第三講 新課程中的數(shù)學史

新課程中的數(shù)學史1新課程中的數(shù)學史高中數(shù)學課程中滲透數(shù)學史的內(nèi)容是希望告訴學生數(shù)學發(fā)展的一個基本的脈絡，選擇了數(shù)學歷史發(fā)展中一些重要的事件、成果作為線索，介紹一些偉大的數(shù)學家的貢獻和奮斗人生。2新課程中的數(shù)學史數(shù)學史在高中數(shù)學課程中的安排可以采取多種形式：既可以作為課外數(shù)學活動或小組活動的一項內(nèi)容也可以穿插滲透于課堂教學的各個環(huán)節(jié)，結合教學內(nèi)容進行3新課程中的數(shù)學史4新課程中的數(shù)學史“數(shù)學史選講”內(nèi)容的選擇：早期算術與幾何（計數(shù)與測量）古希臘數(shù)學與中國古代數(shù)學平面解析幾何與微積分的產(chǎn)生近代數(shù)學的巨星---歐拉與高斯千古謎題---伽羅華的解答康托的集合論---對無限的思考5新課程中的數(shù)學史隨機思想的發(fā)展算法思想的歷程中國現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展6新課程中的數(shù)學史數(shù)學史專題教學設計7新課程中的數(shù)學史數(shù)學史專題教學設計可接受性：數(shù)學史專題的內(nèi)容應符合學生的認知水平；實用性：數(shù)學史專題的教學應與必修課相結合，或為必修課服務，或為必修課內(nèi)容之拓展和深入；科學性：數(shù)學史專題的教學內(nèi)容應符合史實，教學設計應符合課程標準及有關教學理論；可操作性：數(shù)學史專題的內(nèi)容應為教師所易于接受，教學設計應為教師所易于操作8案例1實無窮概念研究問題：高中生比較無窮集合時采用何種策略？是否具有歷史相似性？研究方法：測試與訪談被試：某中學高二、高三兩個年級各一個班，共94人。他們只具有一些初步的集合和元素的知識，尚未接觸過無窮集合的知識，也不曾閱讀過有關康托爾集合論方面的書籍。9案例1實無窮概念實無窮測試題1、正整數(shù)集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比平方數(shù)集{1，4，9，16，25，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道解釋你的答案。2、正整數(shù)集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比偶數(shù)集{2，4，6，8，10，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道解釋你的答案。10案例1實無窮概念3、觀察長度分別為4厘米和6厘米的線段AB和CD，若比較AB和CD上的點，CD上的點是否比AB上的點更多？

A、是B、否C、不知道解釋你的答案。

11案例1實無窮概念4、再觀察線段AB和CD，連接CA和DB，并延長，交于點O，設P是CD上任意一點，連接PO，交AB于P。CD上的點是否比AB上的點更多？

A、是；B、否；C、不知道解釋你的答案。12案例1實無窮概念5設

，

，則集合A和B是否具有同樣多的元素？

A、是;B、否;C、不知道解釋你的答案。13案例1實無窮概念兩個集合A和B都滿足：

(1)A和B都是無窮集合；

(2)B是A的真子集；

(3)A和B的元素之間存在一一對應關系。14案例1實無窮概念情

境題次集合A集合B算

術1正整數(shù)集平方數(shù)集2正整數(shù)集偶數(shù)集幾何3線段CD線段AB4線段CD線段AB算術＋幾何5區(qū)間

[0,2]區(qū)間[0,1]15案例1實無窮概念研究發(fā)現(xiàn)：學生比較無窮集合所用的策略類型1集合A與集合B中的元素個數(shù)均為無窮，所以元素一樣多。

