概率論課上習(xí)題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——概率論課上習(xí)題概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

十、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

一、填空題

1、設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p?，F(xiàn)過(guò)行n次獨(dú)立試驗(yàn)，則A至少發(fā)生一次的概率為1?(1?p)n；而事件A至多發(fā)生一次的概率為(1?p)n?np(1?p)n?1。

2、三個(gè)箱子，第一個(gè)箱子中有4個(gè)黑球1個(gè)白球，其次個(gè)箱子中有3個(gè)黑球3個(gè)白球，第三個(gè)箱子有3個(gè)黑球5個(gè)白球?，F(xiàn)隨機(jī)地取一個(gè)箱子，再?gòu)倪@個(gè)箱子中取出1個(gè)球，這個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕实扔?。已知取出的球是白球，此球?qū)儆谄浯蝹€(gè)箱子的概率為。解：用Ai代表“取第i只箱子〞，i=1，2，3，用B代表“取出的球是白球〞。由全概率公式

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

?由貝葉斯公式

11131553???????353638120

13?P(A2)P(B|A2)3620P(A2|B)????

53P(B)531203、設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等。若已知A至少出現(xiàn)一次的概率等于19/27，則事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為。

解：設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p(0?p?1)，則有1?(1?p)?319，從而解得27p?134、已知隨機(jī)事件A的概率P(A)?0.5，隨機(jī)事件B的概率P(B)?0.6及條件概率P(B|A)?0.8，則和事件A?B的概率P(A?B)=。

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B|A)

?0.5?0.6?0.5?0.8?0.75、甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5?，F(xiàn)已知目標(biāo)被命中，則它是甲射中的概率為。用A代表事件“甲命中目標(biāo)〞，B代表事件“乙命中目標(biāo)〞，則A?B代表事件“目標(biāo)被命中〞，且

所求概率為

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)

?0.5?0.6?0.5?0.6?0.8P(A|A?B)?P(A)0.6??0.75

P(A?B)0.8208

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

6、設(shè)隨機(jī)事件A，B及其和事件A?B的概率分別是0.4，0.3和0.6。若B表示B的對(duì)立事件，那么積事件AB的概率P(AB)?。

P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.4?0.3?0.6?0.1，

由于A?A(B?B)?AB?AB，故P(AB)?P(A)?P(AB)?0.4?0.1?0.37、已知P(A)?P(B)?P(C)?不發(fā)生的概概率為。

由ABC?AB，P(AB)?0得P(ABC)?0，所求事件概率為

11，P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?，則事件A、B、C全416P(A?B?C)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?{P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)}

3?88、一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品，任意抽取兩次，每次抽一個(gè)，抽出后不再放回，則其次次抽出的是次品的概率為。

用Ai代表事件“第i次抽次品〞，i=1，2。則所求概率為

P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?211021????1211121169、已知A、B兩個(gè)事件滿(mǎn)足條件P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，則P(B)?。

由

P(AB)?P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]?1?P(A)?P(B)?P(AB)P(B)?1?P(A)?1?p

得

10、設(shè)工廠A和工廠B的次品率分別為1%和2%，現(xiàn)從由A和B的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品屬A生產(chǎn)的概率是。

用A和B分別代表產(chǎn)品是工廠A和工廠B生產(chǎn)的，C代表產(chǎn)品是次品，則所求概率為

601?P(A)P(C|A)3100100P(A|C)???

402P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)6017???10010010010011、在區(qū)間(0，1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于

6〞的概率為。5用X和Y分別表示隨機(jī)抽取的兩個(gè)數(shù)，則0?X?1，0?Y?1.

X，Y取值的所有可能結(jié)果(即樣本點(diǎn)全體)對(duì)應(yīng)的集合為以1為邊長(zhǎng)的正方形?，

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概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

其面積為1，事件“X?Y?6〞對(duì)應(yīng)圖中陰影部分A，A的面積為5

1?4?171????2?5?252

12、隨機(jī)地向半圓0?y?2ax?x2(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于半圓0?y??的概率為。412ax?x2也即樣本空間?的面積為m(?)??a2，所求事件對(duì)圖中陰影部

212?2分即區(qū)域A的面積為m(A)?a?，故得所求事件概率為

24

12?2a?am(A)2114P(A)????

