矩陣的分解演示文稿

矩陣的分解演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有42頁\編輯于星期四（優(yōu)選）矩陣的分解.現(xiàn)在是2頁\一共有42頁\編輯于星期四定理3.12

L是單位下三角矩陣U一個上三角矩陣Gauss消元法的消元過程實際上是對線性代數(shù)方程組進行一系列初等行變換的過程。由線性代數(shù)知識知，線性代數(shù)方程組的初等變換相當于對其增廣矩陣實行初等行變換，也即相當于增廣矩陣左邊乘以一個初等矩陣?，F(xiàn)在是3頁\一共有42頁\編輯于星期四現(xiàn)在是4頁\一共有42頁\編輯于星期四也可以直接用比較法導出矩陣A的LU分解的計算公式。上式可記為比較第1行比較第r行現(xiàn)在是5頁\一共有42頁\編輯于星期四同樣，由比較第r列現(xiàn)在是6頁\一共有42頁\編輯于星期四綜合以上分析，有因此可以推導出U的第一行L的第一列------(1)------(2)現(xiàn)在是7頁\一共有42頁\編輯于星期四思考U的第r行L的第r列------(3)------(4)稱上述(1)~(4)式所表示的分解過程為矩陣A的Doolittle分解現(xiàn)在是8頁\一共有42頁\編輯于星期四function[l,u]=lu_Doolittle1(A)

%求可逆矩陣的LU分解

%A為可逆矩陣，l為單位下三角矩陣，u為上三角矩陣

n=length(A);

u=zeros(n);

l=eye(n);

u(1,:)=A(1,:);

l(2:n,1)=A(2:n,1)/u(1,1);

fork=2:n

forj=k:n

u(k,j)=A(k,j)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,j);

end

u(k,k:n)=A(k,k:n)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,k:n);

fori=k+1:n

l(i,k)=(A(i,k)-l(i,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k);

end

l(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-l(k+1:n,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k);

end現(xiàn)在是9頁\一共有42頁\編輯于星期四對于線性方程組系數(shù)矩陣非奇異，經過Doolittle分解后線性方程組可化為下面兩個三角形方程組現(xiàn)在是10頁\一共有42頁\編輯于星期四現(xiàn)在是11頁\一共有42頁\編輯于星期四上述解線性方程組的方法稱為直接三角分解法的Doolittle分解用Doolittle分解求解方程組解下面再用Doolittle分解方法求解現(xiàn)在是12頁\一共有42頁\編輯于星期四現(xiàn)在是13頁\一共有42頁\編輯于星期四Doolittle分解在計算機上實現(xiàn)是比較容易的但如果按上述流程運算仍需要較大的存儲空間:現(xiàn)在是14頁\一共有42頁\編輯于星期四因此可按下列方法存儲數(shù)據(jù):現(xiàn)在是15頁\一共有42頁\編輯于星期四直接三角分解的Doolittle分解可以用以下過程表示:存儲單元(位置)現(xiàn)在是16頁\一共有42頁\編輯于星期四Doolittle分解的緊湊格式現(xiàn)在是17頁\一共有42頁\編輯于星期四Doolittle分解的結果與Gauss消元法所得結果完全一樣，但卻避免了中間過程?，F(xiàn)在是18頁\一共有42頁\編輯于星期四定理3.2.3設矩陣A非奇異，當且僅當矩陣A的所有順序主子式全非零時，其Doolittle分解式存在，且分解是惟一的。下面給出Doolittle分解存在惟一的一個充要條件現(xiàn)在是19頁\一共有42頁\編輯于星期四用緊湊格式的Doolittle分解求解方程組解現(xiàn)在是20頁\一共有42頁\編輯于星期四現(xiàn)在是21頁\一共有42頁\編輯于星期四所以現(xiàn)在是22頁\一共有42頁\編輯于星期四用Doolittle分解求解方程組解直接利用Doolittle分解的緊湊格式算得現(xiàn)在是23頁\一共有42頁\編輯于星期四現(xiàn)在是24頁\一共有42頁\編輯于星期四

列選主元Doolittle分解在Doolittle分解(包括緊湊格式)中，會反復用到公式仍有可能是小主元做除數(shù)為此，也要考慮在算法中加入選取列主元現(xiàn)在是25頁\一共有42頁\編輯于星期四

Crout分解L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣現(xiàn)在是26頁\一共有42頁\編輯于星期四三、Cholesky分解與平方根法

對稱正定矩陣的三角分解（Cholesky分解）現(xiàn)在是27頁\一共有42頁\編輯于星期四現(xiàn)在是28頁\一共有42頁\編輯于星期四因此可以證明這種分解是唯一的設存在另外的一個分解則單位下三角單位下三角上三角上三角所以：現(xiàn)在是29頁\一共有42頁\編輯于星期四又因為：即所以：即則：令：現(xiàn)在是30頁\一共有42頁\編輯于星期四綜合以上分析,則有為了方便我們記：(Cholesky分解)且該分解式唯一這種關于對稱正定矩陣的分解稱為Cholesky分解現(xiàn)在是31頁\一共有42頁\編輯于星期四現(xiàn)在是32頁\一共有42頁\編輯于星期四-------------(6)-------------(7)-------------(8)現(xiàn)在是33頁\一共有42頁\編輯于星期四現(xiàn)在是34頁\一共有42頁\編輯于星期四

對稱正定線性方程組的解法線性方程組-------------(10)-------------(11)因而線性方程組(10)可化為兩個三角形方程組-------------(12)-------------(13)現(xiàn)在是35頁\一共有42頁\編輯于星期四用平方根法解對稱正定方程組解現(xiàn)在是36頁\一共有42頁\編輯于星期四現(xiàn)在是37頁\一共有42頁\編輯于星期四即所以原方程組的解為現(xiàn)在是38頁\一共有42頁\編輯于星期四平方根法的數(shù)值穩(wěn)定性用平方根法求解對稱正定方程組時不需選取主元由可知因此平方根法是