概率統(tǒng)計(jì)常見(jiàn)題型及方法總結(jié)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——概率統(tǒng)計(jì)常見(jiàn)題型及方法總結(jié)常見(jiàn)大題：

1.全概率公式和貝葉斯公式問(wèn)題B看做“結(jié)果〞，有多個(gè)“原因或者條件

Ai〞可以導(dǎo)致

B這個(gè)“結(jié)果〞發(fā)生，考慮結(jié)果B發(fā)生的概率，或者求在B發(fā)生的條件下，源于某個(gè)原因

全概率公式：

P?B???P?Ai?P?B|Ai?i?1nAi的概率問(wèn)題

nj貝葉斯公式：

P(A?)i|BP(iA)｜P(BA)i?j?1P(｜A)P(jBA)

一（12分）今有四個(gè)口袋，它們是甲、乙、丙、丁，每個(gè)口袋中都裝有a只紅球和b只白球。先從甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再?gòu)囊铱诖腥稳∫恢磺蚍湃氡诖?，然后再?gòu)谋诖腥稳∫恢磺蚍湃攵】诖罱K從丁口袋中任取一球，問(wèn)取到紅球的概率為多少？解Bi表示從第i個(gè)口袋放入第i?1個(gè)口袋紅球，i?1,2,3,4

Ai表示從第i個(gè)口袋中任取一個(gè)球?yàn)榧t球，2分

則

P(B1)?a，2分a?bP(A1)?P(B1)P(A1B1)?P(B1)P(A1B1)?aa?1baa??2分

a?ba?b?1a?ba?b?1a?b依次類(lèi)推2分

aa?b二（10分）袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽），在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都出現(xiàn)國(guó)徽，問(wèn)這只硬幣是次品的概率為多少？P(Ai)?、解記B={取到次品}，B={取到正品}，A={將硬幣投擲r次每次都出現(xiàn)國(guó)徽}則P?B??nm1，P?AB??1，P?AB??r―—５分,P?B??2m?nm?nn?1P?B?P(AB)2rnm?nP?BA????rnm1P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?1??r2n?mm?nm?n2

三、（10分）一批產(chǎn)品共100件，其中有4件次品，其余皆為正品?，F(xiàn)在每次從中任取

一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)后放回，連續(xù)檢驗(yàn)3次，假使發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格。在檢驗(yàn)時(shí)，一件正品被誤判為次品的概率為0.05，而一件次品被誤判為正品的概率為0.01。（1）求任取一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品的概率；（2）求這批產(chǎn)品被檢驗(yàn)為合格品的概率。

解設(shè)A表示“任取一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品〞，B表示“任取一件產(chǎn)品是正品〞，則

P?B??964，P?B??，P?A|B??0.95，P?A|B??0.01100100（1）由全概率公式得

P?A??P?B?P?A|B??P?B?P?A|B??0.9124

（2）這批產(chǎn)品被檢驗(yàn)為合格品的概率為

3p??PA?0.9124?0.7596?????3四、在電報(bào)通訊中不斷發(fā)出信號(hào)‘0’和‘1’，統(tǒng)計(jì)資料說(shuō)明，發(fā)出‘0’和‘1’的概

率分別為0.6和0.4，由于存在干擾，發(fā)出‘0’時(shí)，分別以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收為模糊信號(hào)‘x’；發(fā)出‘1’時(shí)，分別以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信號(hào)‘x’。

