給學(xué)生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計

本1

本2第四

本3完整描述一個隨 一般只要知道 量的重要綜合指――――數(shù)字

本如：評價某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，通的某些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有義，它們能更直接、更簡潔、更清晰和更反映出 量的本質(zhì)

本

等 3 售價 10產(chǎn)品資平均售價

數(shù)量kk

1 3

6 xxk

x

x

n

kx51831068.9（元k ＊一般：

本xxk

xk ――――數(shù)學(xué)期▲定義設(shè)離散型隨量X的分布律pkP{Xxk}(k1,2,3,)kE(X) xkk

1本14 1 pE(X)xkpk0(1p)1pk＊例X~P()EXE(X)

kk

k

(k

e＊例３：X~b(n

EXnp＊例４：甲，乙兩人進行打靶，所得分數(shù)分別記X1X2012X0120試評定他們的成績的好解：計算平均E(X1)0010.220.8E(X2)00.610.320.1顯然，乙的成績遠不如甲的成8＊例５：某柜臺上有４個售貨員，并預(yù)備了兩個臺秤，若每個售貨員在一小時內(nèi)平均解：每個時刻構(gòu)成一n4的貝努里試p15XX~9P(X

X~

本4C30.253(10.25)0.2544Y 臺秤

E(Y)p 臺秤不Y服從０－１分布

1 某種產(chǎn)品的每件表面上的疵點數(shù)服從參0.8的泊松分布，若規(guī)定疵點數(shù)不超過1個為等品，價值10元；疵點數(shù)大于1個不多于4個為二等品，價值8元；疵點數(shù)超過４個為廢品。求）X為每件產(chǎn)品上X~P{X4}1P{X 10.8e0.8k 產(chǎn)品的廢品率為0.001412X為每件產(chǎn)品上的X~P(0.8P{X4}設(shè)Y為產(chǎn)品的價值，則Y的分布8 8

P{X

P{1X

P{XE(Y)10P{X}8P{1X0P{X110

e0.88

k k 9.6（元）－－產(chǎn)品價值的平均值二．連續(xù)型 量的數(shù)學(xué)期

本設(shè)連續(xù)型 量X的密度函數(shù)為f(x)果廣義積分xf(x)dx絕對收斂的值為 量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記作EXE(X)xf(x)dx 0x

本f(x

2 1x0 0 E(X)1

xf(x)dx2

xf(x)dxxf(x)dx 1

xf(x)dx2

xf(x)dx0

xxdx

x(2x)dx0＊例f(x)b

ax

本 E(X)xf(x)dx

xf(x)dx

xf(x)dx

xf(x)dxabx0dxx ab

x01(ab)

b 某商店對某種家用電器的銷售采用先使的方式 為X（以年計規(guī)定使用X1X2XX一臺付款（設(shè)壽命 服從指數(shù)分布，概率密度f

xx

，試求該商店一臺電Y的數(shù)學(xué)期望。解：先求出X落在各個時間區(qū)間的率P{X

0.1e0.1xdx1

使用X使用X1X2XX本一臺付款（3000f(x)

xx

P{X}P{1XP{2X

20.1e0.1x130.1e0.1x2

一 平一P{X

0.1e0.1xdx3Y

E(Y)

3000三．二維 量的數(shù)學(xué)期

本＊對二維 量(X,Y)，則它的數(shù)學(xué)期望為E(X,Y)(EX,EY離散型：分布P{Xxi,Yyy} (i,j E(X)xipixi j E(Y) yjpj yjj j1 連續(xù)型：聯(lián)合密f(x

本E(X)xfX(x)dxxf(x,E(Y)yfY(y)dy

yf(x, 0yxf(x,y

yE(X)

xdxx12y2dy1 1E(Y)

dxy12y2dy 四． 量函數(shù)的數(shù)學(xué)期＊定理：g(x)是連續(xù)函數(shù)，E[g(X)] g(xk)

本 k（g(xk)pk絕對收斂，X為離散型 量k E[g(X)]g(x)f(x)dx（g(xf(x)dx絕對收X為連續(xù)型隨變量 E(Z)存在（１若X,Y)為離散型隨機向量，其概率分P{Xxi,Yyjpij(i,j1,2,，則Z的數(shù) 為E(Z)E[g(X,Y)] g(xi,yj)pijj1（２若X,Y)為連續(xù)型隨機向量，其概率f(x, E(ZE[gX,Yg(x,yf(xy)dx 4

本＊例

2 E(X2

8(1)21022223422 E(2X2E(X)14＊例２：設(shè)市場對某種商品的需求量為 X（單位：噸它服從[2000,4000]上的均勻解：設(shè)組織貨源為m噸，Y為收益（萬元Yf(X)

X3X(mX X

2000xＸ的密度：f(x

Ｘ的密f(x

2000x

本14 E(Y)g(x)f m

(4xm)dx

40002000

(m27000m4106望達到dE(Y)0望達到 ＊例３：設(shè)XY)的聯(lián)合概率分布

本 01231301/3/03/001/X13/0X13/031/41E(X23p1/3/3/1/8

331 3E(Y)32 0 0123本1301/3/03/001/ (13)0(30)1(31)08(32)0(33)1 EXYEX)E(YXY不獨＊例４：設(shè) E(sinXEX2EXEX)]22解E(sinX)sinxf(x)dx2

sinx

dx

(cosx)0202E(X2

x2f(x)dxx21dx E[XE(X)]2E(X/

(x

/2)

dx

DX)*XY)本 1yx,xf(x,y)

2x3y2

E(Y1

yXY

xy EYyf(x

y