12m(?)2??a2

13、若隨機(jī)變量?在(1，6)上聽(tīng)從均勻分布，則方程x2??x?1?0有實(shí)根的概率是。

P{x2??x?1?0有實(shí)根}?P{?2?4?0}?P{|?|?2}614?P{6???2}??du??0.825514、已知連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)?X的方差為。

將f(x)改寫(xiě)為

1?e?x2?2x?1，則X的數(shù)學(xué)期望為；

f(x)??(x?1)2??exp??2?1?2(1/2)?2??21可見(jiàn)X聽(tīng)從正態(tài)分布N(1,11)，所以E(X)?1，D(X)?.2215、設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從均值為10，均方差為0.02的正態(tài)分布。已知?(x)??x??12?e?u22du，

210

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

?(2.5)?0.9938，則X落在區(qū)間(9.95，10.05)內(nèi)的概率為。

?9.95?10X?1010.05?10?P{9.95?X?10.05}?P????0.020.02??0.02?10.05?10??9.95?10???????????(2.5)??(?2.5)?0.02??0.02???(2.5)?[1??(2.5)]?2?(2.5)?1?0.987616、已知隨要變量X的概率密度函數(shù)f(x)?1?xe，???x???，則X的概率分布函數(shù)2?1x?2e,x?0。F(x)??1?x?1?e,x?0?22ke?2k?0，17、已知離散型隨機(jī)變量X聽(tīng)從參數(shù)為2的泊松(Poisson)分布，即P{X?k}?，k!1，2，?，則隨機(jī)變量Z?3X?2的數(shù)學(xué)期望E(Z)?。

E(Z)?3E(X)?2?3?2?2?4

18、設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則數(shù)學(xué)期望E{X?e?2X}=。

E{X?e?2x}????0xe?xdx????0e?2xe?xdx?1?14?3319、設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從(0，2)上的均勻分布，則隨機(jī)變量Y?X2在(0，4)內(nèi)概率分布密度f(wàn)Y(y)=。

y?x2，0?x?2的反函數(shù)x?y，0?y?4.fY(y)?fX(y)?|(y)?|?14y12yfX(y)?1?,0?2y21y?2，

即

fY(y)?，0?y?4.

20、設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0.4，則X2的數(shù)學(xué)期望E(X2)=。

X聽(tīng)從B(10,0.4)分布，E(X)?10?0.4?4，D(X)?10?0.4?0.6?2.4，

E(X)?E(X)?D(X)?4?2.4?18.4

222211

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

21、設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y具有同一分布律，且X的分布律為：機(jī)變量Z?max?X,Y?的分布律為：。

XP01211則隨2P{Z?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}?P{Z?1}?1?P{Z?0}?22、設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且P{X?0,Y?0}?111??，2243434，P{X?0}?P{Y?0}?，77則P{max(X,Y)?0}=。

記A?{X?0}，B?{Y?0}.則

{max(X,Y)?0}?A?B，{X?0,Y?0}?AB，

P{max(X,Y)?0}?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)從而?P{X?0}?P{Y?0}?P{X?0,Y?0}

4435????7777??1?2??的隨機(jī)變量，?0,?23、設(shè)?，則隨機(jī)變量????是兩個(gè)相互獨(dú)立且均聽(tīng)從正態(tài)分布N?????2????的數(shù)學(xué)期望E(???)?。

記Z????。則Z~N(0,1)。從而

E|???|?E|Z|??|z|?????12?ez2?2dz???2??0z?ez2?2z2??2dz???e???2?2.?????0??24、若隨機(jī)變量X聽(tīng)從均值為2，方差為?2的正態(tài)分布，且P{2?X?4}?0.3，則P{X?0}=。

由于X的密度函數(shù)關(guān)于X=2為軸對(duì)稱(chēng)。故P{X?2}?P(X?2)?0.5，

P{0?X?2}?P{2?X?4}?0.3，從而

P{X?0}?P{X?2}?P{0?X?2}?P{X?2}?P{0?X?2}?0.5?0.3?0.2.

