工程力學(xué)第六章桿件的應(yīng)力

工程力學(xué)第六章桿件的應(yīng)力1第1頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四一點(diǎn)的應(yīng)力：當(dāng)面積趨于零時(shí)，平均應(yīng)力的大小和方向都將趨于一定極限，得到應(yīng)力的國際單位為Pa1N/m2=1Pa（帕斯卡）1MPa=106Pa1GPa=109Pa應(yīng)力總量P可以分解成:垂直于截面的分量σ－－正應(yīng)力平行于截面的分量τ－－切應(yīng)力應(yīng)力目錄平均應(yīng)力:某范圍內(nèi)單位面積上內(nèi)力的平均集度2第2頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四s>0s<0t>0t<0正負(fù)號(hào)規(guī)定：正應(yīng)力拉為正，壓為負(fù)。切應(yīng)力順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)3第3頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四6-2應(yīng)變的概念(正應(yīng)變和切應(yīng)變),胡克定律正應(yīng)變：微體在某一方向上長度的改變量與原長度的比值的極限值稱為微體在此方向上的正應(yīng)變e。拉伸變細(xì)變長壓縮變短變粗4第4頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四切應(yīng)變：當(dāng)微體的棱長發(fā)生改變時(shí)，相鄰棱邊之夾角一般也發(fā)生改變。微體相鄰棱邊所夾直角的改變量稱為切應(yīng)變g切應(yīng)變的單位為rad(弧度)5第5頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四線應(yīng)變:平均線應(yīng)變：6第6頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四角應(yīng)變7第7頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)8第8頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四一拉壓胡克定律實(shí)驗(yàn)表明，在比例極限范圍內(nèi)，正應(yīng)力與正應(yīng)變成正比，即引入比例系數(shù)E，則胡克定律比例系數(shù)E稱為彈性模量9第9頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四二剪切胡克定律在純剪狀態(tài)下，單元體相對(duì)兩側(cè)面將發(fā)生微小的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，原來互相垂直的兩個(gè)棱邊的夾角改變了一個(gè)微量。兩正交線段的直角改變量——剪應(yīng)變10第10頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四薄壁圓筒的實(shí)驗(yàn),證實(shí)了剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在著象拉壓胡克定律類似的關(guān)系,即當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限τp時(shí),剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比G稱為材料的剪切彈性模量。上式關(guān)系稱為剪切胡克定律。即：當(dāng)p時(shí)引入比例系數(shù)G，則11第11頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四6-3拉壓桿的正應(yīng)力一拉壓桿橫截面上的應(yīng)力拉壓桿的平面假設(shè)：在軸向載荷作用下，變形后，橫截面仍保持平面，且仍與桿軸垂直，只是橫截面間沿桿軸作了相對(duì)平移。12第12頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四PN如果桿的橫截面積為：A根據(jù)平面假設(shè)，我么可以得出結(jié)論，即橫截面上每一點(diǎn)存在相同的拉力在軸向載荷下，橫截面上正應(yīng)力計(jì)算式為：正應(yīng)力與軸力具有相同的正負(fù)符號(hào)，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。13第13頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四例圖示矩形截面（b

h）桿，已知b=2cm，h=4cm，P1=20KN，P2=40KN，P3=60KN，求AB段和BC段的應(yīng)力ABCP1P2P314第14頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四P1N1壓應(yīng)力P3N2壓應(yīng)力15第15頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四例圖示為一懸臂吊車，BC為實(shí)心圓管，橫截面積A1=100mm2，AB為矩形截面，橫截面積A2=200mm2，假設(shè)起吊物重為Q=10KN，求各桿的應(yīng)力。ABC16第16頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四首先計(jì)算各桿的內(nèi)力：需要分析B點(diǎn)的受力QF1F217第17頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四ABCQF1F2BC桿的受力為拉力，大小等于F1AB桿的受力為壓力，大小等于F2由作用力和反作用力可知：最后可以計(jì)算的應(yīng)力：BC桿：AB桿：18第18頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四

