耦合電感和諧振電路

第4章耦合電感和諧振電路(inductorofcouplingandresonancecircuit)本章主要介紹：①②③①②③耦合電感元件，耦合電感的串、并聯(lián)；含有耦合電感的正弦電流電路的分析，理想變壓器的初步概念;①②③①②③4.1耦合電感元件(coupledinductors)磁耦合：兩個(gè)線圈的磁場存在著相互作用，這種現(xiàn)象稱為磁耦合，亦具有互感。本節(jié)只討論一對線圈相耦合的情況。一.互感（mutualinductance）互感:當(dāng)兩個(gè)電感線圈物理上相互靠近，一個(gè)線圈所產(chǎn)生的磁通與另一個(gè)線圈相交鏈，使之產(chǎn)生感應(yīng)電壓的現(xiàn)象。圖為兩個(gè)有耦合的線圈。設(shè)線圈芯子及其周圍的磁介質(zhì)為非鐵磁性物質(zhì)。線圈1的匝數(shù)為^1,線圈2的匝數(shù)為N2。規(guī)定每個(gè)線圈電流與電壓為關(guān)聯(lián)參考方向，電流與其產(chǎn)生的磁鏈（或電流與磁通）的參考方向符合右手螺旋法則，也是相關(guān)聯(lián)。耦合線圈無耦合線圈耦合線圈無耦合線圈自感磁鏈：「L在線圈1中產(chǎn)生的磁通為%及磁鏈為匕1，即：%1=NFn*在線圈2中產(chǎn)生的自感磁鏈%2,即：中22=L2‘2互感磁鏈：「‘1在線圈2中產(chǎn)生的磁鏈%1，即：匕1=N2氣1，M21—一線圈1與2的互感?！?在線圈1中產(chǎn)生的磁鏈匕2,即：匕2=M12'I，M12—一線圈2與1的互感。由于磁場耦合作用，每個(gè)線圈的磁鏈不僅與線圈本身的電流有關(guān)，也和與之耦合的線圈電流有關(guān)，即中=f(',i)及中=f(',i)1112及2212由于線圈周圍磁介質(zhì)為非鐵磁性物質(zhì)，上兩式均為線性的，即磁鏈?zhǔn)请娏鞯木€性函數(shù)。結(jié)論：①互感系數(shù)：只要磁場的介質(zhì)是靜止的，根據(jù)電磁場理論可以證明M12=M21，所以，統(tǒng)一用M表示，簡稱互感，其SI單位：亨利（H）?；ジ械牧恐捣从沉艘粋€(gè)線圈在另一個(gè)線圈產(chǎn)生磁鏈的能力?；ジ械拇笮〔粌H與兩線圈的匝數(shù)、形狀及尺寸有關(guān)，還與兩線圈的相對位置有關(guān)。如果兩線圈使其軸線平行放置，則相距越近，互感便越大，反之越小。而兩線圈軸線相互垂直，如圖所示在這種情況下，線圈1產(chǎn)生的磁力線幾乎不與線圈2相交鏈，互感磁鏈接近零，所以互感接近零。耦合系數(shù)：一對耦合線圈的電流產(chǎn)生的磁通只有部分磁通相交鏈，而彼此不交