25、袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)是黃球，30個(gè)是白球。今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各

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概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

取一球，取后不放回，則其次個(gè)人取得黃球的概率是。

令B={第一人取得黃球}，則B={第一人取得白球}；A={其次人取得黃球}.據(jù)全概率公式

P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?202330202????.5049504951

及直線y?0，x?1，x?e2所圍成，二維隨機(jī)變量(X，Y)x

在區(qū)域D上聽(tīng)從均勻分布，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為。26、設(shè)平面區(qū)域D由曲線y?區(qū)域D的的面積為A??e21dx?(ln|x|)?2，故(X,Y)的聯(lián)合概率密度為x1e2?1?,(x,y)?D,(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為f(x,y)??2??0，其它

?1?1122x??1dy,1?x?e???,1?x?e,故fX(2)?fX(x)??f(x,y)dy??02??2x??4?0,?0，其它，其它??27、假設(shè)P(A)?0.4，P(A?B)?0.7，那么

(1)若A與B互不相容，則P(B)?；

(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B)?。(1)P(B)?P(A?B)?P(A)?0.7?0.4?0.3.

(2)由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)

得P(B)?[P(A?B)?P(A)]/[1?P(A)]?[0.7?0.4]/[1?0.4]?0.5.28、一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為手的命中率為。

4設(shè)命中率為p(0?p?1)，則至少命中一次概率為1?(1?p)，由1?(1?p)?480，則該射8180，81解得p?2。329、設(shè)A，B為隨機(jī)事件，P(A)?0.7，P(A?B)?0.3，則P(AB)?。由P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.3，得

P(AB)?P(A)?0.3?0.7?0.3?0.4，故P(AB)?0.6.

30、將C，C，E，E，I，N，S第七個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，那么，恰好排成英文單詞SCIENCE的概率為。

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概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

11，P(AB)?P(BC)?0，P(AC)?，48則A，B，C三個(gè)事件至少出現(xiàn)一個(gè)的概率為。

32、假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，從中隨意取出一件，結(jié)果不是三等品，則取到的是一等品的概率為。31、設(shè)對(duì)于事件A，B，C有P(A)?P(B)?P(C)?記事件Ai“取出的產(chǎn)品為第i等品〞，i=1，2，3。則A1，A2，A3互不相容，所求概率為

P(A1|A1?A2)?P(A1)P(A1)0.62???.

P(A1?A2)P(A1)?P(A2)0.6?0.3333、一實(shí)習(xí)生用同一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地制造3個(gè)同種零件，第i個(gè)零件是不合格品的概率pi?1(i?1,2,3)，以X表示3個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)，則P{X?2}=。i?1用Ai表示事件“第i個(gè)零件是合格品〞，則P(Ai)?求概率

11i?，P(Ai)?1?，所

i?1i?1i?1P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?12311312111?????????23423423424.34、設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知兩件中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為。

用A，B分別代表取出的第1和第2件為正品，則所求概率為

P(A?B|A?B)?P(A?B)/P(A?B)?

2A4?2A10P(A?B)1?P(AB)?A62?4?3?6?5?11???1?2?????A10?10?9?10?9?5

35、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為

??0,若x?0,???F(x)??Asinx,若0?x?,

2???1,若x?,?2?則A=，P{x?}?。

6???????F(x)?P{X?x}右連續(xù)，由F??0??F??得出

?2??2?

?????1?????????A?1,P?|X|???P???X???F???F????sin?0?

6?6?62??6?6??6?214

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

36、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3相互獨(dú)立，其中X1在[0，6上聽(tīng)從均勻分布，X2聽(tīng)從正態(tài)分布N(0,22)，X3聽(tīng)從參數(shù)為??3的泊松分布。記Y?X1?2X2?3X3，則DY=。

62DY?D(X1)?(?2)DX2?3D(X3)??4?22?9?3?46

122237、設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX??，方差DX??2，則由切比雪夫(Chebyshev)不等式，有P{X???3?}?1。938、已知隨機(jī)變量X~N(–3，1)，Y~N(2，1)，且X，Y相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量

Z?X?2Y?7，則Z~N（0，5）。

Z為正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合，依舊聽(tīng)從正態(tài)分布，且

EZ?E(X)?2E(Y)?7??3?2?2?7?0

DZ?D(X)?(?2)2D(Y?1?4?1?5)，故Z~N(0,5)。

39、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

?0,??0.4,F(x)?P{X?x}???0.8,??1,若x??1,若?1?x?1,

若1?x?3,若x?3,則X的概率分布為

x?113P{X?x}0.40.40.2

由公式P{X?x0}?F(x0?0)?F(x0?0)算出P{X??1}?0.4?0?0.4，

P{X?1}?0.8?0.4?0.4，

P{X?3}?1?0.8?0.2。

40、設(shè)隨要變量X的概率密度為

?2x,0?x?1,f(x)??

