材料學(xué)院學(xué)術(shù)部大一下高數(shù)2講義

第十二章無窮級數(shù)想法能否改變形式(分解)?(常數(shù)項)無窮級數(shù)一、問題的提出介紹二類無窮級數(shù)介紹無窮級數(shù)的作用表示函數(shù)常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)(冪級數(shù))數(shù)值計算二、本章主要內(nèi)容常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項級數(shù)的概念

二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)三、級數(shù)收斂的必要條件*四、柯西審斂原理第一節(jié)一、常數(shù)項級數(shù)的概念

1.級數(shù)的定義:(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項部分和數(shù)列級數(shù)的部分和2.級數(shù)的收斂與發(fā)散:余項所以,級數(shù)發(fā)散所以,級數(shù)收斂解所以,級數(shù)發(fā)散解技巧:利用“拆項相消”求和例.判別下列級數(shù)的斂散性:解:

所以級數(shù)(1)發(fā)散;所以級數(shù)(2)收斂,其和為1.解:

解:

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

結(jié)論:首項1-公比

收斂

發(fā)散

發(fā)散例判斷斂散性例證明(調(diào)和級數(shù))發(fā)散的證:所以發(fā)散問:收斂否?三、基本性質(zhì)結(jié)論:

級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.

(發(fā)散)

(發(fā)散)

(發(fā)散)結(jié)論:

收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減且仍收斂.

收斂

收斂

發(fā)散則級數(shù)發(fā)散；則級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。1，設(shè)收斂,發(fā)散證明在級數(shù)中減去有限多項不影響級數(shù)的斂散性.發(fā)散的

(發(fā)散)

(發(fā)散)結(jié)論:(或加上，或改變)證明注意:即：收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散

若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.但:1,逆命題不一定成立

即:2,逆否命題成立

即:例

判斷級數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散

.四、收斂的必要條件證明eg其一般項為不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散.則級數(shù)發(fā)散若注意

級數(shù)收斂則級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散級數(shù)發(fā)散

若五、小結(jié)1,常數(shù)項級數(shù)的基本概念2,基本審斂法不存在，

收斂

注意:若斂散性不定

發(fā)散五、小結(jié)3,常用結(jié)論2),調(diào)和級數(shù)發(fā)散首項1-公比練:p254/1,2,3,4練習(xí)題練習(xí)題答案第二節(jié)一、正項級數(shù)及其審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法

二、交錯項級數(shù)及其審斂法三、任意項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法1.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的充要條件:定理

正項級數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,

∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.單調(diào)遞增,

也收斂.證:“”“”有極限.有極限.證明即部分和數(shù)列有界3.比較審斂法（小于收斂的更收斂）（大于發(fā)散的更發(fā)散）反證即得比較審斂法的不便:須有參考級數(shù).例:分析以下級數(shù)之?dāng)可⑿越獍l(fā)散發(fā)散注意:沒用解發(fā)散發(fā)散注意:沒用解發(fā)散有界，所以收斂比較法重要參考級數(shù):

幾何(等比)級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).結(jié)論:一定發(fā)散進一步結(jié)論:斂散性以1為分界發(fā)散，收斂，發(fā)散收斂練：發(fā)散收斂發(fā)散收斂收斂練:例:之?dāng)可⑿苑治鼋?發(fā)散發(fā)散收斂收斂4.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù),如果則(1)當(dāng)時,二級數(shù)有相同的斂散性;

(2)當(dāng)時，若收斂,則收斂;

(3)當(dāng)時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;解故原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)收斂.(1)解發(fā)散.解故原級數(shù)收斂.收斂.解（4）原級數(shù)收斂收斂,故原級數(shù)收斂.解收斂,（5）問:反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.答:收斂的必要條件比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù).比值審斂法的缺點:解比值審斂法失效,改用比較審斂法解解例:之?dāng)可⑿苑治鼋?一):比較法故原級數(shù)收斂.(注意:不行)收斂,解(二):比較法極限形式故原級數(shù)收斂.收斂,解(三):比值法故級數(shù)收斂.例:之?dāng)可⑿苑治鼋?一):比較法解(二):比值法故級數(shù)收斂.故原級數(shù)收斂.(注意:不行)收斂,結(jié)論:通項中有階乘和冪次時往往用比值法例:之?dāng)可⑿苑治鼋?一):比較法解(二):（性質(zhì)）均收斂,故原級數(shù)收斂收斂,故原級數(shù)收斂的斂散性