鏈的那一部分磁通稱為漏磁通。表征耦合線圈的緊密程度，用耦合系數(shù)k表示，其定義為k=—VL1L20WkW鏈的那一部分磁通稱為漏磁通。表征耦合線圈的緊密程度，用耦合系數(shù)k表示，其定義為k=—VL1L20WkW1線圈1、2同時(shí)分別有電流，1和‘2時(shí)，線圈1、2的總磁鏈可以看作是，1和‘2單獨(dú)作用時(shí)磁鏈的疊加。取電流和磁通的參考方向符合右手螺旋法則，電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向，則兩個(gè)耦合線圈的磁鏈可表示為中=中+中=Li+Mi1111211.2.當(dāng)自感磁鏈和互感磁鏈參考方向一致1時(shí)，線圈的磁鏈?zhǔn)窃鰪?qiáng)的，M前面取的是“+”號;當(dāng)自感磁鏈和互感磁鏈參考方向相反時(shí)，線圈的磁鏈?zhǔn)菧p弱的，M前面取的是“一”號。二?同名端（dottedterminals）同名端定義：當(dāng)'^22在耦合線圈中產(chǎn)生的磁場方向一致時(shí)，即線圈的總磁鏈?zhǔn)窃鰪?qiáng)的，電流'1和‘2流入（或流出）的兩個(gè)端鈕稱為同名端。同名端標(biāo)注的原則：當(dāng)兩電感元件電流參考方向都是由同名端進(jìn)入（或流出）元件時(shí)，互感為正。同名端標(biāo)注的符號：用一對“?”或“*”、“△”標(biāo)記。兩個(gè)耦合線圈的同名端可以根據(jù)線圈繞向和相對位置來判別，也可以通過實(shí)驗(yàn)方法確定。兩個(gè)耦合線圈的同名端確定之后，便可用圖（b）所示的電路模型來表示。例電路如圖所示，試確定開關(guān)S打開瞬間，22'間電壓的實(shí)際極性。解：假定'及電壓u根據(jù)同名端原則可得當(dāng)開關(guān)S打開瞬間diM的參考方向如圖所示，d解：假定'及電壓u根據(jù)同名端原則可得當(dāng)開關(guān)S打開瞬間dium=M-^正值電流減小，即dt<0,所以um<0,其極性與假設(shè)極性相反，所以，22'間的電壓的實(shí)際極性是2'為高電位端，2為低電位端。三.互感電壓（mutualinductancevoltage）忽略互感線圈的內(nèi)阻后，線圈1對線圈2的互感電壓可表示為u21dwu2121dt

（a）（b）選擇互感電壓與互感磁鏈的參考方向符合右手螺旋法則，如圖所示，則上式為U21dwU2121dt因?yàn)镋>0一虹>0一edtdt21因?yàn)镋v0一虬v0一edtdt21當(dāng)電流為正弦交流量時(shí)，互感電壓用相量表示為式中Xm式中Xm=roM稱為互感電抗，單位：歐姆。結(jié)論：①互感電壓的方向與兩耦合線圈的實(shí)際繞向有關(guān)。②互感電壓與產(chǎn)生該電壓的電流的參考方向?qū)ν艘恢拢聪嚓P(guān)聯(lián)）時(shí)，互感電壓取正，不一致（非關(guān)聯(lián)）時(shí)為負(fù)。4.2含有耦合電感的正弦電流電路(sinusoidalcurrentcircuitwithcoupledinductors)互感電路：含有耦合電感的電路。（簡稱互感電路）的正弦穩(wěn)態(tài)計(jì)算可采用相量法。分析時(shí)要注意耦合電感上的電壓是由自感電壓和互感電壓疊加而成的。根據(jù)電壓，電流的參考方向及耦合電感的同名端確定互感電壓的正、負(fù)是互感電路分析計(jì)算的難點(diǎn)。由于耦合電感支路的電壓不僅與本支路電流有關(guān)，還和與之有耦合支路的電流有關(guān)，所以互感電路的分析計(jì)算一般采用支路電流法或網(wǎng)孔電流法。一.耦合電感的串聯(lián)（seriesconnectionofcoupledinductors）耦合電感的串聯(lián)聯(lián)接有兩種方式：順向串聯(lián)和反向串聯(lián)。順向串聯(lián)(b)①電路圖及方程：耦合電感的順向串聯(lián)是異名端相接，如圖（a）所示。電流是從兩電感的同名端流入（或流出），其線圈磁鏈?zhǔn)窃鰪?qiáng)的。(b)（a）按圖示參考方向，KVL方程為:U=j?LI"+j^MI=jw(L+M)I111U2=j?L21+j?MI=jw(L2+M)IU=U+U=jw(L+L+2M)I=j?LI其中L=L1+L2+2M1212