（1）求收到模糊信號(hào)‘x’的概率；

（2）當(dāng)收到模糊信號(hào)‘x’時(shí)，以譯成哪個(gè)信號(hào)為好？為什么？

解設(shè)Ai=“發(fā)出信號(hào)i〞(i?0,1)，Bi=“收到信號(hào)i〞(i?0,1,x)。由題意知

P(A0)?0.6，P(A1)?0.4，P(Bx|A0)?0.2，P(Bx|A1)?0.1。

（1）由全概率公式得

P(Bx)?P(Bx|A0)P(A0)?P(Bx|A1)P(A1)（2）由貝葉斯公式得

4分

?0.2?0.6?0.1?0.4?0.16。2分

P(Bx|A0)P(A0)0.2?0.6??0.75，3分

P(Bx)0.163分

P(A0|Bx)?P(A1|Bx)?1?P(A0|Bx)?1?0.75?0.25

二、隨機(jī)變量函數(shù)的分布及其邊緣密度及其獨(dú)立性的判斷記住如下知識(shí)點(diǎn)：常見(jiàn)分布律和概率密度：

一般正態(tài)分布的計(jì)算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布去做：

連續(xù)隨機(jī)變量X:

二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)：

聯(lián)合密度：

把握如下解決隨機(jī)變量函數(shù)分布的解題方法：

對(duì)于二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，注意：除了求隨機(jī)變量Z=X+Y的密度函數(shù)用公式：

????fZ(z)????f(x,z?x)dx????f(z?y,y)dy

注意：

先寫(xiě)出聯(lián)合密度:

f(x,y)，根據(jù)聯(lián)合密度寫(xiě)出

f(x,z?x)或者f(z?y,y)，

f(x,z?x)在平面x0z或者y0z上畫(huà)出被積函數(shù)不為零的區(qū)

域，然后穿線通過(guò)區(qū)域確定x的上下限。

他的函數(shù)Z=g(X,Y)的概率密度，只能使用分布函數(shù)法其步驟如下：

第一步求聯(lián)合密度:

f(x,y)，根據(jù)聯(lián)合密度寫(xiě)出

f(x,z?x)或者f(z?y,y)

其次步求z的分布函數(shù)：

FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}?g(x,y)?z??f(x,y)dxdy

難點(diǎn)是畫(huà)出二重積分的積分區(qū)域，然后把二重積分化為二次積分定上下限，

畫(huà)圖：先畫(huà)出被積函數(shù)也就是聯(lián)合密度非零的區(qū)域，再確定區(qū)域

g(x,y)?z與密度非零區(qū)域的重合區(qū)域就是二重積分的積分區(qū)域，

穿線定積分限：然后左右穿或者上下穿個(gè)積分區(qū)域定內(nèi)限，求出分布函數(shù)

求密度函數(shù)：fZ(z)?FZ?z()第三步分析：

一、設(shè)總體X聽(tīng)從(0,1)上的均勻分布，X1,X2,序統(tǒng)計(jì)量X(n)?max(X1,X2,?,Xn)，1．求隨機(jī)變量X(n)的概率密度；

,Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，最大順

?0,x?0?1,0?x?1?解：X~f(x)??，其分布函數(shù)為F(x)??x,0?x?1

?0,其它?1,x?1?而X(n)?max(X1,X2,?,Xn)的分布函數(shù)為

FX(n)(z)?P{X(n)?z}?P{max(X1,X2,?,Xn)?z)??P{X1?z,X2?z,?,Xn?z)??[F(z)]n

?(n)?z??n?F?z??n?1f?z??nzn?1，(0?z?1)fX(n)?z??FX二、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量?X,Y?的概率密度為

?Ae?y,0?x?yf?x,y???

其它?0,（1）求常數(shù)A的值；（2）求X與Y的協(xié)方差Cov?X,Y?。

解（1）由1?（2）E?X??????????f?x,y?dxdy??dy?Ae?ydx?A，得A?1

00?y??????????xf?x,y?dxdy??dy?xe?ydx??00?y?012?yyedy?12

E?XY??????y?13????????xyf?x,y?dxdy??dy?0xye?y0dx??02yeydy?3E?Y?????????y?????yf?x,y?dxdy??0dy?0ye?ydx??0y2e?ydy?2

