高中數(shù)學(xué)電子書函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)矩

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篇一：高中數(shù)學(xué)教案——函數(shù)的極限.doc

函數(shù)的極限（4月29日）

教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生把握當(dāng)x?x0時(shí)函數(shù)的極限；

f(x)?limf(x)?A2、了解：limf(x)?A的充分必要條件是lim??

x?x0

x?x0x?x0

教學(xué)重點(diǎn)：把握當(dāng)x?x0時(shí)函數(shù)的極限

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)“x?x0時(shí)，當(dāng)x?x0時(shí)函數(shù)的極限的概念〞的理解。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)：

（1）limqn?＿＿＿＿＿q?1;（2）lim

n??

1?

?_______.(k?N)x??xk

（3）limx2??

x?2

二、新課

就問題（3）展開探討：函數(shù)y?x2當(dāng)x無限趨近于2時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)x從左側(cè)趨近于2時(shí)（x?2）

?

?

當(dāng)x從右側(cè)趨近于2時(shí)（x?2）

函數(shù)的極限有概念：當(dāng)自變量x無限趨近于x0（x?x0）時(shí)，假使函數(shù)y?f(x)無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，就說當(dāng)x趨向x0時(shí)，函數(shù)y?f(x)的極限是A，記作limf(x)?A。

x?x0

特別地，limC?C；limx?x0

x?x0

x?x0

三、例題

求以下函數(shù)在X＝0處的極限

2x,x?0

xx2?1

（1）lim2（2）lim（3）f(x)?0,x?0

x?02x?x?1x?0x

1?x2,x?0

四、小結(jié)：函數(shù)極限存在的條件；如何求函數(shù)的極限。五、練習(xí)及作業(yè)：

1、對(duì)于函數(shù)y?2x?1填寫下表，并畫出函數(shù)的圖象，觀測(cè)當(dāng)x無限趨近于1時(shí)的變化趨勢(shì)，說出當(dāng)x?1時(shí)函數(shù)y?2x?1的極限

2

2、對(duì)于函數(shù)y?x?1填寫下表，并畫出函數(shù)的圖象，觀測(cè)當(dāng)x無限趨近于3時(shí)的變化趨勢(shì)，說出當(dāng)x?3時(shí)函數(shù)y?x?1的極限

2

x2?1(x?1)3?(1?3x)

2(sinx?cosx?x2)3?lim2limlim23?x?12x?x?1x?0x?2xx?

2

lim

x?4

?2x?3x?2

1a2?x?a

lim（a?0）lim

x?0xx?0x

篇二：高考數(shù)學(xué)極限及其運(yùn)算

難點(diǎn)32極限及其運(yùn)算

［例1］已知lim(x2?x?1－ax－b)=0,確定a與b的值.

x??

命題意圖：在數(shù)列與函數(shù)極限的運(yùn)算法則中，都有應(yīng)遵循的規(guī)則，也有可利用的規(guī)律，既有章可循，有法可依.因而此題重點(diǎn)考察考生的這種能力.也就是本知識(shí)的系統(tǒng)把握能力.屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：解決此題的閃光點(diǎn)是對(duì)式子進(jìn)行有理化處理，這是求極限中帶無理號(hào)的式子常用的一種方法.錯(cuò)解分析：此題難點(diǎn)是式子的整理過程繁瑣，稍不注意就有可能出錯(cuò).技巧與方法：有理化處理.

解：lim(x?x?1?ax?b)?lim

x??

x??

2

(x2?x?1)?(ax?b)2

x?x?1?ax?b

2

?lim

x??

(1?a2)x2?(1?2ab)x?(1?b2)

x?x?1?ax?b

2

要使上式極限存在，則1－a=0,當(dāng)1－a2=0時(shí)，

2

1?b2

?(1?2ab)?2

?(1?2ab)x?(1?b2)?(1?2ab)上式?lim?lim?x??x??1?a11bx2?x?1?ax?b??1??a

xx2x

?(1?2ab)

由已知得?0

1?a

?1?a2?0?a?1

??