②等效（去耦等效）電感：L=L1+L2+2M反向串聯(lián)電路圖及方程：耦合電感的反向串聯(lián)是同名端相接，如圖（a）所示。電流是從一個(gè)線圈的同名端流入（或流出），從另一個(gè)線圈的同名端流出（或流入），其線圈的磁鏈?zhǔn)菧p弱的。(b)（a）按圖示的參考方向，(b)（a）按圖示的參考方向，KVL方程為:U]=j叫廣―j?MI=jw（L1-M）IU2=j?L21-j^MI=jw（L2—M）IU=U+U=jw（L+L-2M）I=j?LI其中L=L]+L2—2M1212②等效（去耦等效）電感：L=L1+L2-2M注意：去耦后，耦合電感支路等效為（L「M）和（L2-M）,這兩者其中之一有可能為負(fù)值。但其耦合等效電感L不可能為負(fù)（因?yàn)橛蠰]+L2>2M）。二.耦合電感的并聯(lián)（parallelconnectionofcoupledinductors）耦合電感的并聯(lián)也有兩種方式：同側(cè)并聯(lián)和異側(cè)并聯(lián)。同側(cè)并聯(lián)所示。(b)①電路圖及方程：耦合電感的同側(cè)并聯(lián)是兩個(gè)同名端連接在同一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，如圖（a）（a）在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，按圖示的參考方向有U=j叫4+jwMI^U=j叫J+jwM/]因?yàn)?=4+「2，所以上兩式可寫成，一U=jwMI+jw（L]-M）11'U=jwMI+jw（L-M）12由上式得到去耦等效電路如圖（b）2所示。注意去耦等效之后原電路中的節(jié)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為圖（b）中的A點(diǎn)而非A'點(diǎn)。所示。(b)②等效（去耦等效）電感:LL②等效（去耦等效）電感:LL-M2

L=——匕+L2-2M由圖(b)電路可求出等效阻抗為z=j,m,由圖(b)電路可求出等效阻抗為z=j,m,j叫—M)-j碩A—M)=j.LL-M2)j應(yīng)j碩L-M)+j?(L2-M)L+L2-2M/示o可以證明，只要改變同側(cè)并聯(lián)電路圖（b）中M前符號就是其等效電路，如圖（b）所/示oTLL-M2L=1―2②等效（去耦等效）電感：Li+L2+2M耦合電感的兩個(gè)線圈有一個(gè)端鈕相連接時(shí)耦合電感的兩個(gè)線圈雖然不是并聯(lián)，但它們有一個(gè)端鈕相連接，即有一個(gè)公共端，去耦法仍然適用，仍然可以把有耦合電感的電路化為去耦后的等效電路。如圖（a）所示。由圖（a）可得U13U23由于1=4+<所以上式可寫成-U13=jw（L1-M）I]+jwMI]U23=jw（L-M）12+jwMI由上式可得去耦等效電路如圖（b）所示。如改變圖（a）中耦合線圈同名端的位置，如下圖（a）同樣可推導(dǎo)其去耦等效電路如下圖（b）o

三.含耦合電感電路的一般計(jì)算方法(analysismethodscircuitwithcoupledinductors)在計(jì)算含有耦合電感的正弦電流電路時(shí)，采用相量表示電壓、電流，則前面介紹的相量法仍然適用。但由于某些支路具有耦合電感，這些支路的電壓不僅與本支路的電流有關(guān)，同時(shí)還與那些與之有耦合關(guān)系的支路電流有關(guān)，因而象阻抗串并聯(lián)公式、節(jié)點(diǎn)電壓法等不便直接應(yīng)用。而以電流為未知量的支路電流法、網(wǎng)孔電流法則可以直接應(yīng)用，因?yàn)榛ジ须妷嚎梢灾苯佑?jì)入KVL方程中。例已知圖中，L1=1H，L2=2H，M=0.5H，R1=R2=1KQ，試求電路中電流，及耦合系數(shù)K。u=100sin200兀tV解：支路的阻抗為Z=7?i+7?2+Jco(Z1+Z2—2M)=2000+J40OxQ.u=100sin200兀tV所以i=己=42^3/-32.FU=10Z0。V,R=R=3Q,roL1121所以i=己=42^3/-32.FU=10Z0。V,R=R=3Q,roL1121耦合系數(shù)為例=roLi=42.3sin(200兀t-32.1。)A7M0.5k==「=0.354X：LL<2'12電路如圖所示，=4。,roM=2Q，試求開路電壓"2。2解法一：由題意知12一0根據(jù)圖示電路的參考方向可得.M=(&+仙匕1)11+i????=j9叫1+(拓+枝4)&+%解得

4=—=10^T=■-53.1七Ai+JoZi3+j4U2=.10.^1+^!=j5x2Z-53.1Q+10210：=〔.4/10.3。y解法二：原電路的去耦等效電路如圖(b)所示/.%=—視2^i+joj[Zii+M.J+jojL-M)=史紋10/0°4.3理想變壓器(idealtransformer)一.理想變壓器模型3(idealtransformermodel)理想變壓器幾個(gè)參數(shù)i）K=1理想變壓器幾個(gè)參數(shù)i）K=1.理想變壓器特性一（ideal.理想變壓器特性一（ideal理想變壓器：是無記憶性，輸能量的元件。ui+ui=0因?yàn)?122理想變壓器的變阻抗：

原邊的入端阻抗為??