類型2集合A與集合B的元素都是無窮多，無法比較。

類型3集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。

類型4集合A與B之間存在一一對應關系，兩個集合中的元素一樣多。16案例1實無窮概念歷史相似性古希臘G.Galilei(1638)：Dialoguesconcerningtwonewsciences：兩條不相等的線段AB和CD上的點可以構成一一對應；正整數(shù)集和正整數(shù)平方所構成的集合之間可以建立一一對應關系。伽利略沒能解決部分與整體“相等”的矛盾。他認為無窮大量都是一樣的，不能比較大小，即不能將“大于”、“小于”和“等于”這樣的詞用于無窮大量。17案例1實無窮概念19世紀，高斯（C.F.Gauss,1777-1855）、柯西（A.L.Cauchy,1789-1857）、魏爾斯特拉斯（K.Wierestrass,1815-1897）等都無法接受無窮集合，因為它們和伽利略一樣，無法解決“部分等于整體”這個矛盾。波爾察諾（B.Bolzano,1781-1848）ParadoxesoftheInfinite：包含關系準則－－“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素。”18案例1實無窮概念康托爾（G.Cantor,1845-1918）創(chuàng)立集合論，將實無窮作為一個概念引入數(shù)學。他定義了“勢”這個概念（或稱“基數(shù)”），并提出比較兩個無窮集合的一一對應準則：“兩個集合A和B具有相同的勢（基數(shù)），當且僅當在A和B之間存在一一對應?！?9案例1實無窮概念研究結論

高中生對實無窮的理解、困惑以及所用的策略與歷史上的數(shù)學家，如亞里士多德、伽利略、波爾察諾等的理解、困惑以及所用策略是相似的，因而對實無窮概念而言，歷史發(fā)生原理是成立的。20思考題集合論在現(xiàn)代數(shù)學中有何重要意義？通過集合相關內(nèi)容的學習,你對有限與無限,有界與無界是否有了一些新的認識?教學中,怎樣滲透相關的數(shù)學史實,培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣,發(fā)展學生的思維。請舉一例？21作業(yè)題收集數(shù)學家康托的生平事跡，寫一篇總結報告22案例2歷史上的函數(shù)概念函數(shù)概念應該成為中學數(shù)學的基石——F.Klein（1849-1925）從伽利略到狄利克雷，數(shù)學家一直絞盡腦汁去理解函數(shù)的概念，但現(xiàn)在卻由定義域、值域和序偶（第一個數(shù)相同時第二個數(shù)也必須相同）來玩弄把戲。——M.Kline（1958）

23案例2歷史上的函數(shù)概念20世紀50和60年代函數(shù)的形式化定義是一個大錯誤，我們可以將函數(shù)說成是法則、機器，但決不能把它說成是序偶的集合！——Thorpe中學階段應該教簡單易懂的函數(shù)概念?！狹.A.Malik（1980）24案例2歷史上的函數(shù)概念較之函數(shù)的現(xiàn)代定義，[職前]教師對函數(shù)的理解要狹隘得多、原始得多。既然如此，我們還能期望他們按照現(xiàn)代課本上出現(xiàn)的函數(shù)的現(xiàn)代定義來教嗎？參與者對函數(shù)的不完善的理解是有問題的，這又會導致他們學生的函數(shù)定義與表象之間的不一致性，使學生的函數(shù)概念表象與18世紀的表象相類似……——R.Even

25案例2歷史上的函數(shù)概念約翰·伯努利（1718）：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些常數(shù)以任何方式組成的量。JohannBernoulli,1667-174826案例2歷史上的函數(shù)概念歐拉（1748）：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式。LeonhardEuler,1707-178327案例2歷史上的函數(shù)概念歐拉（1755）：

如果某些量依賴于另一些量，當后面這些量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數(shù)。LeonhardEuler,1707-178328案例2歷史上的函數(shù)概念孔多塞：

設有若干量x，y，z，…，F(xiàn)，對于x，y，z，…的每一個確定的值，F(xiàn)有一個或多個確定的值與之對應，則稱F為x，y，z，…的一個函數(shù)。A.N.C.Condorcet,1743-179429案例2歷史上的函數(shù)概念拉克洛瓦（S.F.Lacroix,1765-1843）（1797）：