∴??(1?2ab)解得?1

b???0??2??1?a

［例2］設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…的前n項(xiàng)的和Sn和an的關(guān)系是Sn=1－ban－且b≠－1.

(1)求an和an－1的關(guān)系式；

(2)寫出用n和b表示an的表達(dá)式；(3)當(dāng)0＜b＜1時(shí)，求極限limSn.

n??

1

,其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，

(1?b)n

命題意圖：歷年高考中多出現(xiàn)的題目是與數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和Sn等有緊湊的聯(lián)系.有時(shí)題目是先依條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式再求極限，或先求出前n項(xiàng)和Sn再求極限，此題考察學(xué)生的綜合能力.屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：解答此題的閃光點(diǎn)是分析透題目中的條件間的相互關(guān)系.

錯(cuò)解分析：此題難點(diǎn)是第(2)中由(1)中的關(guān)系式猜想通項(xiàng)及n=1與n=2時(shí)的式子不統(tǒng)一性.技巧與方法：抓住第一步的遞推關(guān)系式，去尋覓規(guī)律.

11b

?解：(1)an=Sn－Sn－1=－b(an－an－1)－=－b(a－a(n≥2)－1)+nn

(1?b)n(1?b)n?1(1?b)n

解得an=

bb

an?1?(n≥2)1?b(1?b)n?1

(2)?a1?S1?1?ba1?

1b

,?a1?1?b(1?b)2

bbb1b2b2?b

?an?[an?2?]??()an?2?

1?b1?b1?b(1?b)n(1?b)n?1(1?b)n?1b2bbb?b2b2b?b2?b3

?()[an?3?]??()an?3?,?1?b1?b1?b(1?b)n?1(1?b)n?1(1?b)n?1bn?1b?b2?b3???bn?1由此猜想an?()a1?

1?b(1?b)n?1把a(bǔ)1?

b

代入上式得2

(1?b)

?b?bn?1

(b?1)2n?n?1

b?b???b?(1?b)(1?b)an???

(1?b)n?1

?n(b?1)??2n?11b?bn?111b(b?bn?1)1n?1

(3)Sn?1?ban??1?b???1??()(b?1),nn?1nn

1?b1?b(1?b)(1?b)(1?b)(1?b)(1?b)

?0?b?1時(shí),limbn?0,lim(

n??

n??

1n

)?0,?limSn?1.

n??1?b

●錦囊妙計(jì)

1.學(xué)好數(shù)列的極限的關(guān)鍵是真正從數(shù)列的項(xiàng)的變化趨勢(shì)理解數(shù)列極限.

學(xué)好函數(shù)的極限的關(guān)鍵是真正從函數(shù)值或圖象上點(diǎn)的變化趨勢(shì)理解函數(shù)極限.

2.運(yùn)算法則中各個(gè)極限都應(yīng)存在.都可推廣到任意有限個(gè)極限的狀況，不能推廣到無限個(gè).在商的運(yùn)算法則中，要注意對(duì)式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限.

3.注意在平日學(xué)習(xí)中積累一些方法和技巧，如：

(?1)n

?0,liman?0(|a|?1)lim

n??n??n

?a0

?b,當(dāng)k?l時(shí)0

a0xk?a1xk?1???ak??

??0,當(dāng)k?l時(shí)limll?1

n??b0x?b1x???b1

?不存在,當(dāng)k?l時(shí)???

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題

111????)等于()

n??a1a2an

A.2B.0C.1D.－1

a?cn

)的值是()2.(★★★★)若三數(shù)a,1,c成等差數(shù)列且a2,1,c2又成等比數(shù)列，則lim(2

2

n??a?c

A.0B.1C.0或1D.不存在二、填空題

1.(★★★★)an是(1+x)n展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)，則lim(3.(★★★★)lim(x?x?x?x)=_________.

n???

4.(★★★★)若lim(a2n2?n?1?nb)=1,則ab的值是_________.

n??

三、解答題

5.(★★★★★)在數(shù)列{an}中，已知a1=－

33111,a2=,且數(shù)列{an+1－an}是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列{lg(an+15210010

1

an}是公差為－1的等差數(shù)列.2

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)Sn=a1+a2+…+an(n≥1),求limSn.

n??