.解:

級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;例:分析證明:證:對級數(shù):收斂.例:收斂的必要條件:級數(shù)收斂.結(jié)論同比值判斷法.例:之?dāng)可⑿苑治鼋?級數(shù)收斂.二、交錯級數(shù)及其審斂法定義:

正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).或證明滿足收斂的兩個條件,例:分析以下級數(shù)的斂散性解:所以級數(shù)收斂解令所以級數(shù)收斂解:

令即所以級數(shù)收斂收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂練:三、任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂證明解:

而收斂

,收斂所以原級數(shù)絕對收斂.例.討論下列級數(shù)斂散性，若收斂，說明是絕對收斂還是條件收斂:因此原級數(shù)絕對收斂收斂,解:

發(fā)散

,收斂因此，原級數(shù)為條件收斂而解:

所以級數(shù)發(fā)散

解:

發(fā)散而對于條件收斂發(fā)散解:

絕對收斂發(fā)散收斂而條件收斂發(fā)散收斂為條件收斂.為絕對收斂.為絕對收斂.為發(fā)散為絕對收斂.為條件收斂

.練:

下列級數(shù)是否收斂?若收斂,是條件收斂還是絕對收斂?考題發(fā)散收斂絕對收斂發(fā)散收斂解為絕對收斂.為發(fā)散為收斂.為發(fā)散注意!一般發(fā)散發(fā)散但若有比值或根值法得發(fā)散發(fā)散本頁略內(nèi)容小結(jié)1.正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法(冪次/階乘)根值審斂法(N次方)收斂發(fā)散不定

比較審斂法(極限形式)用它法判別部分和極限比較審斂法比較審斂法極限形式小于收斂的更收斂大于發(fā)散的更發(fā)散具有相同斂散性發(fā)散收斂收斂發(fā)散比較法重要參考級數(shù):

幾何(等比)級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).發(fā)散首項1-公比Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂2.交錯項級數(shù)審斂法且3.任意項級數(shù)審斂法絕對收斂條件收斂為收斂級數(shù),收斂結(jié)論:練習(xí)題一解:

斂散性?解:

發(fā)散斂散性?解:

故原級數(shù)發(fā)散發(fā)散斂散性?解:

故原級數(shù)收斂收斂斂散性?解:

收斂

對故原級數(shù)收斂斂散性?解:

故原級數(shù)絕對收斂收斂斂散性?解:

收斂發(fā)散解:

斂散性?收斂收斂(由題意得

必為正項級數(shù))

斂散性?解:

收斂交錯項級數(shù)收斂?若收斂,是絕對收斂還是條件收斂?解:

發(fā)散而

(條件)收斂發(fā)散視為任意項級數(shù)收斂?若收斂,是絕對收斂還是條件收斂?解:

發(fā)散對條件收斂斂散性?解:

絕對收斂斂散性?解:

絕對收斂發(fā)散收斂而條件收斂發(fā)散設(shè)收斂,問收斂?解:

收斂收斂收斂14,下列級數(shù)收斂的是()下列級數(shù)收斂的是()15,若收斂,16,下列級數(shù)不收斂的是()17,級數(shù)之和18,級數(shù)則級數(shù)19,下列級數(shù)收斂的是()20,級數(shù)級數(shù)均收斂均收斂收斂發(fā)散收斂發(fā)散21,級數(shù)正項,則下列命題錯誤的是()若則收斂若則發(fā)散若則收斂若則收斂22,用比較或比值法判斂散收斂收斂發(fā)散收斂收斂收斂或收斂或收斂發(fā)散發(fā)散收斂收斂收斂收斂)收斂絕對收斂絕對收斂發(fā)散23,下列級數(shù)中,絕對收斂的是()24,下列級數(shù)中,條件收斂的是()25,發(fā)散絕對收斂條件收斂斂散性與有關(guān)解:發(fā)散收斂選26,斂散性解:絕對收斂發(fā)散收斂發(fā)散27,斂散性解:收斂,收斂,收斂,時,收斂.28,正項數(shù)列單調(diào)減少,發(fā)散,問:收斂?解:正項數(shù)列單調(diào)減少,發(fā)散,所以收斂29,發(fā)散絕對收斂條件收斂斂散性與有關(guān)收斂,則解:由故絕對收斂30,斂散性?解:所以收斂所以(條件)收斂31,發(fā)散絕對收斂條件收斂斂散性與有關(guān)解:收斂絕對收斂選32,發(fā)散絕對收斂條件收斂斂散性與有關(guān)為常數(shù),解:收斂發(fā)散發(fā)散33,以下級數(shù)收斂?若收斂,是條件收斂還是絕對收斂?解:發(fā)散對條件收斂解:發(fā)散條件收斂練習(xí)題二練習(xí)題答案第三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念