0,其他,?1??以Y表示對(duì)X的三次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)中事件?X??出現(xiàn)的次數(shù)，則P{Y?2}?。

2??1?1??3?2?1?Y~B(3,p)，其中p?P?X????22xdx?，故P{Y?2}?C3??64??9。??02?4??4??4?41、設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為

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12概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

?1?x,若?1?x?0,?f(x)??1?x,若0?x?1,

?0,其他.?則方差DX?。

42、設(shè)總體X的的方差為1，根據(jù)來(lái)自X的容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，測(cè)得樣本均值為5，則X的數(shù)學(xué)期望的置信度近似等于0.95的置信區(qū)間為。

43、設(shè)X1，?，Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(?,?2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中參數(shù)?和?未知，1記X?n?Xi?1ni，Q?2?(Xi?1ni?X)2，則假設(shè)H0:??0的t檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量。

44、設(shè)由來(lái)自正態(tài)總體X~N(?,0.92)容量為9的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本得樣本均值X?5，則未知參數(shù)?的置信度為0.95的置信區(qū)間是。

45、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都聽(tīng)從正態(tài)分布N(0，32)，而X1,?,X9和Y1，?，Y9分別是來(lái)自總體X和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量U?為。由于

X1???X9Y12???Y92聽(tīng)從分布，參數(shù)

Yi~N(0,1)，故3

192?Yi?Y??????Yi~?2(9)。

9i?1i?1?3?9219再X??Xi~N(0,1)，據(jù)t分布的定義，有

9i?1

U?XY/9~t(9)

46、設(shè)A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則P{(A?B)(A?B)}=0。

(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)?[(A?B)(A?B)]?[(A?B)(A?B)]??

47、設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從參數(shù)為(2，p)的二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量Y聽(tīng)從參數(shù)為(3，p)的二項(xiàng)分布。若P{X?1}?5，則P{Y?1}=。9由于P{X?0}?1?P{X?1}?1?544002?，故由P{X?0}?C2pq?q2?，得99932?2?19003q?。從而P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C3pq?1?q3?1????3327??

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概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

48、設(shè)X1，X2，X3，X4是來(lái)自正態(tài)總體N(0，22)的簡(jiǎn)單樣本，

X?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2，則當(dāng)a?，b=時(shí)，統(tǒng)計(jì)量X聽(tīng)從?2分布，其自由度為。

聽(tīng)從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線性組合仍聽(tīng)從正態(tài)分布，由于E(X1?2X2)?0，

D(X1?2X2)?22?22?22?203X3?4X4~N(0,100)。由于

，故

X1?2X2~N(0,20)。同理，

?X1?2X2??3X3?4X4?X?a(X1?2X2)?b(3X3?4X4)??????????

?1/a??1/b?222249、設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)p=時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為。

二項(xiàng)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為np(1?p)，已知n?100，又p(1?p)?1，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)4p?11時(shí)成立，故當(dāng)p?時(shí)試驗(yàn)成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差最大，其最大值為5。2250、從1，2，3，4中任取一個(gè)數(shù)，記為X，再?gòu)??X中任取一個(gè)數(shù)，記為Y，則

1348p(X?2)?二、選擇題

1、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的方差分別為4和2，則隨機(jī)變量3X–2Y的方差是

(A)8.(B)16.(C)28.(D)44.

D(3X?2Y)?32D(X)?22D(Y)?9?4?4?2?44

2、設(shè)A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且0?P(A)?1，P(B)?0，P(B|A)?P(B|A)，則必有(A)P(A|B)?P(A|B)(B)P(A|B)?P(A|B)(C)P(AB)?P(A)P(B)(D)P(AB)?P(A)P(B)由題設(shè)知

P(A|B)?P(AB)P(B|A)P(A)?P(B)P(B)，

P(A|B)?P(AB)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)，故不能判P(A|B)與P(A|B)??P(B)P(B)P(B)之間的關(guān)系，因此不選(A)或(B)。

由B?(AB)?(AB)，(AB)?(AB)??及P(B|A)?P(B|A)知

217

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

P(B)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?[P(A)?P(A)]P(B|A)?P(B|A)，

故P(AB)?(P(A)P(B|A)?P(A)P(B)，即應(yīng)選(C)。

3、若二事件A和B同時(shí)出現(xiàn)的概率P(AB)?0，則(A)A和B不相容(相斥).(B)AB是不可能事件.(C)AB未必是不可能事件(D)P(A)=0或P(B)=0.4、對(duì)于任意二事件A和B，有P(A–B)=(A)P(A)?P(B).(B)P(A)?P(B)?P(AB).(C)P(A)?P(AB)(D)P(A)?P(B)?P(B)?P(AB).