6.(★★★★)設(shè)f(x)是x的三次多項(xiàng)式，已知lim

f(x)f(x)f(x)

=1,試求lim的值.(a為非零常數(shù)).?lim

n?2ax?2an?4ax?4an??x?3a

7.(★★★★)已知數(shù)列{an},{bn}都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公式分別為p、q,其中p＞q,且p≠1,q≠1,設(shè)S

cn=an+bn,Sn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求limn的值.

n??Sn?1

8.(★★★★★)已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，d≠0且a1=0,bn=2an(n∈N*),Sn是{bn}的前n項(xiàng)和，Tn=(n∈N*).

(1)求{Tn}的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d＞0時(shí)，求limTn.

n??

Sn

bn

參考答案

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：an?C2n?

n(n?1)111

,??2(?)，2ann?1n

1111

????)?lim2(1?)?2

n??a1n??a2ann答案：A

?a?c?2?a?c?2?a?c?2

2.解析：?22,得?2或?222

?ac?1?a?c?2?a?c?6

答案：C?lim(

二、3.解析：lim(x?x?x?x)?lim

x???

x?x?x?xx?x?x?x

?

?lim

x???

1x1?x

1?.21

3

x2

x???

1??

答案：

12

a2(2n2?n?1)?n2b2a2n?n?1?nb

2

n??

4.解析：原式=lim?lim

n??

(2a2?b2)n2?a2n?a2

a2n?n?1?nb

2

?1

22??2a?b?0?a?22????∴a·b=82答案：82

b?4???2?b?1

11331

三、5.解：(1)由{an+1－an}是公比為的等比數(shù)列，且a1=,a2=,

2510100

111131311n-111n?1

∴an+1－an=(a2－a1)()n-1=(－×)()=()?n?1,

422210101005102

11

∴an+1=an+n?1①

210

113113

又由數(shù)列{lg(an+1－an)}是公差為－1的等差數(shù)列，且首項(xiàng)lg(a2－a1)=lg(－×)=－2,

22100251

∴其通項(xiàng)lg(an+1－an)=－2+(n－1)(－1)=－(n+1),

2

11－－

∴an+1－an=10(n+1),即an+1=an+10(n+1)②

22

511n+1

①②聯(lián)立解得an=［()n+1－()］

2210

11

()2()2nnn

511511

(2)Sn=ak?[()k?1?()k?1]?limSn?[?]?

11n??292210k?1k?1k?11?1?210

f(x)

6.解：由于lim=1，可知，f(2a)=0①

x?2ax?2a

同理f(4a)=0②

由①②可知f(x)必含有(x－2a)與(x－4a)的因式，由于f(x)是x的三次多項(xiàng)式，故可設(shè)f(x)=A(x－2a)(x－4a)(x－C),這里A、C均為待定的常數(shù)，

f(x)A(x?2a)(x?4a)(x?C)

由lim?1,即lim?limA(x?4a)(x?C)?1,x?2ax?2ax?2ax?2ax?2a

2

得A(2a?4a)(2a?C)?1,即4aA－2aCA=－1③

???

f(x)

=1,得A(4a－2a)(4a－C)=1,即8a2A－2aCA=1

x?4ax?4a

11

由③④得C=3a,A=2,因而f(x)=2(x－2a)(x－4a)(x－3a),

2a2a

同理，由于lim

④

?lim

f(x)111

?lim2(x?2a)(x?4a)?2?a?(?a)??

x?3ax?3ax?3a2a22a

a1(1?pn)b1(1?qn)7.解:Sn??

1?p1?qSn

Sn?1

a1(1?pn)b1(1?qn)

?nn

a(1?q)?b(1?p)?a(1?q)p?b(1?p)q1?p1?q111

??1

n?1n?1n?1

a1(1?p)b1(1?q)a1(1?q)?b1(1?p)?a1(1?q)p?b1(1?p)qn?1

?

1?p1?q

?

