初中數(shù)學中考復(fù)習 專題14 整式的乘法與因式分解（解析版）

專題14整式的乘法與因式分解知識點1：整式的乘法同底數(shù)冪的乘法法則:(m,n都是正數(shù))2.冪的乘方法則：(m,n都是正數(shù))3.積的乘方：(ab)n=anbn4.整式的乘法法則（1）單項式乘法法則：單項式與單項式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式。（2）單項式與多項式相乘法則：單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。（3）多項式與多項式相乘法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。5.同底數(shù)冪的除法法則:同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減,即(a≠0,m、n都是正數(shù),且m>n).在應(yīng)用時需要注意以下幾點:①法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù),所以法則中a≠0.②任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1,即。③任何不等于0的數(shù)的-p次冪(p是正整數(shù)),等于這個數(shù)的p的次冪的倒數(shù),即(a≠0,p是正整數(shù)),;當a>0時,a-p的值一定是正的;當a<0時,a-p的值可能是正也可能是負的。④運算要注意運算順序。6．整式的除法法則（1）單項式除法單項式：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式；（2）多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。知識點2：乘法公式1.平方差公式:2.完全平方公式:3.添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號。知識點3：1.分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.2.分解因式的一般方法：（1）提公共因式法；（2）運用公式法；（3）十字相乘法；（4）其他方法。一、乘法公式的靈活記憶與使用1.記憶幾個重要的乘法公式（1）(a+b)(a-b)=a2-b2（2）(a+b)2=a2+2ab+b2（3）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（4）(a-b)2=a2-2ab+b2（5）(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3（6）(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b32.乘法公式的靈活變式①位置變化，xyyxx2y2②符號變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦連用公式變化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式變化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz二、怎樣熟練運用乘法公式1.明確公式的結(jié)構(gòu)特征是正確運用公式的前提，如平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的結(jié)構(gòu)特征是：符號左邊是兩個二項式相乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數(shù)；等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平方．明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運用公式．2.要理解字母的廣泛含義。乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式．理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運用公式．如計算：（x+2y－3z）2，若視a=x+2y，b=3z，則就可用（a－b）2=a2－2ab+b2來解了。3.熟悉常見的幾種變化.有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計算，此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點．常見的幾種變化是：（1）位置變化.如（3x+5y）（5y－3x）交換3x和5y的位置后變?yōu)椋?y+3x）（5y－3x）就可用平方差公式計算了。（2）符號變化.如（－2m－7n）（2m－7n）變?yōu)椋?m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了。（3）數(shù)字變化.如后就能夠用乘法公式加以解答了．（4）系數(shù)變化.如（4m+）（2m－）變?yōu)?（2m+）（2m－）后即可用平方差公式進行計算了．（5）項數(shù)變化.如（x+3y+2z）（x－3y+6z）變?yōu)椋▁+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再適當分組就可以用乘法公式來解了．4.注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當?shù)墓揭允褂嬎愀啽悖缬嬎悖╝2+1）2·（a2－1）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進一步計算，則非常簡便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．對數(shù)學公式只會順向（從左到右）運用是遠遠不夠的，還要注意逆向（從右到左）運用．如計算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，而且容易出錯．若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題．