淮安市2020屆高三下學期5月調研測試數學試題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省淮安市2020屆高三下學期5月調研測試數學試題含解析淮安市5月高三調研測試數學Ⅰ一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1。已知集合，，則中的元素個數為________.【答案】4【解析】【分析】由集合的并運算可得解.【詳解】由已知可得：則中的元素個數為4.故答案為：4【點睛】本題考查了集合的并運算，屬于基礎題.2.復數（為虛數單位）的實部為________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坷脧蛿档某ㄟ\算化簡，再求得的實部.【詳解】整理得：,所以復數實部為。故答案為：。【點睛】本題考查了復數的運算，考查實部的概念，屬于基礎題。3.若一組數據3，，2，4，5的平均數為3，則該組數據的方差是________?！敬鸢浮?【解析】【分析】通過平均數求出x，再利用方差公式求出方差得解?！驹斀狻坑梢阎傻茫海獾?。則該組數據的方差是。故答案為：2【點睛】本題考查了平均數和方差的計算,意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題。4.函數的最小正周期為________.【答案】【解析】【分析】由輔助角公式可得，問題得解.【詳解】因所以函數的最小正周期為.故答案為:【點睛】本題考查了輔助角公式和三角函數的周期公式,屬于基礎題。5.執(zhí)行如圖所示的算法流程圖，則輸出的結果是________。【答案】8【解析】【分析】循環(huán)進行賦值運算，直到退出循環(huán)，輸出結果【詳解】當時，進入循環(huán):;當時，進入循環(huán)：；當時,退出循環(huán)，輸出.故答案為:8【點睛】本題考查了利用循環(huán)結構計算變量的值,屬于基礎題。6.若，則方程有實根的概率為________.【答案】【解析】【分析】由已知可得，解得,可知當時滿足要求,再根據古典概型概率公式求解.【詳解】方程有實根，，解得時滿足要求，則方程有實根的概率為。故答案為:【點睛】本題考查了概率的計算，屬于基礎題.7.在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合,則該雙曲線的離心率為________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯惹髵佄锞€與雙曲線焦點坐標，再根據條件列式解得，最后根據雙曲線的離心率定義求結果?！驹斀狻繏佄锞€的焦點坐標為：雙曲線的右焦點坐標為:由已知可得：，即則該雙曲線的離心率為故答案為：【點睛】本題考查了拋物線和雙曲線的相關知識，屬于基礎題。8。已知公差不為0的等差數列,其前項和為，首項，且，，成等比數列，則________.【答案】【解析】【分析】由已知得，由得，解得，最后由等差數列求和公式得解?！驹斀狻?，，成等比數列,，等差數列首項，，解得或.因為等差數列的公差不為0，所以.由等差數列求和公式得。故答案為：【點睛】本題考查了等差數列通項公式基本量的計算和求和公式,考查了等比中項公式的應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平。9.已知非零向量滿足，則與夾角的余弦值為________．【答案】【解析】【分析】首先由可得,再由向量的數量積可求得夾角的余弦值.【詳解】，又，故答案為：【點睛】本題考查了向量的模長、向量數量積的運算，考查了向量最基本的化簡，屬于中檔題.10。已知一個正四面體的體積為，則該正四面體的棱長為_________.【答案】2【解析】【分析】設棱長為a，根據正四面體的對稱性，求出正四面體的底面積和高，即可得解.