微分幾何第二章

微分幾何第二章第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第二章內容概要本章我們討論平面曲線和空間曲線的微分幾何性質．內容包括曲線的伏雷內標架、曲率、相對曲率、撓率、伏雷內公式、近似結構、基本定理等．重點：伏雷內標架、曲率、相對曲率、撓率的計算、伏雷內公式的應用．如無特別說明，我們都是在曲線的正則點附近進行討論．返回章首第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.1平面曲線內容：曲率、相對曲率、伏雷內標架、伏雷內公式等重點：曲率與相對曲率的計算返回章首第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.1

平面曲線-伏雷內標架設平面曲線C:r=r(s)以弧長為參數(shù)，則其切向量

a

(s)=r?(s)是一個單位向量，即

a

(s)?a

(s)=1．兩邊求導數(shù)得a

(s)?a?(s)=0，所以

a

(s)垂直于

a?(s)，這說明a?(s)是曲線的法向量．令

b

=a?/|a?|，則對于每一個

s，[r(s);a

(s),b(s)]構成平面曲線C

上的一個幺正標架，我們稱之為曲線C

上的伏雷內標架．返回章首第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四由導數(shù)的定義我們可知b

總是指向曲線彎曲的那一側．Ca(s)a(s+Ds)a(s+Ds)2.1

平面曲線-b的指向返回章首第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.1

平面曲線-伏雷內公式由

b

的定義有a

?(s)=|a?(s)|b

(s)．令

k(s)=|a?(s)|，則有a?(s)=k(s)b

(s).我們把

k

(s)叫曲線C

在

r(s)處的曲率．定理.（伏雷內公式）我們有

a?=kb

,

b?=–ka

.以上伏雷內公式叫平面曲線的基本公式．返回章首第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.1

平面曲線-曲率計算公式平面曲線為直線的充分必要條件是其曲率為零．如果曲線方程為y=y(x)，取

x

為參數(shù)，則曲線的參數(shù)表示為

r

=(x,y(x))，其曲率為定理.設曲線C:r(t)=(x(t),y(t))，則其曲率為返回章首第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.1

平面曲線-例子例.

求橢圓(x2/a2)+(y2/b2)=1的曲率．解：橢圓可參數(shù)化為r(t)=(acost,bsint)，參數(shù)方程為x=acost,y=bsint，所以有x'=–asint,x''=–acost,y'=bcost,y''=–bsint.代入曲率公式得返回章首第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四練習題1．求曲線y=sinx的曲率．2．求曲線x=acos3t,y=asin3t的曲率．返回章首第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.1

平面曲線-標準伏雷內標架前面我們定義了平面曲線上的伏雷內標架[r(s);a

(s),b(s)]．但伏雷內標架不一定是平面正標架（即它們關于平面上的標準基的分量的行列式不一定為正數(shù)）．但我們總可以在曲線上選取一單位法向量n(s)，使

[r(s);a(s),n(s)]構成正標架，這個標架叫平面曲線的標準伏雷內標架．a

b

a

n

返回章首第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.1

平面曲線-相對曲率與伏雷內公式因

a?//n，所以可令

a

?(s)=kr(s)n(s)．我們稱kr為曲線的相對曲率．注意：相對曲率可正可負．定理.我們有下述形式的伏雷內公式：a

?=krn

,n?=–kra

.返回章首第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.1

平面曲線-相對曲率計算公式如果曲線由y=y(x)給出，則相對曲率為kr=

x?y??–

y?x??；特別地，當用自然參數(shù)時，相對曲率為定理.在一般參數(shù)下，相對曲率為返回章首第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四1．求曲線x=t2,y=t3的相對曲率．2．求曲線y=2px2的相對曲率．練習題返回章首第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.1

平面曲線-在一點附近的結構設曲線C:r

=r(s)．則當

k(s)不為

0時，曲線近似于拋物線．當

k(s)=0，但

k?(s)不為

0時，曲線近似于一條近似立方拋物線．（看證明）返回章首第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2空間曲線內容：三個基本向量、伏雷內標架、伏雷內公式、曲率、撓率、密切平面、從切平面、一般螺旋線等重點：曲率與撓率的計算、密切平面與從切平面方程、伏雷內公式的應用返回章首第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2

空間曲線-密切平面過曲線C

上一點P

處的切線和曲線上位于

P

點附近的另一點Q

作一平面s(Q)．當

Q沿曲線趨向于P時

s(Q)的極限位置s

稱為曲線C

在

P

點的密切平面．過曲線上一點可以作無數(shù)切平面（通過切線的平面），而密切平面則是在P

點附近最貼近于曲線的平面．平面曲線的密切平面顯然就是該曲線所在的平面，而直線的密切平面不確定，或者說直線有無窮多個密切平面．返回章首第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2

空間曲線-密切平面方程用坐標把密切平面方程表示為：(R

–

r(t0),r'(t0),r''(t0))=0.設曲線C:r

=(x(t),y(t),z(t))是光滑的，P是曲線上一點，其參數(shù)是t0．設

R

=(X,Y,Z)是

P

點的密切平面上任意一點，則密切平面方程為：返回章首第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四例.求螺旋線r=(cost,sint,t)在點

P(1,0,0)處的密切平面方程．解：直接計算得r'(t)=(–sint,cost,1),r''(t)=(–cost,–sint,0).