Cov?X,Y??E?X?E?Y??3?2?1

三（16分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

?e?(x?y)f(x,y)??,x?0,y?0?0，其它

（1）求邊緣密度函數(shù)fX(x)，fY(y)；（2）求邊緣分布函數(shù)FX(x)，F(xiàn)Y(y)；（3）判斷X與Y是否相互獨(dú)立；（4）求P(X?Y?1)。(1)fX(x)??????f(x,y)dy，

當(dāng)x≤0時(shí)，f(x,y)=0,于是fX(x)=0

當(dāng)x＞0時(shí)，fX(x)=???yxe?dy?e?x，

所以Xf(x)=??e?x,x?0X?0,x?0

Y的邊緣概率密度f(wàn)(y)????Y??f(x,y)dx

當(dāng)y≤0時(shí)，fY(y)=0

y)=??e?y當(dāng)y＞0時(shí)f,y?0Y(?0,y?04（2）F(y)???1?e?y,0?y?0,

其他??1?e?xF(x)?,0?x4?0,其他（3）獨(dú)立4（3）P(X?Y?1)?x???f(x,y)dxdy?2y?1e4分

分

分分

四（１０分）設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

?2e?(x?2y),x?0,y?0f(x,y)??

其他?0,求隨機(jī)變量Z?X?2Y的分布函數(shù)。

FZ(z)?P{X?2Y?z}?當(dāng)z?0時(shí)，F(xiàn)Z(z)?0當(dāng)z?0時(shí)，F(xiàn)Z(z)?x?2y?z??f(x,y)dxdy

z?x20?z0dx?2e?(x?2y)dy?1?e?z?ze?z

所以Z?X?2Y的分布函數(shù)為

z?0?0,FZ(z)???z?z1?e?ze,z?0?3.中心極限定理的問(wèn)題：用正態(tài)分布近似計(jì)算

共兩類(lèi)：

一類(lèi)是二項(xiàng)分布的近似計(jì)算問(wèn)題

X~b(n,p)

近似N(np,np(1?p))，即

X?np~N(0,1)np(1?p),

b?npa?np)??()P{a?X?b}??(npqnpq

這個(gè)公式給出了n較大時(shí)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算方法。

另一類(lèi)是除二項(xiàng)分布之外的其他分布的獨(dú)立變量連加和的計(jì)算問(wèn)題，

設(shè)X1,X2,,Xn,獨(dú)立同分布，E?X???D?X???2?0k?1,2,,n.kk近似有連加和聽(tīng)從正態(tài)分布：

n?Xi?1i~N(n?,n?)

2一、(14分)設(shè)糧倉(cāng)內(nèi)老鼠的數(shù)目是一個(gè)聽(tīng)從泊松分布的隨機(jī)變量，且倉(cāng)內(nèi)無(wú)鼠的概率為

e?2。

（1）寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布律；

（2）試用中心極限定理計(jì)算，在200個(gè)同類(lèi)糧倉(cāng)內(nèi)老鼠總數(shù)超過(guò)350只的概率。解（1）X~?(2)；5分（2）X表示任意老鼠個(gè)數(shù)，由中心極限定理

3分P(X?350)?P???X?200?2?200?2?350?200?2???3分

200?2??350?200?2??1??????3分

200?2??

二、（１０分）某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料說(shuō)明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，以X表示在隨意抽查的100個(gè)索賠戶中因被盜而向保險(xiǎn)公司索賠的數(shù)。

（1）寫(xiě)出X的概率分布；

（2）求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。[解]（1）X~b(100,0.2)，

kP{X?k}?C1000.2k0.8100?k，k?0,1,2,?,100

（2）E(X)?100?0.2?20，D(X)?100?0.2?(1?0.2)?16根據(jù)棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理

??14?20X?E(X)30?20??P{14?X?30}?P????

44D(X)??????X?E(X)???P??1.5??2.5???(2.5)??(?1.5)

D(X)??????(2.5)??(1.5)?1?0.994?0.933?1?0.927

三（10分）某銀行的柜臺(tái)替每一位顧客的服務(wù)時(shí)間（單位：分鐘）聽(tīng)從參數(shù)??