二圣維南原理當(dāng)作用在桿端的軸向外力，沿橫截面非均勻分布時(shí)，外力作用點(diǎn)附近各截面的應(yīng)力，也是非均勻分布的。但圣維南原理指出，力作用于桿端的分布方式，只影響桿端局部范圍的應(yīng)力分布，影響區(qū)的軸向范圍約離桿端1~2個(gè)桿的橫向尺寸。此原理已為大量試驗(yàn)與計(jì)算所證實(shí)。用與外力系靜力等效的合力代替原力系，除在原力系作用區(qū)域內(nèi)有明顯差別外，在離外力作用區(qū)域稍遠(yuǎn)處，上述代替影響非常微小，可以略而不計(jì)。19第19頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四

三應(yīng)力集中

應(yīng)力集中：桿件外形突變，引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象由于結(jié)構(gòu)的需要，構(gòu)件的截面尺寸往往會(huì)突然變化，例如開孔、溝槽、肩臺(tái)和螺紋等，局部的應(yīng)力不再均勻分布而急劇增大1.應(yīng)力集中的概念20第20頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四應(yīng)力集中系數(shù)平均應(yīng)力

2應(yīng)力集中對(duì)構(gòu)件強(qiáng)度的影響對(duì)脆性材料而言，應(yīng)力集中現(xiàn)象將一直保持到最大局部應(yīng)力到達(dá)強(qiáng)度極限，故在設(shè)計(jì)脆性材料構(gòu)件時(shí)，應(yīng)考慮應(yīng)力集中的影響。對(duì)塑性材料而言，應(yīng)力集中對(duì)其在靜載作用下的強(qiáng)度幾乎沒有影響，故在研究塑性材料構(gòu)件的靜強(qiáng)度時(shí)，一般不考慮應(yīng)力集中的影響。21第21頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四交變應(yīng)力（或循環(huán)應(yīng)力）：隨時(shí)間循環(huán)變化的應(yīng)力在交變應(yīng)力作用下的構(gòu)件，雖然所受應(yīng)力小于材料的靜強(qiáng)度極限，但經(jīng)過應(yīng)力的多次重復(fù)后，構(gòu)件將產(chǎn)生可見裂紋或完全斷裂。疲勞破壞：在交變應(yīng)力作用下，構(gòu)件產(chǎn)生可見裂紋或完全斷裂的現(xiàn)象。應(yīng)力集中促使疲勞裂紋的形成與擴(kuò)展，對(duì)構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度影響很大22第22頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四6-4切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律一薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

平面假定

應(yīng)變分布

物性關(guān)系應(yīng)力分布

靜力方程應(yīng)力表達(dá)式試驗(yàn)觀察加載前畫橫向圓周線及縱向線23第23頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四TT

加載后：24第24頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四加載后現(xiàn)象：TT

1、各縱向線傾斜同角度2、各圓周線大小形狀間距不變25第25頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四ABCDABCDtt′

管壁扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形特征上述變形現(xiàn)象表明：微體ABCD既無軸向正應(yīng)變，也無橫向正應(yīng)變，只是相鄰橫截面ab與cd之間發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，即產(chǎn)生剪切變形；而且，沿圓周方向所有的剪切變形相同。由于管壁很薄，故可近似認(rèn)為管的內(nèi)外變形相同，則可認(rèn)為僅存在的垂直于半徑方向的切應(yīng)力t沿圓周大小不變。26第26頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四剪應(yīng)力在截面上均勻分布，方向垂直于半徑與周線相切27第27頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四

根據(jù)精確的理論分析,當(dāng)t≤r/10時(shí),上式的誤差不超過4.52%,是足夠精確的。28第28頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四二純剪切與切應(yīng)力應(yīng)力互等定理微元體單元體純剪切：單元體上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力。29第29頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四剪應(yīng)力互等定理:在相互垂直的兩個(gè)平面上,剪應(yīng)力一定成對(duì)出現(xiàn)，其數(shù)值相等，方向同時(shí)指向或背離兩平面的交線。30第30頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四6-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力一、扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式 從三方面考慮：變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系