在給定點P

處的參數(shù)t=0，所以有

r(0)=(1,0,0)，r'(0)=(0,1,1)，r''(0)=(–1,0,0)．代入密切平面方程并整理得–Y+Z=0．2.2

空間曲線-例子返回章首第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2

空間曲線-基本向量與伏雷內標架設有空間曲線C:r=r(s)，s是弧長參數(shù)單位切向量

a=r?單位主法向量b

=a?/|a?|（設

r??不為零）單位副法向量g=a×b

曲線

C

的伏雷內標架[r;a

,b

,g

]CabgrO返回章首伏雷內標架第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四法密切從切CPbag主法向量和副法向量決定的平面是法平面切向量和副法向量決定的平面叫從切平面切向量和主法向量決定的平面就是密切平面2.2

空間曲線-三棱錐返回章首第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2

空間曲線-基本向量的計算公式設

C:

r

=

r(t)

由一般參數(shù)給出，則三個基本向量的計算公式為

a

=

r'

/

|

r'

|

,

g

=

(r'

×

r'')

/

|

r'

×

r''

|

,

b

=

g

×a

.返回章首第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2

空間曲線-例子例.求螺旋線r

=

(cost,

sint,

t)

在點

P(1,0,0)

處的三個基本向量．解：直接計算得r'

(t)

=

(–sint,

cost,

1),r''

(t)

=

(–cost,

–sint,

0).在給定點P

處的參數(shù)t

=

0，所以有

r'

(0)

=

(0,1,1)，r''

(0)

=

(–1,0,0)．代入上面的基本向量計算公式得

返回章首第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四練習題1．求曲線x

=

acost,

y

=

bsint,

z

=

et

在t

=

0點的切線、主法線、副法線、密切平面、從切平面與法平面方程．2．證明曲線的密切平面與曲線的參數(shù)選取無關．返回章首第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2

空間曲線-曲率與撓率設

C:

r

=

r(s)

是空間曲線，稱k

(s)

=

|a

?

(s)|為曲線C

在點

r(s)

處的曲率，而

a

?

叫曲率向量．空間曲線除了彎曲外，還有扭轉．為了刻畫扭轉的程度，我們引進撓率的概念．我們把

t

叫曲線的撓率，這里返回章首第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2

空間曲線-伏雷內公式定理.（伏雷內公式）

a

?

=

kb,

b

?

=

–ka

+

tg,

g?

=

–tb.返回章首第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2

空間曲線-曲率與撓率計算公式撓率：曲率：用一般參數(shù)表示的曲率與撓率計算公式返回章首第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2

空間曲線-曲率與撓率為零的曲線曲線的曲率為零的充要條件是該曲線是直線．曲線的撓率為零的充要條件是該曲線為平面曲線．返回章首第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2

空間曲線-曲率和撓率計算舉例

解：直接計算得：

r

=

(–asinq,

acosq,

b),

r''

=

(–acosq,

–asinq,

0),

r'''=

(asinq,

–acosq,

0),|r'|

=

(a2

+

b2),

r'×r''

=

(absinq,

–abcosq,

a2),|r'×r''

|

=

(a2b2

+

a4)1/2,

(r',

r'',

r'''

)

=

a2b,

所以有k

=

a/(a2

+

b2),

t

=

b/(a2

+

b2).例：求圓柱螺旋線r

=

(acosq,

asinq,

bq)

的曲率和撓率．返回章首第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四練習題1．求曲線r(t)

=

(acosht,

asinht,

at)的曲率和撓率，這里a

>

0．2．求曲線r(t)

=

(a(3t

–

t3),

3at2,

a(3t

+

t3))的曲率和撓率，這里a

>

0．3．求a、b，使曲線r(t)

=

(acosht,

asinht,

bt)上每一點的曲率和撓率相等．返回章首第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2

空間曲線-一般螺旋線定理.設有曲線C:r=r(s)，（假定kt≠0）則下列條件等價：

C

是一般螺線；

C

的主法向量與固定方向垂直；

C

的副法向量與固定方向成定角；

C

的曲率與撓率之比是常數(shù)．如果曲線的切向量與固定方向成定角，則稱該曲線為一般螺線．看證明返回章首第30頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四證：由伏雷內公式得

r

??

=

a

?

=

kb，

r

???

=

(kb

)

?

=

–k

2

a

+

k

?

b

+

k

t

g

,

r

????

=

–3k

k

?

a

+

(

k

??

–

k

3

–

k

t

2

)b

+

((k

t

)

?

+

t

k

?

)g

.所以，(r

??

,

r

???

,

r

????

)

=

k

5

(t

/

k

)

?,由此即得結論．例.曲線

r

=

r(s)

是一般螺線的充分必要條件是(

r

??,

r

???,

r

????

)

=

0．2.2

空間曲線-例子返回章首第31頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2.2

空間曲線-曲線在一點附近的結構空間曲線在一點附近的形狀（設kt

≠

0

）：在法平面上的