任何一個量，如果它的值依賴于一個或多個其他的量，那么它就稱為這些量的函數(shù)，不管我們知不知道這種依賴關系是通過什么運算實現(xiàn)的。

30案例2歷史上的函數(shù)概念拉格朗日（1797）：所謂一個或幾個量的函數(shù)，是指任意一個用于運算的表達式，這些量以任意方式出現(xiàn)于表達式中，表達式中可以有（也可以沒有）其它一些具有給定的不變值的量，而函數(shù)的量可以取所有可能的值。

J.L.Lagrange,1736-181331案例2歷史上的函數(shù)概念傅立葉（1822）：函數(shù)f(x)代表一系列的值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的。對于無限多個給定的橫坐標x的值，有同樣多個縱坐標f(x)的值。所有的值要為正數(shù)，要么為負數(shù)，要么零。無需假設這些縱坐標滿足同一個法則；它們可以任何方式接續(xù)，每一個都好象是單個量。

J.Fourier,1768-183032案例2歷史上的函數(shù)概念柯西《分析教程》（1821）：當變量之間這樣聯(lián)系起來，即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其它變量的值的時候，人們通常想像這些量是用其中的一個來表達的，這時這個量就被稱為自變量；而用自變量表示的其它量就叫做該變量的函數(shù)。A.

L.Cauchy,1789-185733案例2歷史上的函數(shù)概念羅巴切夫斯基（1834）：

x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x的變化而逐漸變化，函數(shù)值或者由解析式給出，或者由一個條件給出，這個條件提供了一種檢驗所有的數(shù)并選擇其中之一的方法，或者雖然依賴關系存在但可以是未知的。Lobachevsky,1792-185634案例2歷史上的函數(shù)概念狄里克雷（1837）設a、b是兩個確定的值，x是可取a、b之間一切值的變量。如果對于每一個x，有惟一有限的y值與它對應，使得當x從a到b連續(xù)變化時，也逐漸變化，那么y就稱為該區(qū)間上

x的一個連續(xù)函數(shù)。在整個區(qū)間上，y無需按照同一種規(guī)律依賴于x，也無需單單考慮能用數(shù)學運算來表示的關系。L.Dirichlet,1805-185935案例2歷史上的函數(shù)概念斯托克斯（1847）函數(shù)是這樣一個量，它的值以任意方式依賴于構成它的一個或幾個變量的值。因此，函數(shù)不必通過任何代數(shù)符號的組合來表達，甚至在變量的很近的界限之間也是如此。G.G.Stokes,1819-190336案例2歷史上的函數(shù)概念黎曼（1851）：假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數(shù)值。若對它的每一個值，都有不定量w的惟一的值與之相對應，則稱w為z的函數(shù)。B.Riemann,1826-186637案例2歷史上的函數(shù)概念布爾(1854)：

任何包含符號x的代數(shù)式稱為x的函數(shù)，并用一般的簡記符號f(x)來表示。G.Boole,1815-186438案例2歷史上的函數(shù)概念漢克爾（1870）：