1

的指數(shù)2

分布，且各位顧客的服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的，試用中心極限定理計(jì)算，對(duì)100位顧客的總服務(wù)時(shí)間不超過(guò)240分鐘的概率。

解設(shè)X1,,X100分別表示每一位顧客的服務(wù)時(shí)間，則它們相互獨(dú)立一致分布，且

E(Xi)?2,D(Xi)?45分

?100?X?100?2??i100240?100?2?i?1???(2)?0.9772P(?Xi?240)?P??100?4100?4??i?1????

點(diǎn)估計(jì)的問(wèn)題：矩估計(jì)和似然估計(jì)

似然函數(shù)的構(gòu)造：

例題分析：

一、設(shè)總體X的概率密度為

?e?(x??),x??,f(x)??

?0,其它.?是未知參數(shù),X1,X2,?,Xn是來(lái)自X的樣本，

1．求?的矩估計(jì)量?1；

??矩估計(jì)法:EX?xe???(x??)dx???1，令EX???1?X,=>??1?X?1

2．求?的最大似然估計(jì)量?2；3．判斷?1，?2是否為無(wú)偏估計(jì)

解：最大似然估計(jì)法：設(shè)x1,x2?,xn為樣本的觀測(cè)值，則似然函數(shù)為L(zhǎng)(?)?????i?1ne?(xi??)n???e?xii?1nxi??,i?1,n,即minxi??，

1?i?n

?按似然估計(jì)的思想，當(dāng)似然函數(shù)關(guān)于是增函數(shù)，故

??minx?2i。

?＝minX。?的最大似然估計(jì)量為?2i

二（10分）設(shè)X1,X2,?,Xn為樣本，總體X的概率密度為

(lnx??)?1?2e,x?0,?f(x,?)??x2?

?0,x?0.?2求參數(shù)?的最大似然估計(jì)量；問(wèn)它是否為?的無(wú)偏估計(jì)量

解設(shè)x1,x2,?,xn是X1,X2,?,Xn相應(yīng)的樣本值，則似然函數(shù)為

L(?)??(i?1n12?xie(lnxi??)2?2)=(2?)(?xi?1)ei?1n?2n??(lnxi??)22i?1n

nn(lnxi??)2nlnL??ln(2?)??lnxi??22i?1i?1

1ndlnL???lnxi?0??令

ni?1d?

???y1n?)??Elnxi??E(?e??ni?12?(y??)22dy??為無(wú)偏估計(jì)量

三、設(shè)X1,X2,?,Xn是總體X的樣本,X的概率密度為

???1?x?,x??,?ef(x;?,?)???

?0,x??.?其中??0.求?和?的最大似然估計(jì)量。

設(shè)x1,x2,?,xn是X1,X2,?,Xn的樣本值,則似然函數(shù)

L??f(xi;?,?)??e?ni?1n?1??(xi??)i?1n,xi??,i?1,2,?,n,

(x??i?1當(dāng)xi??（i?1,2,?,n）時(shí),lnL??nln??1ni??),令

n??lnL1n?(x??)??0,i?2????????lnLni?1???0.??????和??.由于顯然,其次個(gè)等式是矛盾等式,所以由上述似然方程求不出??lnLn??0,???這說(shuō)明L是?的嚴(yán)格遞增函數(shù),注意到??xi（i?1,2,?,n）,因此當(dāng)

??min{x1,x2,?,xn}時(shí)L最大.于是?和?的最大似然估計(jì)值

1n???min{x1,x2,?,xn},???(xi???)?x?min{x1,x2,?,xn},?ni?1于是?和?的最大似然估計(jì)量為

??X?min{X,X,?,X}.??min{X1,X2,?,Xn},??12n四、（10分）設(shè)總體X的概率密度為

x1??f?x??e,???x??