丁UnUZ==2.iI1-Lin2ii）Ni、N2為原邊、副邊的匝數(shù)iii）n=N「「N2（常量），理想變壓器的變比理想變壓器方程按圖（a）中所示的同名端及電壓、電流參考方向原、副邊電壓和電流關(guān)系為u=nu，'—1"1n2J變壓器的理想化條件：「K=1L1、L2和M均為無限大I=n采用的措施:廣芯子用磁導(dǎo)率H很高的磁性材料J保持匝數(shù)比N"不變情況下，盡可能增加匝數(shù)采用的措施:使K接近于1,即盡量緊密耦合transformermodel）無動(dòng)態(tài)過程，無損元件。理想變壓器是一個(gè)變換信號和傳U=n2(-^^)=n2ZIL2理想變壓器輸出端口接有阻抗Z［，則輸入端口的入端阻抗（折合到原邊）為n2氣=1Q,R2=1Q,R2=50Q,"S=10sin101V求u例圖（a）理想變壓的匝數(shù)比為1：10及解法一：用回路電流法，根據(jù)圖（a）可得&+尊1=理想變壓器的電壓、電流關(guān)系為10U-…解得u=-—^s=—33.3sin(10t)V解法二：用阻抗變換法，等效電路如圖（b）所示。解得兄勺=/彘=擊區(qū)50=0.5Qu=緝——u=—uR+RS3S1紹1u=——u=——un13S?u=-33.3sin(10t)V..24.4串聯(lián)諧振(seriesresonance)諧振：端口電流與外加電壓同相的現(xiàn)象。諧振電路：發(fā)生諧振的電路。諧振條件：使諧振發(fā)生的條件。諧振的實(shí)際意義：①在無線電工程中廣泛的應(yīng)用在電力系統(tǒng)中應(yīng)避免，諧振可能會(huì)破壞系統(tǒng)正常工作。.RLC串聯(lián)電路的諧振條件（conditionofseriesresonanceonRLCseriescircuit）串聯(lián)諧振：RLC串聯(lián)電路中發(fā)生的諧振。諧振的條件如圖RLC串聯(lián)電路中，電路的阻抗為1一,Z=R+j(roL—r)=R+j(Xl-Xc)=R+jX=|Z|Z甲發(fā)生串聯(lián)諧振時(shí)阻抗的虛部為零joj-Z+房一1發(fā)生串聯(lián)諧振時(shí)阻抗的虛部為零joj-Z+房一1八「yI①L—0即1m口=0或杯諧振角頻率和諧振頻率（固有頻率）分別為1①.——0心f=—=02rLC結(jié)論：諧振頻率由電路結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。RLC串聯(lián)電路的諧振頻率由L、C決定，與R無關(guān)。串聯(lián)諧振電路的特點(diǎn)ofseriesofseriesresonanceonRLCseriescircuit)諧振時(shí)電路的特點(diǎn)阻抗為最小值（Z=R），"阻抗為最小值（Z=R），"Uc=QU電流為最大值（10=UR）特性阻抗P和品質(zhì)因數(shù)QT1p=口L=0Q=空1RcoLI_UURi—UR=UQ=里R品質(zhì)因數(shù)Q的定義：為了維持諧振電路中的電磁振蕩，激勵(lì)源必須不斷供給能量以補(bǔ)償電路中電阻損耗的能量。與諧振電路所儲(chǔ)存電磁場總能量相比，每振蕩一次電路消耗能量愈減少，即維持一定能量的振蕩所需功率愈?。≦愈大），則振蕩電路的“品質(zhì)”愈好。因此Q的定義為2kfLcoLI_UURi—UR=U2kfL_cdL