x的一個函數(shù)被稱為f(x)，如果對于某區(qū)間內(nèi)x的每一個值，f(x)都有的惟一確定的值與之相關聯(lián)。此外，f(x)是通過量的解析運算還是通過別的方式確定，根本無關緊要。f(x)的值只須處處惟一確定。H.Hankel,1839-187339案例2歷史上的函數(shù)概念戴德金(1887)：函數(shù)就是系統(tǒng)S的一個映射，對于S中每一個確定的元素s，按照法則，都有一個確定的對象與之相關聯(lián)，這個對象稱為s的象，以φ(s)將表示；也可以說，φ(s)是由s通過映射產(chǎn)生的，即s通過映射變換成φ(s)。R.Dedekind,1831-191640案例2歷史上的函數(shù)概念坦納里(1904）：考慮不同數(shù)的集合(X)，將這些數(shù)看成是x的取值，于是x就是一個變量。假設x的每一個值，即集合(X)的每一個元素，對應于一個數(shù)，這個數(shù)可以看成是字母y的取值；我們說y是由該集合(X)所確定的x的函數(shù)：如果定義了對應關系，就定義了該集合上的一個函數(shù)。y所取的不同值的集合(Y)是由同一個對應關系確定的：我們說b是(Y)的一個元素，即(X)的一個元素a與數(shù)b對應。(X)的每一個元素對應于(Y)的一個元素；反之亦然；但在前面的定義中，并沒有排除(X)的幾個不同元素對應于(Y)的同一個元素，換言之，(X)和Y)之間的對應不一定是完全的。J.Tannery,1848-191041案例2歷史上的函數(shù)概念維布倫：若在變量y的集合與另一個變量x的集合之間有這樣的關系成立，即對x的每一個值，有完全確定的y值與之對應，則稱變量y是變量x的函數(shù)。O.Veblen,1880-196042案例2歷史上的函數(shù)概念皮亞諾（1911）：函數(shù)是這樣一種關系u，對于任意的x，y和z，如果第二個元素相同的兩個序偶y；x和z；x滿足這個關系，那么必有y=x。G.Peano,1858-193243案例2歷史上的函數(shù)概念豪斯道夫（1914）：設P是序偶p=(a,b)組成的一個集合，對于每一個，稱b為a的象，在特殊情況下，每個a只有惟一的象b，則被此a決定且與a相關的元b稱為a的函數(shù)，記為。F.Hausdorff,1868-194244案例2歷史上的函數(shù)概念古爾薩（1923）：函數(shù)這個詞的現(xiàn)代定義是柯西和黎曼給出的。如果x的一個值與y的一個值相對應，那么我們就說y是x的一個函數(shù)。我們用方程y=f(x)來表示。E.Goursat,1858-193645案例2歷史上的函數(shù)概念布爾巴基學派《集合論》（1939）：

設E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同。E中的一個變元x和F中的變元y之間的一個關系稱為一個函數(shù)關系，如果對每一個x∈E，都存在惟一的y∈F，它滿足與x的給定關系。我們將聯(lián)系每一個元素x∈E和元素y∈F的運算稱為函數(shù)；y稱為x處的函數(shù)值，函數(shù)是由給定的關系決定的。兩個等價的函數(shù)關系確定了同一個函數(shù)。46案例2歷史上的函數(shù)概念布爾巴基學派《集合論》（1939）：

定義集合X與Y的積集X

Y如下：X

Y={(x,y)|xX,yY}。積集X

Y中的一子集R稱為X與Y的一個關系，若(x,y)R，則稱x與y有關系R，記為xRy，現(xiàn)設f是x與y的關系，即f包含于X

Y，如果(x,y)、(x,z)

f，必有y=ｚ，那么稱f為X到Y的函數(shù)。47案例2歷史上的函數(shù)概念研究問題：高中生是如何理解函數(shù)概念的？是否具有歷史相似性？研究方法：測試與訪談。用自己的語言描述什么是函數(shù)。被試：我市第三中學高一和高三兩個年級的部分學生，其中高一122人，高三116人。48案例2歷史上的函數(shù)概念類別定