2?其中?>0是未知參數(shù)。設(shè)X1,X2,,Xn為總體X的樣本。

?；?是否為?的無(wú)偏估計(jì)量。（1）求參數(shù)?的最大似然估計(jì)量?（2）判斷?解（1）設(shè)x1,x2,nx,xn是X1,X2,n?1n,Xn的觀測(cè)值,則似然函數(shù)為

xi1???1???i?1e??L??，?e2?2???i?1lnL??nln2?nln??x??i?11ni。

?n1dlnL?2令?0，得

??d??i?1n1n???xixi?0，解得?ni?11n???Xi?的最大似然估計(jì)量為?ni?11n????E?Xi???，??是?的無(wú)偏估計(jì)量。（2）由于E??ni?1

五（10分）設(shè)電池的壽命聽(tīng)從指數(shù)分布，其概率密度為

x?1_??f(x)???e??0x?0x?0其中??0為未知參數(shù)，今隨機(jī)抽取5只，測(cè)得壽命如下：1150，1190，1310，1380，1420

求電池的平均壽命?的最大似然估計(jì)值。解似然函數(shù)L(?)?1_?ne1xi??i?11n，3分

lnL(?)??nln??x??i?1ni3分

dn1lnL(?)???2令dx???xi?1ni?0得2分

??x?(1150?1190?1310?1380?1420)?12902分?六、設(shè)總體X的概率密度為

??????1?x,0?x?1f?x???其它??0,15其中?>?1是未知參數(shù).設(shè)X1,X2,?,Xn為總體X的樣本.求參數(shù)?的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.

解矩估計(jì)

?1?E(X)??x(??1)x?dx?(??1)?x??1dx?0011??1??21n且A1??Xi?X，令

ni?1A1??1，則

??1?X

??2從而?的矩估計(jì)量

???最大似然估計(jì)

2X?1.

1?X設(shè)x1,x2,?,xn是X1,X2,?,Xn的樣本觀測(cè)值,則似然函數(shù)為

?n??L?????1?xi????1???xi?.

i?1?i?1?nn?取對(duì)數(shù)得lnL?nln???1????lnx，

ii?1nnndlnL?????lnxi?0，解得?令?0，得

??1i?1d?n?lnxi?1n?1,

i???所以,?的最大似然估計(jì)量為?n?lnXi?1n?1.

i

七、．設(shè)總體X的分布律為

P?X?1???2，P?X?2??2??1???，P?X?3???1???

其中?為未知參數(shù)。現(xiàn)抽得一個(gè)樣本：x1?1，x2?2，x3?1，求參數(shù)?的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值。

解E?X????4??1????3?1????3?2?，x?

2224

3

由E?X??x，即3?2??

4??5，得參數(shù)?的矩估計(jì)值為?63

統(tǒng)計(jì)量的分布判斷問(wèn)題：主要利用性質(zhì)：

獨(dú)立正態(tài)分布的線性組合還是正態(tài)分布三大分布的定義：

例題分析：

一、設(shè)X1,X2,1．試問(wèn)

,Xn是正態(tài)總體X~N(?,?2)的樣本，

1?2?(Xi?1ni??)2聽(tīng)從什么分布（指明自由度）？

Xi???~N(0,1)且獨(dú)立，

1?2?(Xi??)??(2i?1i?1nnXi???)2~?2(n)

(X1?X2)22．假定??0，求的分布。2(X1?X2)X1?X2~N(0,2?2),X1?X2~N(0,2?2)

X1?X22?~N(0,1),

X1?X22?~N(0,1)(X1?X22?)2~?(1),(X1?X22?)2~?(1)