5、以A表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷(xiāo)，乙種產(chǎn)品滯銷(xiāo)〞，則其對(duì)應(yīng)事件A為

(A)“甲種產(chǎn)品滯銷(xiāo)，乙種產(chǎn)品暢銷(xiāo)〞.(B)“甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷(xiāo)〞.

(C)“甲種產(chǎn)品滯銷(xiāo)〞.(D)“甲種產(chǎn)品滯銷(xiāo)或乙種產(chǎn)品暢銷(xiāo)〞

用A1表示甲產(chǎn)品暢銷(xiāo)，A2表示乙產(chǎn)品暢銷(xiāo)，則A?A1A2，從而

A?A1A2?A1?A2。

6、設(shè)A，B為兩隨機(jī)事件，且B?A，則不列式子正確的是

(A)P(A?B)?P(A).(B)P(AB)?P(A).

(C)P(B|A)?P(B)(D)P(B?A)?P(B)?P(A).若B?A，則A?B?A，AB?B。

7、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，其概率分布為

?11m?111111

P{X?m}P{Y?m}2222則以下式子正確的是

(A)X=Y.(B)P{X?Y}?0.(C)P{X?Y}?m1.(D)P{X?Y}?1.2P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}1

P{X??1}?P{X??1}?P{X?1}P[Y?1]?28、已知隨機(jī)變量X聽(tīng)從二項(xiàng)分布，且EX?2.4，DX?1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p

的值為

(A)n=4，p=0.6.(B)n=6，p=0.4.(C)n=8，p=0.3.(D)n=24，p=0.1

由EX?np，DX?np(1?p)得方程組

np?2.4，np(1?p)?1.44。

解方程組即得n=6，p=0.4。

9、設(shè)A和B是任意兩個(gè)概率不為零的不相容事件，則以下結(jié)論中確定正確的是

218

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

(A)A與B不相容.(B)A與B相容.

(C)P(AB)?P(A)P(B)(D)P(A?B)?P(A)

由于A與B不相容(即AB??)，所以A?B?A?AB?A10、對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，若E(XY)?EX?EY，則(A)D(XY)?DX?DT.(B)D(X?Y)?DX?DY

(C)X和Y獨(dú)立(D)X和Y不獨(dú)立.

X與Y獨(dú)立可推出X與Y互不相關(guān)；

E(XY)?EX?EY?X與Y互不相關(guān)?D(X?Y)?D(X)?D(Y)

11、設(shè)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生，則

(A)P(C)?P(A)?P(B)?1.(B)P(C)?P(A)?P(B)?1

(C)P(C)?P(AB)(D)P(C)?P(A?B)

P(C)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1

12、假設(shè)事件A和B滿(mǎn)足P(B|A)?1則

(A)A是必然事件.(B)P(B|A)?0.(C)A?B.(D)A?B

此題中4個(gè)答案均不對(duì)，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：設(shè)隨機(jī)變量?聽(tīng)從??[0,1]上的均勻分布，記

1?3???A??0????，B??0????易計(jì)算

2?4???

1??P?0????P(AB)2?P(B|A)????1.

1?P(A)?P?0????2??1???1}，易2顯然答案(A)，(C)，(D)都不成立。下面再說(shuō)明(B)也不成立，事實(shí)上由A?{計(jì)算

3??1P?????P(BA)24?1/41P(B|A)??????0。

P(A)?1?1/22P????1??2?故(B)也不成立。

13、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為?(x)，且?(?x)??(x)，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，有

a1(A)F(?a)?1??(x)dx.(B)F(?a)???(x)dx

002(C)F(?a)?F(a).(D)F(?a)?2F(a)?1.

?a?由?(?x)??(x)。有

?0???(x)dx????0?(x)dx?12219

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

和所以

??a0?(x)dx????(?t)dt????(?t)dt????(x)dx

000aa?aF(?a)???a???(x)dx???(x)dx???(x)dx???00?aa1???(x)dx。0214、設(shè)隨機(jī)變量X與Y均聽(tīng)從正態(tài)分布，X~N(?,42)，Y~N(?,52)，記p1?P{X???4}，

p2?P{Y???5}，則

(A)對(duì)任何實(shí)數(shù)?，都有p1?p2.(B)對(duì)任何實(shí)數(shù)?，都有p1?p2.