即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）×…×（1－）（1+）=××××…××=×=．有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效。三、分解因式的步驟(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的;(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解;(5)因式分解的結(jié)果必須進行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.四、對于有難度的因式分解問題的方法與技巧因式分解是初中代數(shù)中一種重要的恒等變形，是處理數(shù)學問題重要的手段和工具，也是中考中比較常見的題型。對于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等基本方法外，還應(yīng)根據(jù)多項式的具體結(jié)構(gòu)特征，靈活選用一些特殊的方法和技巧。（1）巧拆項：在某些多項式的因式分解過程中，若將多項式的某一項（或幾項）適當拆成幾項的代數(shù)和，再用基本方法分解，會使問題化難為易，迎刃而解。（2）巧添項：在某些多項式的因式分解過程中，若在所給多項式中加、減相同的項，再用基本方法分解，也可謂方法獨特，新穎別致。（3）巧換元：在某些多項式的因式分解過程中，通過換元，可把形式復(fù)雜的多項式變形為形式簡單易于分解的多項式，會使問題化繁為簡，迅捷獲解。（4）展開巧組合：若一個多項式的某些項是積的形式，直接分解比較困難，則可采取展開重組合，然后再用基本方法分解，可謂匠心獨具，使問題巧妙得解。（5）巧用主元：對于含有兩個或兩個以上字母的多項式，若無法直接分解，常以其中一個字母為主元進行變形整理，可使問題柳暗花明，別有洞天?！纠}1】（2020?綏化）下列計算正確的是（）A．b2?b3＝b6 B．（a2）3＝a6 C．﹣a2÷a＝a D．（a3）2?a＝a6【答案】B【解析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方運算法則，同底數(shù)冪的除法法則逐一判斷即可．A．b2?b3＝b5，故本選項不合題意；B．（a2）3＝a6，故本選項符合題意；C．﹣a2÷a＝﹣a，故本選項不合題意；D．（a3）2?a＝a7，故本選項不合題意．【例題2】（2020?無錫）因式分解：ab2﹣2ab+a＝．【答案】a（b﹣1）2．【解析】原式提取a，再運用完全平方公式分解即可．原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；《整式的乘法與因式分解》單元精品檢測試卷本套試卷滿分120分，答題時間90分鐘一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（2020?連云港）下列計算正確的是（）A．2x+3y＝5xy B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4【答案】B【解析】分別根據(jù)合并同類項法則，多項式乘多項式的運算法則，同底數(shù)冪的乘法法則以及完全平方公式逐一判斷即可．A.2x與3y不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，故本選項符合題意；C．a(chǎn)2?a3＝a5，故本選項不合題意；D．（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故本選項不合題意．2．（2020?泰安）下列運算正確的是（）A．3xy﹣xy＝2 B．x3?x4＝x12 C．x﹣10÷x2＝x﹣5 D．（﹣x3）2＝x6【答案】D【解析】分別根據(jù)合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則以及積的乘方運算法則逐一判斷即可．A.3xy﹣xy＝2xy，故本選項不合題意；B．x3?x4＝x7，故本選項不合題意；C．x﹣10÷x2＝x﹣12，故本選項不合題意；D．（﹣x3）2＝x6，故本選項符合題意．3．（2020?齊齊哈爾）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)+2a＝3a B．（a+b）2＝a2+ab+b2 C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a(chǎn)?2a2＝2a2【答案】A【解析】分別根據(jù)合并同類項法則、完全平方公式、單項式的乘方及單項式乘單項式法則逐一計算可得．A．a(chǎn)+2a＝（1+2）a＝3a，此選項計算正確；B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，此選項計算錯誤；C．（﹣2a）2＝4a2，此選項計算錯誤；D．a(chǎn)?2a2＝2a3，此選項計算錯誤；4．（2020?安徽）計算（﹣a）6÷a3的結(jié)果是（）A．﹣a3 B．﹣a2 C．a(chǎn)3 D．a(chǎn)2【答案】C【解析】直接利用同底數(shù)冪的除法運算法則計算得出答案．原式＝a6÷a3＝a3．5．（2020?黑龍江）下列各運算中，計算正確的是（）A．a(chǎn)2+2a2＝3a4 B．x8﹣x2＝x6 C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 D．（﹣3x2）3＝﹣27x6【答案】D【解析】據(jù)合并同類項法則，完全平方公式，冪的乘方和積的乘方分別求出每個式子的值，再判斷即可．A.結(jié)果是3a2，故本選項不符合題意；B.x8和﹣x2不能合并，故本選項不符合題意；C.結(jié)果是x2﹣2xy+y2，故本選項不符合題意；D.結(jié)果是﹣27x6，故本選項符合題意；6.(2019黑龍江綏化)下列因式分解正確的是()A.x2－x＝x(x+1) B.a2－3a－4＝(a+4)(a－1) C.a2+2ab－b2＝(a－b)2 D.x2－y2＝(x+y)(x－y)【答案】D【解析】A.x2－x＝x(x－1),錯誤;B.a2－3a－4＝(a－4)(a+1),錯誤;C.a2+2ab－b2不能因式分解,故錯誤; D.x2－y2＝(x+y)(x－y),是平方差公式.7.（2019廣西賀州）把多項式分解因式，結(jié)果正確的是 B． C． D．【答案】B【解析】運用公式法，故選：B．8.