【詳解】設四面體中CD邊中點為E，F為正三角形BCD的中心，則AF為四面體的高，設正四面體的棱長為a，則,，，，，解得，則該正四面體的棱長為2.故答案為：2【點睛】本題考查了求棱錐的體積,考查了計算能力，屬于中檔題。11.已知函數是定義域為的奇函數，且當時，，若有三個零點，則實數的取值范圍為________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥繉栴}轉化為與有三個交點,由已知畫出圖象觀察即可得解?！驹斀狻糠匠逃腥齻€零點，可轉化為與有三個交點，函數是定義域為的奇函數，所以圖象關于原點對稱，再由當時,,可畫出下圖：由圖可知：【點睛】本題考查了函數的奇偶性及二次函數函數作圖,考查了數形結合思想，屬于中檔題。12.已知，，且，則的最小值是________.【答案】【解析】【分析】由題得,再利用基本不等式可得解?！驹斀狻?，又，，，當且僅當時等號成立,則的最小值是。故答案為：【點睛】本題考查了基本不等式求最值，關鍵是利用兩式相乘創(chuàng)造積為定值的條件,意在考查學生對該知識的理解掌握水平。13.已知，，則值為________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑煽傻?，再由和可得的值，問題得解.【詳解】由已知得:則整理得：,解得或，當時，則,當時，舍故答案：【點睛】本題考查了三角函數的平方和關系和商數關系，考查了計算能力，較簡單。14。在平面直角坐標系，已知點在圓內，動直線過點且交圓于兩點，若的面積等于的直線恰有3條，則正實數的值為________.【答案】或【解析】【分析】將圓的方程配成標準式，求出圓心及半徑，由三角形面積公式得，則或，要使的面積等于的直線恰有3條，則有最小值，從而得到，即可求解；【詳解】解：由，得:，則圓心，,因為點在圓內，所以解得由已知得：，解得：，則或因為過的直線與圓相交于，兩點，要使的面積等于的直線恰有3條，則有最小值，即所以或故答案為：或【點睛】本題考查直線與圓的綜合應用，三角形面積公式的應用，屬于中檔題。二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.在中，角的對邊分別為.已知.(1）求角；（2）若,求的值。【答案】(1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理進行邊角轉化，得，整理得：,從而得解；（2）由，求出，由展開即可得解?！驹斀狻浚?）由，得，即，所以,，,，，解得。（2）由，得，，所以，的值為。【點睛】本題考查了兩角和的正弦展開式和誘導公式,關鍵是利用正弦定理將邊化為角,屬于基礎題.16。如圖，矩形所在平面與菱形所在平面互相垂直,交線為，，是的中點。(1）求證：平面；（2）若點在線段上，且，求證：平面。【答案】（1）見詳解；(2)見詳解【解析】【分析】(1)證出四邊形是平行四邊形，進而得到，利用線面平行的判定定理，即可得證；（2）證出，又O是BD中點,可得,又已知，借助線面垂直的判定定理，即可得證。【詳解】（1）連接，，如圖，是菱形，O是AC的中點，又是矩形的邊的中點，且，四邊形是平行四邊形，，又平面,平面,平面.（2)平面平面，且平面平面，又平面，且,平面，,,由勾股定理知：,,又O是BD中點，，又且，平面。【點睛】本題考查了線面平行判定定理和線面垂直的判定定理，考查了學生的邏輯推理能力，屬于中檔題.17.某校為整治校園環(huán)境,設計如圖所示的平行四邊形綠地，在綠地中種植兩塊相同的扇形花卉景觀，兩扇形的邊都落在平行四邊形的邊上，圓弧都與相切，其中扇形的圓心角為,扇形的半徑為8米.(1）求花卉景觀的面積;（2）求平行四邊形綠地占地面積的最小值.【答案】（1）；（2)平行四邊形綠地占地面積的最小值為.【解析】【分析】（1）由扇形面積公式即可得解;（2)設，由，得:，再由基本不等式可得的最小值，從而得解.