(C)只對(duì)?的個(gè)別值，才是p1?p2.(D)對(duì)任何實(shí)數(shù)?，都有p1?p2用?代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的分布函數(shù)，有p1?P??X?????1???(?1)，

?4??Y????Y???p2?P??1??1?P??1??1??(1)，由于?(?1)?1??(1)，

?5??5?所以p1?p2。

15、設(shè)0概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

?e?y,?1,0?x?1,fY(y)??fX(x)??0,其它,??0,y?0,y?0,求隨機(jī)變量Z?2X?Y的概率密度函數(shù)。

解法一由于X與Y相互獨(dú)立，所以(X,Y)的概率密度函數(shù)為

?e?y，0?x?1,y?0f(x,y)?fX(x)?fY(y)??

0,其它?因此，Z的分布函數(shù)為

FZ(z)?P{2X?Y?z}??0,?z????2(1?e2x?z)dx,0?1??0(1?e2x?z),?2x?y?z??fX(x)?fY(y)dxdy

z?0,0?z?2,z?2,

所以，Z的概率密度函數(shù)為

??0,z?0,??1fZ(z)?FZ?(x)??(1?e?z),0?z?2,

?2?1(e2?1)e?z,z?2??2解法二由于X與Y相互獨(dú)立，所以Z的概率密度函數(shù)為

fZ(z)??????fX(x)fY(z?2x)dx??fY(z?2x)dx01

??z?0?0,z?0,?z0,??2?(z?2x?1?z???e)dx,0?z?2??(1?e),0?z?2,0?1?(z?2x?2)dx,z?2??0e?1(e2?1)e?z,z?2.???212、設(shè)隨要變量X的概率密度函數(shù)為fX(x)?密度函數(shù)fY(y)。解Y的分布函數(shù)

?(1?x2)，求隨機(jī)變量Y?1?3X的概率

FY(y)?P{Y?y}?P{1?3X?y}?P{3X?1?y}

dx1?P{X?(1?y)3}??3?arctgx

(1?y)?(1?x2)?(1?y)3?????

1??3??arctg(1?y)????2?223

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

因此，Y的概率密度函數(shù)為

d3(1?y)2fY(y)?FY(y)??6dy?1?(1?y)3、設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且X聽(tīng)從均值為1、標(biāo)準(zhǔn)差(均方差)為2的正態(tài)分布，而Y聽(tīng)從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。試求隨機(jī)變量Z?2X?Y?3的概率密度函數(shù)。

解由于Z為獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量X與Y的線性組合，Z依舊聽(tīng)從正態(tài)分布，故只需確定Z的均值E(Z)和方差D(Z),

E(Z)?2E(X)?E(Y)?3?5,D(Z)?22D(X)?(?1)2?D(Y)?4?(2)2?1?9。所以Z聽(tīng)從正態(tài)分布N(5,9)，從而得Z的概率密度函數(shù)為

fZ(z)?132?e?(z?5)，???z???

4、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在區(qū)域D:0?x?1，y?x內(nèi)聽(tīng)從均勻分布，求關(guān)于X的邊緣概率密度函數(shù)及隨機(jī)變量Z=2X+1的方差D(Z)解(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)是

X的邊緣概率密度是fX(x)??1,0?x?1,|y|?xf(x,y)??其它，?0,?2x,0?x?1,f(x,y)dy??0,其它，?11?????22E(X)??xfX(x)dx??x?2xdx?x3?，

??0303??1E(X)??xf(x)dx??x?2xdx?x4??022??2121?01，2D(X)?E(X)?[E(X)]?D(Z)?2?D(X)?222141??，29182.95、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為

?2e?(x?2y),x?0,y?0,f(x,y)??0,其它,?求隨機(jī)變量Z?X?2Y的分布函數(shù)。解FZ(z)?P{Z?z}?P{X?2Y?z}?x?2y?z??f(x,y)dxdy.