由數(shù)列{an}、{bn}都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，知p＞0,q＞0

a1(1?q)?b1(1?p)?a1(1?q)pn?b1(1?p)qnSnpn

當(dāng)p?1時(shí)lim?limn?1

n??Sn??a(1?q)?b(1?p)?a(1?q)p?b1(1?p)qn?1n?1111

pn

a1(1?q)?b1(1?p)qn

?a(1?q)?b(1?p)()11

0?a1(1?q)?0ppn

?lim??p.

11qn?11n??a1(1?q)?b1(1?p)

0?a1(1?q)?0?a1(1?q)?b1(1?p)()n?1

ppppp

當(dāng)p＜1時(shí),q＜1,limpn?limpn?1?limqn?limqn?1?0

n??

n??

n??

n??

?lim

Sn

?1

n??Sn?1

－1)

d

－1)

d

8.解：(1)an=(n－1)d,bn=2an=2(n

Sn=b1+b2+b3+…+bn=20+2d+22d+…+2(n

1?(2d)n

dSn1?2nd1?(2d)nd?(n?1)d?(n?1)d由d≠0,2≠1,∴Sn=∴Tn=d

bn22?2nd1?2

(2)當(dāng)d＞0時(shí)，2d＞1

1

nd

d

n

d

n

1?21?(2)0?12d(2)

?limTn?lim(n?1)d?limdn?1?lim??dnddn

11n??n??2n??(2)n???2?(2)2?1?1?12d2d

?1

篇三：高中數(shù)學(xué)教案——數(shù)列極限的運(yùn)算法則.doc

數(shù)列極限的運(yùn)算法則（5月3日）

教學(xué)目標(biāo)：把握數(shù)列極限的運(yùn)算法則，并會(huì)求簡單的數(shù)列極限的極限。教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求極限教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限法則的運(yùn)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：

函數(shù)極限的運(yùn)算法則：假使limf(x)?A,limg(x)?B,則lim?f(x)?g(x)

x?x0

x?x0

x?x0

??＿＿＿

x?x0

lim?f(x).g(x)??＿＿＿＿，lim

x?x0

f(x)

?＿＿＿＿（B?0）g(x)

二、新授課：

數(shù)列極限的運(yùn)算法則與函數(shù)極限的運(yùn)算法則類似：假使liman?A,limbn?B,那么

n??

n??

lim(an?bn)?A?Blim(an?bn)?A?B

n??

n??

lim(an.bn)?A.Blim

n??

anA

?(B?0)

n??bBn

推廣：上面法則可以推廣到有限多個(gè)數(shù)列的狀況。例如，若?an

．．

則：lim(an?bn?cn)?liman?limbn?limcn

n??

n??

n??

n??

?，?bn?，?cn?有極限，

特別地，假使C是常數(shù)，那么二.例題：

lim(C.an)?limC.liman?CA

n??

n??

n??

例1.已知liman?5,limbn?3，求lim(3an?4bn).

n??

n??n??

例2.求以下極限：（1）lim(5?

n??

41

)；（2）lim(?1)2

n??nn

例3.求以下有限：（1）lim

2n?1n

（2）lim2

n??3n?1n??n?1

分析：（1）（2）當(dāng)n無限增大時(shí)，分式的分子、分母都無限增大，分子、分母都沒有極限，

上面的極限運(yùn)算法則不能直接運(yùn)用。

例4.求以下極限：（1）lim(

n??

3572n?1

?????)2222

n?1n?1n?1n?1

1?2?4???2n?1

)（2）lim(

n??1?3?9???3n?1

說明：1.數(shù)列極限的運(yùn)算法則成立的前提的條件是：數(shù)列的極限都是存在，在進(jìn)行極限運(yùn)算時(shí)，要特別注意這一點(diǎn)。當(dāng)n無限增大時(shí)，分式的分子、分母都無限增大，分子、分母都沒有極限，上面的極限運(yùn)算法則不能直接運(yùn)用。

2.有限個(gè)數(shù)列的和（積）的極限等于這些數(shù)列的極限的和（積）。

3.兩個(gè)（或幾個(gè)）函數(shù)（或數(shù)列）的極限至少有一個(gè)不存在，但它們的和、差、積、商的極限不一定不存在。

小結(jié)：在數(shù)列的極限都是存在的前提下