31第31頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四觀察到下列現(xiàn)象:(1)各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距離沒有變化(2)縱向線仍近似為直線,但都傾斜了同一角度γ（3）表面方格變?yōu)榱庑巍?.變形幾何關(guān)系32第32頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。33第33頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四34第34頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四橫截面上距形心為的任一點(diǎn)處應(yīng)變在外表面上35第35頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)剪切胡克定律,當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí) 剪應(yīng)力方向垂直于半徑2.物理關(guān)系36第36頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四3.靜力學(xué)關(guān)系—截面的極慣性矩37第37頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四于是再由物理關(guān)系得二、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力當(dāng)＝max時(shí)，＝max抗扭截面系數(shù)38第38頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四39第39頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四6-6極慣性矩和抗扭截面系數(shù)一、實(shí)心圓截面40第40頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四二、空心圓截面=d/D41第41頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;

d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各軸橫截面上的最大剪應(yīng)力。42第42頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四N1=14kW,N2=N3=N1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1

z3z1=1203612=360r/minT1=1114N.mT2=557N.mT3=185.7N.mmax(C)==21.98MPaT3Wp3max(H)==22.69MPaT2Wp2max(E)=T1Wp1=16.54MPa43第43頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四一、概述：當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩M，又有剪力Q。只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素dN=dA才能合成彎矩只有與剪應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dQ=dA才能合成剪力所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有剪應(yīng)力§11-1引言QM44第44頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四彎曲切應(yīng)力：梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力彎曲正應(yīng)力：梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力基本變形：拉壓；扭轉(zhuǎn)；彎曲組合變形：對(duì)稱彎曲：梁至少有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面，且外力作用在對(duì)稱面內(nèi)，此時(shí)變形對(duì)稱于縱向?qū)ΨQ面，在這種情況下的變形形式稱為對(duì)稱彎曲。45第45頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四§11-2對(duì)稱彎曲正應(yīng)力一基本假設(shè)用較易變形的材料制成的矩形截面等直梁作純彎曲試驗(yàn):純彎曲：梁橫截面上只有彎矩而無剪力時(shí)的彎曲。46第46頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四觀察到以下變形現(xiàn)象:(1)aa、bb彎成弧線，aa縮短，bb伸長(2)mm、nn變形后仍保持為直線，且仍與變?yōu)?弧線的aa，bb垂直(3)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長。梁的平面假設(shè)：梁的各個(gè)橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。47第47頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四單向受力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。由平面假設(shè)得到的推論：梁在彎曲變形時(shí)，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短,保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸48第48頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四中性軸中性層中性層49第49頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四二彎曲正應(yīng)力一般公式從三方面考慮：變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系1變形幾何關(guān)系中性軸50第50頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四由于距中性層等遠(yuǎn)各“纖維”的變形相同，所以，上述正應(yīng)變e即代表縱坐標(biāo)y的任一“纖維”的正應(yīng)變該式說明，和y成正比,而與z無關(guān)。因而，與這些縱向線段沿

z軸的位置無關(guān)。51第51頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四2物理關(guān)系正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比，中性層上的正應(yīng)力為零上式只能用于定性分析，而不能用于定量計(jì)算：1）由于中性軸z的位置未確定，故y無法標(biāo)定；2）式中未知，（若已知M，與M有何關(guān)系？）52第52頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四將梁的軸線取為x軸，橫截面的對(duì)稱軸取為

y軸，中性軸取為

z軸。OxyZ3靜力學(xué)關(guān)系53第53頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四在橫截面上法向內(nèi)力元素dA