224

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

當(dāng)z≤0時(shí)，P{Z?z}?0。

當(dāng)z>0時(shí)，

P{Z?z}??dx?0z0zz?x202e?(x?2y)dy??e?xdx?0zz?x202e?2ydy

??(e?x?e?z)dx?1?e?z?ze?z,所以Z=X+2Y的分布函數(shù)為

0,z?0,?FZ(z)???z?z?1?e?ze,z?0.6、設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，X聽(tīng)從正態(tài)分布N(?,?2)，Y聽(tīng)從[??,?]上均勻分布，求Z?X?Y的概率分布密度(計(jì)算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)?表示，其中

?(x)?2??1x??e?t2dt2)。

解X和Y的概率密度分別為

fX(x)?12?e?(x??)22?2?1?,???x??,，???x???；fY(y)??2?

?其它。?0,由于X與Y獨(dú)立，可用卷積公式求Z=X+Y的概率密度，注意到fY(y)僅在[??,?]上才取非零值，所以Z的概率密度函數(shù)為

fZ(z)??

????fX(z?y)fY(y)dy?????fX(z?y)?fY(y)dy

1?2?z?y??????12??e?(z?y??)22?2dy.令t??，則有

z????

1fz(z)?2???z?????12?e?t2dt2?12???z??????z??????????????.?????????1?xe，???x???。27、設(shè)隨機(jī)變量x的概率分布密度為f(x)?(1)求X的數(shù)學(xué)期望EX和方差DX；

(2)求X與X的協(xié)方差，并問(wèn)X與X是否不相關(guān)？

(3)問(wèn)X與X是否相互獨(dú)立？為什么？解(1)E(X)??????xf(x)dx?0，

225

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

D(X)??????xf(x)dx??2??0x2e?xdx?2.

(2)cov(X,|X|)?E(X|X|)?EX?E|X|?E(X|X|)?所以X與|X|互不相關(guān)。

?????x|x|?f(x)dx?0，

(3)對(duì)于任意給定的0?x0???，事件{|X|?x0}包含在事件{X?x0}內(nèi)，故有從而

0?P{|X|?x0}?P{X?x0}?1，

P{X?x0,|x|?x0}?P{|X|?x0}?P{|X|?x0}?P{X?x0}。

因此，X與|X|不獨(dú)立。

8、已知隨機(jī)變量(X,Y)聽(tīng)從二維正態(tài)分布，并且X和Y分別聽(tīng)從正態(tài)分布N(1,32)和

N(0,42)，X與Y的相關(guān)系數(shù)?XY??1XY，設(shè)Z??232(1)求Z的數(shù)學(xué)期望EZ和方差DZ；(2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)?XZ；

(3)問(wèn)X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？解(1)EZ?111E(X)?E(Y)?。323注意D(X)?9，D(Y)?16，cov(X,Y)?有

?XY?D(X)?D(Y)?????3?4??6，

?1??2?

11?1??1?DZ????D(X)????D(Y)?2??cov(X,Y)32?3??2?

111?D(X)?D(Y)?cov(X,Y)?1?4?2?3.943??X?1?Y?1??cov?X,??cov(X,X)?cov(X,Y).3?2?2?322(2)cov(X,Z)?cov?X,(,X)?D(X)?9，cov(X,Y)??6有注意covX所以

cov(X,Z)?11?9?(?6)?3?3?0，32?XZ?cov(X,Z)D(X)?D(Z)?0.

226

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

(3)由于Z是正態(tài)隨機(jī)變量X與Y的線性組合，故Z也是正態(tài)隨機(jī)變量，又由于

?XZ?0，所以X與Z相互獨(dú)立。

9、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

?e?x,x?0,fX(x)??0,x?0,?求隨機(jī)變量Y?eX的概率密度f(wàn)Y(y)。解FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}.

當(dāng)y概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

③P{X?i,Y?j}?P{??i,??j}?P{??j}P{??i}?(2)X的布律為

XPi11/923/9112??,當(dāng)i?j時(shí)。99935/91359E(X)?1??2??3??.

999222。設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律、分511、從學(xué)校乘汽車(chē)到火車(chē)站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望。

解顯然X聽(tīng)從二項(xiàng)分布B?3.?，X的可能取值為0，1，2，3；其概率分別為

032?2??5?