R—RQ=2兀x—-——=2兀x諧振時(shí)一周期內(nèi)電路中損耗能量T1..TX—RI2過電壓現(xiàn)象：Q>>1時(shí)，在電感和電容兩端出現(xiàn)大大高于外施電壓〃的高電壓的現(xiàn)象。實(shí)際電路的Q值可達(dá)200?500，甚至更高。串聯(lián)諧振電路中的磁場能量和電場能量RLC串聯(lián)電路中儲(chǔ)存能量的總和為設(shè)諧振時(shí)外加電壓為u=克Usin°0'V，?uU.則有i=v2rsinrot=、21sinrotA

克Icosrot=-72QUcosrotV又因?yàn)樗?w;2U—^—sin(wt-90)=-0則有克Icosrot=-72QUcosrotV又因?yàn)樗訽__11_W——L(、21sinrot)2+—C(一氣2QUcosrot)2—LI2sin2①t+CQ2U2cos2①t1—LI2—CQ2U2=-CUc—常量結(jié)論：磁場能量和電場能量的總和為一常數(shù)。即：在電感和電容之間，周期性地進(jìn)行著磁場能量與電場能量的交換。例串聯(lián)諧振電路如圖所示，已知L=500口H,C=2000pF,Q=50，電源電壓有效值U=100mV，試求電路的諧振頻率f0，諧振時(shí)的電流I和電容上的電壓"解：4=一=—丁]=0.159MHz2%\1LC27r^500xl0-3x2000xl0~12R=Q諧振時(shí)的電流500X10-6

50|/2000X10-12=1R=Q諧振時(shí)的電流皿10x10-31=飛=—To—=1獨(dú)諧振時(shí)電容上的電壓UC=QUS=50X10X10-3=0.5V三.頻率特性和電流諧振曲線(frequencycharacteristicandcurrent-resonantcurve)頻率特性：電壓、電流、阻抗和幅角、電抗等與頻率的關(guān)系。Uc與刃的關(guān)系曲線。諧振曲線：I、Ul1.電抗的頻率特性X=X-X2.電流諧振曲線I=U=uR:諧振電//0I刃L'、R/―0-諧振曲線：I、Ul1.電抗的頻率特性X=X-X2.電流諧振曲線I=U=uR:諧振電//0I刃L'、R/―0-/—)2/CR10I1J刃刃0■1+Q2(\一一1)2①①U■1+Q2(流；R.1+Q2(1n=—刃。：相對頻率，即電源頻率與諧振頻率之比。圖示諧振曲線稱為通用諧振曲線?？梢姡狠敵鼍哂羞x擇性。門=1(諧振點(diǎn))時(shí)，曲線出現(xiàn)高峰，輸出為最大。門＜1和門＞1時(shí)，輸出逐漸下降，隨門一0和門一8而下降為零。選擇性：對偏離諧振點(diǎn)的輸出有抑制能力，在諧振頻率附近頻域內(nèi)有較大幅度的輸出。電路選擇性的優(yōu)劣取決于對非諧振頻率輸入信號的抑制能力。濾波性質(zhì)：諧振電路的這種只允許一定范圍頻率的電流信號通過的性質(zhì)。通頻帶：通頻寬度，又稱帶寬。它規(guī)定了諧振電路允許通過信號的頻率范圍。一般規(guī)定，以通用曲線上—=L=0.70710偵2綜上分析，品質(zhì)因數(shù)Q值越大，電流比就下降得越多，電路的通頻帶越窄，表明電路對不是諧振角頻率的電流具有較強(qiáng)的抑制能力，即選擇性較好；反之，品質(zhì)因數(shù)。值很小，則在諧振點(diǎn)附近電流變化不大，選擇性很差。Q值稱為品質(zhì)因數(shù)即來源與此。4.5并聯(lián)諧振(parallelresonance)串聯(lián)諧振電路適合于激勵(lì)源內(nèi)阻很小的情況，如果激勵(lì)源的內(nèi)阻很大，采用串聯(lián)諧振電路將嚴(yán)重地降低回路的品質(zhì)因數(shù)，使電路的選擇性變壞。此時(shí)應(yīng)采用并聯(lián)諧振電路。一.RLC并聯(lián)諧振的諧振條件resonanceonRLCparallelcircuit)并聯(lián)諧振：RLC并聯(lián)電路中發(fā)生的諧振。諧振的條件如圖RLC并聯(lián)電路中，電路的導(dǎo)納為resonanceonRLCpara