又(X1?X22?)和(2X1?X22?(X1?X2)22?~F(1,1))相互獨(dú)立，故＝2X?X(X1?X2)22(1)/12?2(X1?X2)2/1二．設(shè)X1,X2,,Xn,Xn?1是來(lái)自正態(tài)總體N?,?2的樣本，分別記X,S2為??X1,X2,,Xn的樣本均值和樣本方差，求Y?Xn?1?XSn的分布。n?1??2?解Xn?1~N??,??，X~N??,?，且Xn?1與X相互獨(dú)立，所以n??2Xn?1?X?n?12?Xn?1?X~N?0,??，~N?0,1?n????n?1?/n?n?1?S2~?2n?1由于??，且Xn?1?X與S2相互獨(dú)立，因此由t分布的定義得2?Xn?1?XY?Xn?1?XSn?n?1?n?1?/n~t?n?1?

2?n?1?Sn?1??2??1n1n22(Xi?X)2.三、S??(Xi??)，S2??ni?1n?1i?121(1)證明S1,S2都是?2的無(wú)偏估計(jì)量；（2）判斷S1,S2中哪一個(gè)估計(jì)量更有效.利用卡方分布：

四設(shè)X1,X2,22221,X9是來(lái)自正態(tài)總體N(?,?2)的樣本，記Y1?(X1?6?X6)，

2(Y1?Y2)1912的分布？Y2?(X7?X8?X9)，S??(Xi?Y2)2，求統(tǒng)計(jì)量Z?S2i?73五、設(shè)X~N0,?2,X1,X2,???n,Xn為X的樣本，求統(tǒng)計(jì)量??1??3?X??32i?Xi?4i?1n的分布.

2i六、．設(shè)總體X~N0,??2?，X,X12,X3,X4,X5是X的樣本，統(tǒng)計(jì)量

2Y?a?X1?X2??b?X3?X4?X5?，（ab?0）

聽(tīng)從?分布，求參數(shù)a,b的值和Y的分布的自由度。

解由X~N0,?22?2?，得

X3?X4?X5~N?0,3?2?

X1?X2~N?0,2?2?,且相互獨(dú)立，即

X1?X2~N?0,1?,2?且相互獨(dú)立。于是

2X3?X4?X5~N?0,1?，

3?2?X1?X2?2?2~?2?1?,12?2?X3?X4?X5?3?213?2時(shí)，

~?2?1?

且相互獨(dú)立。所以當(dāng)a?,b?2Y?a?X1?X2??b?X3?X4?X5?~?2?2?

該分布的自由度為2。

2假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)的題目類(lèi)型：

記住正態(tài)總體的抽樣分布定理，弄懂上分位數(shù)的含義，在密

度曲線圖上用分位數(shù)給出各個(gè)分布的大約率1??區(qū)域和小概率

?區(qū)域

能夠從圖上用分位數(shù)標(biāo)出各種分布的雙側(cè)小概率區(qū)域和單側(cè)小概率區(qū)域

，

，

。

1（10分）某工廠生產(chǎn)銅線，根據(jù)長(zhǎng)期積累的數(shù)據(jù)知，銅線的折斷力聽(tīng)從正態(tài)分布，方差為

?2?16。今從某天生產(chǎn)的銅線中隨機(jī)抽取10根，測(cè)得折斷力如下：

289286285284286285285286298292，

問(wèn)該天生產(chǎn)的銅線折斷力與以往比較，其波動(dòng)性有無(wú)顯著變化？(??0.05)

2檢驗(yàn)假設(shè)H0:??16H1:?2?16，

，則當(dāng)H0為真時(shí)，?~?(n?1)，

2222統(tǒng)計(jì)量??22(n?1)S2?220拒絕域?yàn)???1??(n?1)或????(n?1)。

22現(xiàn)在??2(n?1)S22?0?170.4?10.65，??0.05,1622222??(n?1)??0.025(9)?19.023,??(n?1)??0.975(9)?2.7，2由于2.7?10.65?19.023,故接受H0，