函數(shù)項級數(shù)（冪級數(shù)）二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)運算一、函數(shù)項級數(shù)的概念

1.定義:2.收斂點與收斂域:3.和函數(shù):例如,

等比級數(shù)即它的收斂域是它的發(fā)散域是收斂到發(fā)散和函數(shù)

記:

二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:標(biāo)準(zhǔn)型關(guān)于原點對稱證：（絕對收斂）由(1)結(jié)論時，級數(shù)發(fā)散即當(dāng)結(jié)論幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?此時，冪級數(shù)的收斂區(qū)域可能為說明:收斂區(qū)間往往不需討論端點情況證明記憶方法:（比值判斷法）由比值審斂法,級數(shù)絕對收斂定理證畢.的收斂半徑為說明:據(jù)此定理得對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)即:例

求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)域:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散解解發(fā)散收斂故收斂區(qū)域為(0,1].的收斂半徑及收斂域.例.求冪級數(shù)解（一）時發(fā)散非標(biāo)準(zhǔn)型發(fā)散收斂故收斂區(qū)域為(0,1].的收斂半徑及收斂域.例.求冪級數(shù)解（二）(了解）對建議：對非標(biāo)準(zhǔn)型用解法一例.的收斂半徑.(p274/eg4)解:時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散

故收斂半徑為

非標(biāo)準(zhǔn)型解級數(shù)收斂,非標(biāo)準(zhǔn)型級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂區(qū)域為發(fā)散發(fā)散解由比值判別法原級數(shù)絕對收斂.非標(biāo)準(zhǔn)型原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;的收斂半徑,收斂域.例求解:收斂發(fā)散發(fā)散所以收斂域的收斂半徑,收斂域.例求解:收斂;發(fā)散;收斂;發(fā)散故收斂域為:2，求冪級數(shù)收斂半徑、收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)收斂半徑小結(jié)再討論端點的收斂性,得收斂域

.1，冪級數(shù)收斂性質(zhì):收斂絕對收斂發(fā)散發(fā)散2)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)直接用比值法得收斂半徑,(也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求).再討論端點的收斂性,得收斂域

.1.

已知處絕對收斂,問該級數(shù)收斂半徑為多少?答:由題意可知,級數(shù)在收斂,時發(fā)散

.故收斂半徑為問：2.

已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑為多少?答:無法確定

已知處條件收斂,則該級數(shù)在在處（a)一定發(fā)散（b)可能收斂可能發(fā)散（c)一定絕對收斂（d)一定條件收斂3.

已知處條件收斂,則該級數(shù)收斂在半徑R=1.代數(shù)運算:(1)加減法三、冪級數(shù)運算-----求和函數(shù)(2)*乘法(3)*除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)2.分析(求導(dǎo)和積分)運算:若則連續(xù),(收斂半徑不變,但收斂域有可能改變)(收斂半徑不變,但收斂域有可能改變)微分運算作用：通過對已知級數(shù)的和函數(shù)作微分運算可以得到新的級數(shù)的和函數(shù)（收斂半徑不變，但收斂區(qū)域可能有變）已知和函數(shù)解兩邊積分得兩邊求導(dǎo)得發(fā)散設(shè)例.

的和函數(shù)解:則級數(shù)均發(fā)散例.

的和函數(shù)解:

易求出發(fā)散例.

的和函數(shù)求冪級數(shù)（P276/例6)解:級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散解:

R＝+∞.例*.則故得的和函數(shù).因此得設(shè)微分方程例.

收斂半徑、收斂區(qū)域、和函數(shù)及之和解：即時收斂發(fā)散所以收斂區(qū)域為：設(shè)即時發(fā)散則設(shè)例*.