構(gòu)成了空間平行力系。因此，只可能組成三個(gè)內(nèi)力分量通過截面法，根據(jù)梁上只有外力偶m這一條件可知，上式中的

N

和My均等于零，而Mz就是橫截面上的彎矩M。54第54頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四截面幾何參數(shù)的定義，可得將正應(yīng)力代入以上三個(gè)條件，并根據(jù)有關(guān)的55第55頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四這就確定了中性軸的位置。即過形心與y軸垂直。ZCZ中性軸C橫截面對(duì)Z軸的靜矩56第56頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四中性軸將橫截面分為受拉和受壓兩部分。因?yàn)閥是對(duì)稱軸，所以該式自動(dòng)滿足截面對(duì)yz軸的慣性積57第57頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四由式可得EIz稱為抗彎剛度將上式代入得截面對(duì)z軸的慣性矩58第58頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四中性軸過截面形心中性層的曲率公式：正應(yīng)力計(jì)算公式：：梁截面的彎曲剛度，簡稱彎曲剛度M橫截面上的彎矩橫截面對(duì)中性軸的慣性矩y求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離式中：59第59頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四橫截面上某點(diǎn)正應(yīng)力該點(diǎn)到中性軸距離該截面彎矩該截面慣性矩60第60頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)梁上有橫向力作用時(shí)，橫截面上既又彎矩又有剪力。梁在此

剪應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲。橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力。橫力彎曲時(shí)，梁的橫截面上既又正應(yīng)力，又有剪應(yīng)力。純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和各縱向線段間互不擠壓的假設(shè)都不成立。但工程中常用的梁，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式可以精確的計(jì)算橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力。等直梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力公式為種情況下的彎曲稱為橫力彎曲。61第61頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四橫截面上的最大正應(yīng)力：當(dāng)中性軸是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)：三最大彎曲正應(yīng)力62第62頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四稱為抗彎截面系數(shù)，僅與截面的形狀和尺寸有關(guān)公式適用條件：1）符合平面彎曲條件（平面假設(shè)，橫截面具有一根對(duì)稱軸）2）p(材料服從虎克定律）63第63頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四1）沿y軸線性分布，同一坐標(biāo)y處，正應(yīng)力相等。中性軸上正應(yīng)力為零。2）中性軸將截面分為受拉、受壓兩個(gè)區(qū)域。3）最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處。64第64頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四梁的彎矩圖如圖b所示，由圖知梁在固定端橫截面上的彎矩最大，其值為

例11-1圖a所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長l=1m，均布載荷集度q=6kN/m；梁由10號(hào)槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的慣性矩Iz=25.6cm4。試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。（1）作彎矩圖，求最大彎矩65第65頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四

因危險(xiǎn)截面上的彎矩為負(fù)，故截面上緣受最大拉應(yīng)力，其值為在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為（2）求最大應(yīng)力66第66頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四§11-3慣性矩與平行軸定理同理:一簡單截面的慣性矩1矩形：67第67頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四2圓及圓環(huán)Zy0ydy(實(shí)際：68第68頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四圓環(huán)：yxDd69第69頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四70第70頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四11-4對(duì)稱彎曲切應(yīng)力一、矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力圖所示一矩形截面梁P1P2q(x)mmnnxdx用橫截面

m—m,n—n從梁中截取dx一段。兩橫截面上的彎矩不等

。所以兩截面同一y處的正應(yīng)力也不等。mmnnQQMM+dMdxmmnndx（1）推導(dǎo)公式的思路受任意橫向荷載作用。71第71頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四（2）兩個(gè)假設(shè)橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn)處剪應(yīng)力大小相等。各點(diǎn)的剪應(yīng)力方向均與截面?zhèn)冗吰叫小＃?）公式推導(dǎo)假設(shè)m—m,n—n上的彎矩為M和M+dM。兩截面上距中性軸y1處的正應(yīng)力為和72第72頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四mbbmb1a1adx(1)取圖示分離體，進(jìn)行受力分析ydcd'c'zy'1dAy1BAB'A'nmm1dxdQFN1FN2A*73第73頁，共83頁，2023年，2月20日，星期四（2）公式推導(dǎo)假設(shè)m-m,n-n上的彎矩為M和M+dM。兩截面上距中性軸y1處的正應(yīng)力為1和2ABB1A1mnxzyyAdAy174第74頁，共83頁，20