即該天生產(chǎn)的銅線折斷力與以往比較，其波動(dòng)性無(wú)顯著變化。

2（8分）在某磚廠生產(chǎn)的一批磚中,隨機(jī)地抽取6塊,測(cè)量其抗斷強(qiáng)度(單位MPa)分別為

3.3663.1063.2643.2873.1223.205設(shè)磚的抗斷強(qiáng)度X聽(tīng)從正態(tài)分布N(?,0.11),問(wèn)能否認(rèn)為這批磚的平均抗斷強(qiáng)度是3.250MPa？（顯著性水平??0.01）

、解H0:???0,H1:???03分

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t?2x??0?/n，拒絕域t?u?(n?1)3分

2算得u?z0.005?2.5752分接受H0

3（10分）某化工廠一天中生產(chǎn)的化學(xué)制品產(chǎn)量（單位：噸）聽(tīng)從正態(tài)分布，今測(cè)得5天的產(chǎn)量分別為785，805，790，790，802。問(wèn)是否可以認(rèn)為日產(chǎn)量的均值顯著小于800？（取

??0.05）

解假設(shè)H0:??800,H1:??800

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t?x?8005分

s/n拒絕域t??t0.05(4)

t?794.4?800??1.4527??2.1318，接受H0--

8.6179/5,Xn是來(lái)自正態(tài)總體N??,?2?的樣本，其中參數(shù)?和?2均未知，對(duì)于參數(shù)?4.X1,X2,的置信度為1??的置信區(qū)間，試問(wèn)當(dāng)?減少時(shí)該置信區(qū)間的長(zhǎng)度如何變化？

答：則μ的置信度為1－α的置信區(qū)間[X?St?2(n?1)]n置信區(qū)間的長(zhǎng)度L?2Snt?2(n?1)，當(dāng)樣本容量給定時(shí)，減小?的值會(huì)增大t?2(n?1)的

值，相應(yīng)地L?2Snt?2(n?1)變長(zhǎng)。

5、（10分）某燈泡生產(chǎn)車(chē)間為考察燈泡的壽命，從生產(chǎn)的一批燈泡中隨機(jī)抽取25只，測(cè)得平均壽命x?1980小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方差S?3600小時(shí)。假設(shè)燈泡的壽命X聽(tīng)從正態(tài)分布

2

（1）求總體方差?的置信水平為95%的置信區(qū)間；（2）在顯著性水平??0.05N??,?2?，

2條件下能否認(rèn)為這批燈泡的平均壽命為2000小時(shí)？

解（1）??0.05，n?25，?1??/2?n?1??12.401，??/2?n?1??39.364。

22?2的置信水平為95%的置信區(qū)間為

??n?1?S2n?1?S2??25?360025?3600??,????2?n?1?,?2?n?1?????12.401?1??/2??/2??39.364??2194.8989,6967.1801?

（2）在檢驗(yàn)水平為5%的條件下檢驗(yàn)假設(shè)H0:??2000，H1:??2000

選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t?問(wèn)題的拒絕域?yàn)?/p>

X?2000X?2000~t?n?1?；該假設(shè)檢驗(yàn)，當(dāng)原假設(shè)H0時(shí)，t?S/nS/nt?X?2000?t?/2?n?1?

S/n由條件得t?/2?n?1??t0.025?24??2.0639

t?X?20001980?20005?????1.6667

3S/n60/25由于t?1.6667?2.0639?t?/2?n?1?，因此接受原假設(shè)H0:??2000，即在檢驗(yàn)水平為5%的條件下可以認(rèn)為這批燈泡的平均壽命為2000小時(shí)。

6.假設(shè)某種產(chǎn)品來(lái)自甲、乙兩個(gè)廠家，為考察產(chǎn)品性能的差異，現(xiàn)從甲乙兩廠產(chǎn)品中分別抽取了8件和9件產(chǎn)品，測(cè)其性能指標(biāo)X得到兩組數(shù)據(jù)，經(jīng)對(duì)其作相應(yīng)運(yùn)算得

x1?0.190,s12?0.006,x2?0.238