【詳解】（1）由扇形面積公式可得,花卉景觀的面積為：，所以，花卉景觀的面積；（2)設，則由余弦定理得：，由，得:,,當且僅當時等號成立，,當且僅當時等號成立，解得，，所以，平行四邊形綠地占地面積的最小值為?！军c睛】本題考查了扇形面積公式，余弦定理,三角形面積公式及基本不等式，考查了轉化能力和計算能力,屬于中檔題.18.已知橢圓的右焦點為，右準線為.過點作與坐標軸都不垂直的直線與橢圓交于，兩點,線段的中點為，為坐標原點，且直線與右準線交于點.（1）求橢圓的標準方程；（2)若,求直線的方程;（3）是否存在實數，使得恒成立？若存在，求實數的值；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮浚?）；（2);(3）存在，且?！窘馕觥俊痉治觥浚?）根據準線的定義得，又由,結合可求得,得橢圓標準方程；（2）由可求得點橫坐標，設直線方程為,代入橢圓方程整理后應用韋達定理得，由可得，得直線方程;（3）設，得，由點差法可得，從而得，則可得點坐標,然后計算可得．【詳解】（1）由已知可得:，解得：橢圓的標準方程為:。（2)由可知:即，可得：,設,直線AB的方程為，聯(lián)立,得：,為線段的中點，則，即,解得：，所以直線的方程為。（3）設，，，,，,由，兩方程相減得,即，∴，即，又,∴,∵，∴，即，，,，，，∴．∴存在滿足題意的,且．【點睛】本題考查已知準線方程求橢圓標準方程，考查直線與橢圓相交的弦中點問題．橢圓中弦中點問題，點差法是最重要的方法，利用這種方法可以得到弦所在直線與弦中點和原點連線的斜率之間的關系．本題還考查了學生的運算求解能力．屬于難題．19.已知函數.（1)若曲線在處的切線與直線平行，求實數的值;（2）若函數有兩個極值點，，且。①求實數的取值范圍；②求證：。（參考數據：）【答案】(1）；（2）①；②見詳解【解析】【分析】(1）求出導數，利用可求得；(2)①求得,問題轉化為方程，有兩個不等的正實根，由二次方程的分布知識可得解．②由①得，，解得，代入不等式，進行變形為，只要令,,用導數求出其最小值,最小值不小于0,即證原不等式成立．【詳解】（1)由，可得：,若曲線在處的切線與直線平行，則，解得。(2)①，設,因為函數有兩個極值點,,則在上有兩個根,,則有，解得;②證明：∵,，∴．由得,則，令,,，令得(舍去)，當時，,單調遞減,當時，，單調遞增，∴,∴,即．【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查導數與極值點的關系，考查證明極值點有關的不等式．證明與極值點有關的不等式,可根據極值點的定義把函數式的參數用極值點表示出來代入要證不等式，這樣要證的不等式只含有極值點，問題可轉化為求新函數的最值問題，這又可用導數實現．本題對學生的運算求解能力,邏輯推理能力要求較高，屬于難題．20.已知數列和的前項和分別為和,且，，，其中為常數。（1）若，。①求數列的通項公式；②求數列的通項公式。（2)若，.求證：.【答案】（1)①,②(2）見解析．【解析】【分析】（1）①已知兩等式相加可得是等比數列,從而可得通項公式,②已知兩等式相減可得的遞推關系式，湊配成一個新的等比數列，利用等比數列的通項公式可求得；（2）已知兩等式相加可得數列是等比數列,就是的前項和，分類求得這個和，在且時用數學歸納法證明不等式成立．【詳解】（1）若，，則有由，得:所以是公比為4的等比數列,首項,所以;由,得：則所以是公比為2的等比數列，首項，所以,則；（2）由,得，∵，，∴數列是等比數列，∴，時,，不等式左邊，右邊,不等式成立；時,，不等式即為，下面用數學歸納法證明:(i）時，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立,(ii）假設時,不等式成立，即,∵，∴則時,左邊＝,由歸納假設左邊，下面只要證，即證，再用數學歸納法證明:①時，不等式左邊，右邊，不等式成立,②假設（）時不等式成立,即，則時，,不等式也成立，由①②得時，不等式成立,∴時，不等式成立，由（i）（ii），原不等式對一切正整數都成立．綜上