解：求

之和

考慮冪級數(shù)易得:收斂區(qū)域代入:解:原式=的和

.求級數(shù)例*

小結(jié):1，冪級數(shù)運算(收斂半徑不變,但收斂域有可能改變)2，求冪級數(shù)和函數(shù)的方法：----收斂區(qū)間內(nèi)通過逐項求導(dǎo)或求逐項積分3*，求數(shù)項級數(shù)和的方法：1）直接求2）借助于函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)求練習(xí)題練習(xí)題答案求和展開第四節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)

一、泰勒(Taylor)級數(shù)

二、函數(shù)展開成冪級數(shù)

一、泰勒(Taylor)級數(shù)

其中(在x與x0

之間)稱為拉格朗日余項.則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),此式稱為f(x)的n階泰勒公式

,該鄰域內(nèi)有:1、n階泰勒(Taylor)公式

x0x0x其中(在x與0之間)稱為麥克勞林余項.此式稱為f(x)的n階麥克勞林公式

,當(dāng)x0=0

時,拉格朗日中值定理

abx0x為f(x)的泰勒級數(shù)

.則稱當(dāng)x0=0

時,若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),為f(x)的麥克勞林級數(shù)

.2、n階泰勒(Taylor)級數(shù)

f(x)的n階泰勒公式

為f(x)的泰勒級數(shù)

二者關(guān)系：

問題：即：泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?證明必要性的泰勒級數(shù)收斂于充分性又二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接展開法(泰勒級數(shù)法)步驟:(1)寫出泰勒公式（麥克勞林公式）若例解得對任何有限數(shù)x,其余項滿足(在0與x之間)展開為麥克勞林級數(shù)對應(yīng)的冪級數(shù)收斂由麥克勞林公式例解得級數(shù):其收斂半徑為對任何有限數(shù)

x,其余項滿足例解兩邊積分得即牛頓二項式展開式注意:2.間接法利用已知展開式，通過變量代換、逐項求導(dǎo)、逐項積分等方法,求展開式.例：分別將展開為的冪級數(shù)解將展開為的冪級數(shù)例:(在進行泰勒展開)解:已有展開式：例.

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).并求解:

又有展開式：例.

將展成解:

的冪級數(shù).例將分別展開為的冪級數(shù)解：例.

將展成x－1的冪級數(shù).解:

解例*（即展開為并求的冪級數(shù)），例：將展開為的冪級數(shù)解

將在x=0處展為冪級數(shù).解:例(展開為的冪級數(shù))例：將在點進行泰勒展開解展開為的冪級數(shù))(即：例將展開為的冪級數(shù)解解:考題考題內(nèi)容小結(jié)

1,f(x)的n階泰勒公式

2,f(x)的泰勒級數(shù)

3.函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式

;(2)間接展開法—利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開3.常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式式的函數(shù)

.例*將下列函數(shù)展開成x

的冪級數(shù)解:x＝±1時,此級數(shù)條件收斂,因此練習(xí)題練習(xí)題答案習(xí)題課3、函數(shù)的冪級數(shù)展開1、數(shù)項級數(shù)的審斂法2、冪級數(shù)收斂半徑、收斂域及和函數(shù)的求法一、本章主要內(nèi)容例將展開為的冪級數(shù)解二、典型例題1，冪級數(shù)展開例將分別展開為的冪級數(shù)解例將展開為的冪級數(shù)解例解將展開為麥克勞林級數(shù)（展開為的冪級數(shù)）例.

將展開為x的冪級數(shù)?解:例

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:例將展開為的冪級數(shù)解級數(shù)發(fā)散,例展開為的冪級數(shù)解將并求級數(shù)之和例展開為的冪級數(shù)解將2，冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)域及和函數(shù)例解設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為求冪級數(shù)的收斂半徑時收斂,例解若在處收斂,則此級數(shù)在處1)條件收斂2)絕對收斂3)發(fā)散4)收斂性不定收斂,時,絕對收斂,所以選2)例的收斂半徑、收斂區(qū)域及和函數(shù)解求冪級數(shù)并求之和收斂所以收斂區(qū)域：收斂設(shè)例的收斂半徑、收斂區(qū)域及和函數(shù)解求冪級數(shù)發(fā)散收斂所以收斂區(qū)域：設(shè)則例的收斂半徑、收斂區(qū)域及和函數(shù)解求冪級數(shù)發(fā)散所以收斂區(qū)域：發(fā)散設(shè)或例*解兩邊逐項積分先求出收斂區(qū)間則設(shè)和函數(shù)為例*.

求