（2019四川瀘州）把2a2﹣8分解因式，結(jié)果正確的是（）A．2（a2﹣4）B．2（a﹣2）2 C．2（a+2）（a﹣2）D．2（a+2）2【答案】C【解析】提公因式法與公式法的綜合運用原式＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2），故選：C．9.下列因式分解正確的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2）【答案】D【解析】A.原式利用平方差公式分解得到結(jié)果，即可做出判斷；原式=（x+2）（x﹣2），錯誤；B.原式利用完全平方公式分解得到結(jié)果，即可做出判斷；原式=（x+1）2，錯誤；C.原式提取公因式得到結(jié)果，即可做出判斷；原式=2m（x﹣2y），錯誤；D.原式提取公因式得到結(jié)果，即可做出判斷．原式=2（x+2），正確。10.下列因式分解正確的是（）A．a(chǎn)4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9）B．x2﹣x+=（x﹣）2C．x2﹣2x+4=（x﹣2）2D．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）【答案】B【解析】原式各項分解得到結(jié)果，即可做出判斷．A.原式=a2b（a2﹣6a+9）=a2b（a﹣3）2，錯誤；B.原式=（x﹣）2，正確；C.原式不能分解，錯誤；D.原式=（2x+y）（2x﹣y），錯誤。二、填空題（每空3分，共30分）11．（2020?安順）化簡x（x﹣1）+x的結(jié)果是．【答案】x2．【解析】先根據(jù)單項式乘以多項式法則算乘法，再合并同類項即可．x（x﹣1）+x＝x2﹣x+x＝x212.（2019四川省雅安市）化簡x2-(x+2)(x-2)的結(jié)果是___________.【答案】4【解析】先根據(jù)平方差公式計算，后做減法，x2-(x+2)(x-2)=x2-(x2-4)=4，故答案為4．13.（2019江蘇常州）如果a－b－2＝0，那么代數(shù)式1＋2a－2b的值是__________．【答案】5【解析】本題考查了整式的求值問題，將條件進行轉(zhuǎn)化，然后利用整體代入的方法進行求值．∵a－b－2＝0，∴a－b＝2．∴1＋2a－2b＝1＋2(a－b)＝1＋2×2＝5，本題答案為5．14．（2019湖南懷化）合并同類項：4a2+6a2﹣a2＝．【答案】9a2．【解析】原式＝（4+6﹣1）a2＝9a215.(2019黑龍江綏化)計算:(－m3)2÷m4＝________.【答案】m2【解析】冪的乘方,同底數(shù)冪的除法(－m3)2÷m4＝m6÷m4＝m2.16．（2020?常德）分解因式：xy2﹣4x＝．【答案】x（y+2）（y﹣2）【解析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2）17．（2020?臺州）因式分解：x2﹣9＝．【答案】（x+3）（x﹣3）．【解析】原式利用平方差公式分解即可．原式＝（x+3）（x﹣3）18．（2019?深圳）分解因式：ab2﹣a＝．【答案】a（b+1）（b﹣1）【解析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）19．（2020?新疆）分解因式：am2﹣an2＝．【答案】a（m+n）（m﹣n）【解析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．原式＝a（m2﹣n2）＝a（m+n）（m﹣n）20．（2020?自貢）分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝．【答案】3（a﹣b）2．【解析】先提取公因式3，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．3a2﹣6ab+3b2＝3（a2﹣2ab+b2）＝3（a﹣b）2．三、解答題（10個小題，每小題各6分，共60分）21.計算(－2x－y)(2x－y)．【答案】y2－4x2【解析】即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用．原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y2－4x2．22.計算19982－1998·3994＋19972【答案】1【解析】將這些公式反過來進行逆向使用．原式=19982－2·1998·1997＋19972=(1998－1997)2=123.化簡：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．【答案】216．【解析】分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規(guī)律，如果再增添一個因式“2－1”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解．原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．24.計算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)【答案】9y2－4x2＋12x－12y－5．【解析】仔細觀察，易見兩個因式的字母部分與平方差公式相近，但常數(shù)不符．于是可創(chuàng)造條件─“拆”數(shù)：－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解．原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]=(2－3y)2－(2x－3)2=9y2－4x2＋12x－12y－5．25.計算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．【答案】4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2【解析】將(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2綜合，可得(a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷．原式=[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z