隨機過程歷史

隨機過程歷史隨機過程整個學科的理論基礎(chǔ)是由柯爾莫哥洛夫和杜布奠定的。這一學科最早源于對物理學的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對統(tǒng)計力學的研究，及后來愛因斯坦、維納、萊維等人對布朗運動的開創(chuàng)性工作。1907年前后，馬爾可夫研究了一系列有特定相依性的隨機變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。1923年維納給出布朗運動的數(shù)學定義，直到今日這一過程仍是重要的研究課題。隨機過程一般理論的研究通常認為開始于20世紀30年代。1931年，柯爾莫哥洛夫發(fā)表了《概率論的解析方法》，1934年辛飲發(fā)表了《平穩(wěn)過程的相關(guān)理論》，這兩篇著作奠定了馬爾可夫過程與平穩(wěn)過程的理論基礎(chǔ)。1953年，杜布出版了名著《隨機過程論》，系統(tǒng)且嚴格地敘述了隨機過程基本理論。概率論和隨機過程有悠久的歷史，它的起源與博弈問題有關(guān)。16世紀，意大利的一些學者開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題，例如比較擲兩個骰子出現(xiàn)總點數(shù)為9或10的可能性大小。17世紀中葉，法國數(shù)學家帕斯卡、費馬及荷蘭數(shù)學家惠更斯基于排列組合的方法研究了一些較復(fù)雜的賭博問題，他們解決了“合理分配賭注問題”（即“得分問題”）、“輸光問題”等等。其方法不是直接計算賭徒贏局的概率，而是計算期望的贏值，從而導(dǎo)致了現(xiàn)今稱之為數(shù)學期望的概念（由惠更斯明確提出）。使概率論成為數(shù)學的一個分支的真正奠基人則是瑞士數(shù)學家雅各布第一·伯努利，若表示前n次獨立重復(fù)nη試驗中事件a出現(xiàn)的次數(shù)，從而σn/n為事件a出現(xiàn)的頻率，則當n→∞時。(→≥-εηpnPn式中ε為任一正實數(shù)。這一結(jié)果發(fā)表于他死后8年(1713)出版的遺著《推測術(shù)》中。這里所說的事件的概率，應(yīng)理解為事件發(fā)生的機會的一個測度，即公理化概率測度(詳見后)。1716年前后，棣莫弗對情形，用他導(dǎo)出的關(guān)于n!的漸近公式(即所謂斯特林公式)2。1=p進一步證明了：漸近地服從正態(tài)分布（德國數(shù)學家c.f.高斯于1809年研究測量誤差理論時重新導(dǎo)出正態(tài)分布，所以也稱為高斯分布）。棣莫弗的這一結(jié)果后來被法國數(shù)學家p.-s.拉普拉斯推廣到一般的p(0<p<1)的情形，后世稱之為棣莫弗-拉普拉斯極限定理，這是概。率論中第二個基本極限定理（見中心極限定理）的原始形式。拉普拉斯對概率論的發(fā)展貢獻很大。他在系統(tǒng)總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，寫出了《概率的分析理論》(1812年出版，后又再版6次)。在這一著作中，他首次明確規(guī)定了概率的古典定義（通常稱為古典概率，見概率），并在概率論中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函數(shù)等，從而實現(xiàn)了概率論由單純的組合計算到分析方法的過渡，將概率論推向一個新的發(fā)展階段。拉普拉斯非常重視概率論的實際應(yīng)用，對人口統(tǒng)計學尤其感興趣。繼拉普拉斯以后，概率論的中心研究課題是推廣和改進伯努利大數(shù)律及棣莫弗－拉普拉斯極限定理。在這方面，俄國數(shù)學家切比雪夫邁出了決定性的一步，1866年他用他所創(chuàng)立的切比雪夫不等式建立了有關(guān)獨立隨機變量序列的大數(shù)律。次年，又建立了有關(guān)各階絕對矩一致有界的獨立隨機變量序列的中心極限定理；但其證明不嚴格，后來由馬爾可夫于1898年補證。1901年Α.М.李亞普諾夫利用特征函數(shù)方法，對一類相當廣泛的獨立隨機變量序列，證明了中心極限定理。他還利用這一定理第一次科學地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量近似服從正態(tài)分布。繼李亞普諾夫之后，辛欽、柯爾莫哥洛夫、萊維及費勒等人在隨機變量序列的極限理論方面作出了重要貢獻。到20世紀30年代，有關(guān)獨立隨機變量序列的極限理論已臻完備。在此期間，由于實際問題的需要，特別是受物理學的刺激，人們開始研究隨機過程。1905年愛因斯坦和斯莫盧霍夫斯基各自獨立地研究了布朗運動。他們用不同的概率模型求得了運動質(zhì)點的轉(zhuǎn)移密度。但直到1923年，維納才利用三角級數(shù)首次給出了布朗運動的嚴格數(shù)學定義，并證明了布朗運動軌道的連續(xù)性。1907年馬爾可夫在研究相依隨機變量序列時，提出了現(xiàn)今稱之為馬爾可夫鏈的概念；而馬爾可夫過程的理論基礎(chǔ)則由柯爾莫哥洛夫在1931年所奠定。稍后一些時候，辛欽研究了平穩(wěn)過程的相關(guān)理論(1934)。所有這些關(guān)于隨機過程的研究，都是基于分析方法，即將概率問題化為微分方程或泛函分析等問題來解決。從1938年開始，萊維系統(tǒng)深入地研究了布朗運動，取得了一系列重要成果，他充分利用概率的直覺性，將邏輯與直覺結(jié)合起來，倡導(dǎo)了研究隨機過程的一種新方法，即概率方法。這種方法的特點是著眼于隨機過程的軌道性質(zhì)。萊維對概率論的另一重要貢獻是建立了獨立增量過程的一般理論。他的著作《隨機過程與布朗運動》(1948)至今仍是隨機過程理論的一本經(jīng)典著作?，F(xiàn)代概率論的另外兩個代表人物是：杜布和伊藤清，前者創(chuàng)立了鞅論，后者創(chuàng)立了布朗運動的隨機積分理論。在概率發(fā)展史中特別值得一提的是柯爾莫哥洛夫在1933年建立了概率論的公理化體系。概率論公理化體系的建立早在拉普拉斯給出概率的古典定義之前，人們就提出了幾何概率的概念，這是研究有無窮多個可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象問題的，著名的布豐（曾譯蒲豐）投針問題(1777)就是幾何概率的一個早期例子。19世紀，幾何概率逐步發(fā)展起來。但到19世紀末，出現(xiàn)了一些自相矛盾的結(jié)果。以著名的貝特朗悖論為例：在圓內(nèi)任作一弦，求其長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率。此問題可以有三種不同的解答：①由于對稱性，可預(yù)先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于1/4點與3/4點間的弦，其長才大于內(nèi)接正三角形邊長。設(shè)所有交點是等可能的，則所求概率為1/2；②由于對稱性，可預(yù)先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在60°～120°之間，其長才合乎要求。設(shè)所有方向是等可能的，則所求概率為1/3；③弦被其中點位置惟一確定。只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其長才合乎要求。設(shè)中點位置都是等可能的，則所求概率為1/4。這個問題之所以有不同解答，