義高一高三總計A變量的對應關系59（48.4%）19（16.4%）78（32.8%）B集合的對應關系6（4.9%）20（17.2%）26（10.9%）C映

射0（0）20（17.2%）20（8.4%）D解析式11（9.0%）7（6.0%）18（7.6%）E運算9（7.4%）8（6.9%）17（7.1%）F變量的依賴關系3（2.5%）10（8.6%）13（5.5%）G圖像5（4.1%）7（6.0%）12（5.0%）H模糊或錯誤的定義14（11.4%）9（7.9%）23（9.7%）I其它6（4.9%）8（6.9%）14（5.9%）J未回答9（7.4%）8（6.9%）17（7.1%）49案例2歷史上的函數(shù)概念類別對函數(shù)的理解歷史上的代表數(shù)學家1運算格雷戈里（1667）2解析式伯努利（1696、1718）；歐拉（1748）；拉格朗日（1797）；布爾（1854）3曲線（圖像）歐拉（1748）4變量的依賴關系萊布尼茨（1714）；歐拉（1755）；拉克洛瓦（1797）；柯西（1821、1823）；羅巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；斯托克斯（1847）5變量的對應關系孔多塞（1778）；傅立葉（1822）；羅巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；黎曼（1851）；漢克爾（1870）；哈代（1908）；古爾薩（1923）6映

射戴德金（1887）7集合的對應關系坦納里（1904）；卡拉泰奧多里（1917）；維布倫（20世紀）；布爾巴基（1939）8序偶集皮亞諾（1911）；豪斯多夫（1914）；布爾巴基（1939）50案例2歷史上的函數(shù)概念研究結論

盡管中學生已經(jīng)學過函數(shù)概念，但他們對函數(shù)的理解卻是多種多樣的，與17世紀以后到20世紀上葉不同時空數(shù)學家的理解有著高度的相似性。51思考題你對“函數(shù)概念應該成為中學數(shù)學的基石（F.Klein）”這句話如何理解？請談談自己的感想。函數(shù)教學中，主要的問題是什么？學生在哪些方面感到困惑？在哪些方面容易出錯？你是怎樣解決這些問題的？52作業(yè)題寫一篇《函數(shù)的概念》第1節(jié)教學案例53案例3從多邊形數(shù)到二次冪和公式形數(shù)（figurednumbers）理論可以上溯到畢達哥拉斯（Pythagoras,569B.C.～500B.C.）本人。用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，等等，畢達哥拉斯學派在世界數(shù)學史上首次建立了數(shù)和形之間的聯(lián)系。早期畢達哥拉斯學派似乎已經(jīng)熟悉利用小石子或點來構造三角形數(shù)和正方形數(shù)；晚期的畢達哥拉斯學派成員尼可麥丘（Nicomachus,60?～120?）以及稍后的泰恩（Theon,約2世紀上半葉）則討論了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）。54案例3從多邊形數(shù)到二次冪和公式問題1（“歸納－猜想－論證”第1課時

）

依次計算數(shù)列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四項值，由此猜測的結果，并加以證明。55案例3從多邊形數(shù)到二次冪和公式正方形數(shù)56案例3從多邊形數(shù)到二次冪和公式古希臘數(shù)學家Iamblichus（公元4世紀）在研究Nicomachus《算術引論》一書時發(fā)現(xiàn)=n2

Iamblichus或許正是從正方形數(shù)的構造中發(fā)現(xiàn)上述結論的。57案例3從多邊形數(shù)到二次冪和公式問題2（2006廣東數(shù)學高考題）在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個球，第2、3、4堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以f(n)表示第n

堆的乒乓球總數(shù)，則f(3)=______，f(n)=______。58案例3從多邊形數(shù)到二次冪和公式后期畢達哥拉斯學派數(shù)學家尼可麥丘在《算術引論》中將多邊形數(shù)推廣到立體數(shù)。前四個三棱錐數(shù)為

11+31+3+61+3+6+10

59案例3從多邊形數(shù)到二次冪和公式第n個三棱錐數(shù)為（Nicomachus,1世紀）60案例3從多邊形數(shù)到二次冪和公式前四個四棱錐數(shù)為

11+41+4+91+4+9=16第n個四棱錐數(shù)為61案例3從多邊形數(shù)到二次冪和公式阿基米德62案例3從多邊形數(shù)到二次冪和公式63案例3從多邊形數(shù)到二次冪和公式………64案例3從多邊形數(shù)到二次冪和公式65案例3從多