是它的另一個(gè)根,由方程根的定義,知ac?bc?c?0.
說明:此題是一道綜合性較強(qiáng)的題目,把二次函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成二次方程的問題,然后利用韋達(dá)定理來解決.
例3分析要解決此題,可運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想,將題中的拋物線向左平移2個(gè)單位,新的拋物線與y軸交于(0,k)點(diǎn).可設(shè)新拋物線的解析式為y?ax?bx?k.這樣就把問題轉(zhuǎn)化為:“拋物線y?ax?bx?k與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于Q點(diǎn),若AQ?BQ,則ak=,〞從而把問題“化繁為簡(jiǎn)〞.根據(jù)射影定理與韋達(dá)定理可得ak=?1.例4分析:(1)要求A點(diǎn)的坐標(biāo),可求方程組?2'2'22?y?x?n,的解;(2)要求直線AB與
?y??2x?mAC的解析式,就是要確定m,n的值.因A點(diǎn)在拋物線y?3x2?2x?3上,把A點(diǎn)的坐標(biāo)代
入拋物線解析式得到一個(gè)關(guān)于m,n的方程,再由?ABC的面積為12,又得到一個(gè)關(guān)于m,n的方程,解由這兩個(gè)方程組成的方程組即可.
m?n?x?,??y?x?n,?3
解:(1)解方程組?得?
m?2ny??2x?m??y?.?3?
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為??m?nm?2n?,?.
3??3(2)∵A點(diǎn)在拋物線上,
m?2nm?n?m?n?∴?3???2??3.?33?3?∴m?2mn?n?3m?9?0.
令y?0,則由0?x?n得x??n,由0??2x?m得x?∴B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是B??n,0?,C?軸于D.
222m.2?m?,0?,且參照?qǐng)D像可知n?0,m?0.作AD?x?2?5
?S?ABC?12,
∴
12?BC?AD?12,即1mm?2n2?2?n?3?12.即(m?2n)2?144.
?m2?2mn?n2?3m?9?0,解方程組??(m?2n)2?144,
??m?0,n?0,得??m?6,?n?3.∴直線AB和直線AC的解析式分別是:y?x?3和y??2x?6.例5答案:(1)略;
?(2)由??y?1?2x2?x?2?y?kx得x2?2(k?1)x?4?0.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2).則x1+x2=2(k+1),x1?x2?4.由??y?kx,?4,
?y??x得x?4k?1(k?0),即點(diǎn)的橫坐標(biāo)x4p?k?1.
作AA'?x軸于A',PP'?x軸于P',BB'?x軸于B'.
OPOPOP'OP'于是OA?OB?OA'?OB'=
xpx?xp?xp(x1?x2)=
41x2x1x2k?1?2(k?1)4?2.(3)不存在
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由于A(x1,y1)、B(x2,y2)在直線y?kx上,由題意,得
y1?y2?kx1?kx2?k(x1?x2)?k?2(k?1)?4
所以k2?k?2?0
解得k?1,k??2(與k>0矛盾,舍去)
當(dāng)k?1時(shí),方程x2?2(k?1)x?4?0化為x2?4x?4?0.此方程沒有實(shí)數(shù)根.
故適合條件的k值不存在.
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