2?272?540?2??1?2??，P{X?0}?C3,P{X?1}?C3???1??????1???125?5??5?125?5??5?2?8?2??2?363?2??.P{X?2}?C???1???,P{X?3}?C3???1???125?5??5?125?5??5?23230

即X的分布律為

Xp0123

27/12554/12536/1258/125據(jù)上，可得X的分布函數(shù)為

x?0?0,?27,0?x?1?125?81?F(x)?P{X?x}??,1?x?2

?125?117,2?x?3?125?x?1?1,X的數(shù)學(xué)期望為

27543686?1??2??3??.125125125125526(或：E(X)?np?3??)。

55E(X)?0?12、設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都聽(tīng)從均值為0、方差為

1的正態(tài)分布，求隨2機(jī)變量X?Y的方差。

228

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

??1?2???1?2?解令Z?X?Y。由于X?N?0,???，Y~N?0,???，且X和Y相互獨(dú)立，故

??2????2??????Z~N(0,1)。

由于D(|X?Y|)?D(|Z|)?E(|Z|2)?[E(|Z|)]2?E(Z2)?[E(|Z|)]2，而

E(Z)?D(Z)?1，

E(|Z|)??|z|????12?。

e?z2/2dz?22????0ze?z2/2dz?2?，

所以D(|X?Y|)?1?2?13、設(shè)總體X的概率密度為

?(??1)x?,0?x?1f(x)??0,其它?其中??1是未知參數(shù)，X1，X2，?，Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，分別用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法求?的估計(jì)量。

解①?的矩估計(jì)量。

由于總體X的數(shù)學(xué)期望為

E(X)??????xf(x)dx??(??1)x??1dx?01??1，??2??11n?X，解得未知參數(shù)?的矩估計(jì)量為令其等于樣本均值X??Xi，即

??2ni?1

②?的極大似然估計(jì)量。

設(shè)(x1，x2，??，xn)是來(lái)自樣本(X1,X2,?,Xn)的一個(gè)觀測(cè)值，則參數(shù)?的似然函數(shù)為

因此，似然方程為

ndlnL(?)n???lnxi?0。

d???1i?1???2X?1

1?XlnL?nln(??1)???lnxi。

i?1n???1??解之，得?的極大似然估計(jì)值為??n?

?lnx?i?，從而得?的極大似然估計(jì)量為i?1?n229

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

?????1??n??lnX?i?。i?1?n當(dāng)0?xi?1(1=1，2，?，n)時(shí)，恒有L(?)?0，故

lnL?nln(??1)???lnxi。

i?1n因此，似然方程為

ndlnL(?)n???lnxi?0。

d???1i?1???1??解之，得?的極大似然估計(jì)值為??n?

?lnx?i?，從而得?的極大似然估計(jì)量為i?1?n?????1??n??lnX?i?。i?1?n14、從正態(tài)總體N(3.4,62)中抽取容量為n的樣本，假使要求其樣本均值位于區(qū)間(1.4，5.4)內(nèi)的概率不小于0.95，問(wèn)樣本容量n至少應(yīng)取多大？

附表：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

z1?t2/2?(z)?edt

??2??z?(z)1.280.9001.6450.9501.960.9752.330.990解以X表示樣本均值，則

X?3.4n~N(0,1)，從而有

6P{1.4?X?5.4}?P{?2?X?3.4?2}

?|X?3.4|2n??P{|X?3.4|?2}?P?n??

66???n???2???3??1?0.95,???n???，由此得n?1.96，即n?(1.96?3)2?34.57，所以n至少應(yīng)取35。?0.975故??3?3??15、設(shè)某次考試的考生成績(jī)聽(tīng)從正態(tài)分布，從中隨機(jī)地抽取36位考生的成績(jī)，算得平均成績(jī)?yōu)?6.5分，標(biāo)準(zhǔn)差為15分。問(wèn)在顯著性水平0.05下，是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分？并給出檢驗(yàn)過(guò)程。附表：t分布表

230

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

ptp(n)n35361.68961.68832.03012.02810.950.975解設(shè)該次考試的考生成績(jī)?yōu)閄，則X~N(?,?2)。把從X中抽取的容量為n的樣本均值記為X，樣本標(biāo)準(zhǔn)差記為S，此題是在顯著性水平?=0.05下檢驗(yàn)假設(shè)拒絕域?yàn)?/p>

H0:??70；H1:??70，

|t|?|x?70|n?t1??/2(n?1)。

s由n?36，x=66.5，s=15，t0.0975(36?1)?2.0301，算得

|t|?|66.5?70|36?1.4?2.0301，

15所以接受假設(shè)H0:??70，即在顯著性水平0.05下，可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分。

16、設(shè)某設(shè)備的壽命T（

單位：千時(shí)）聽(tīng)從三段模型

??e??tt?0f???0.03732（1）在（0，6）上聽(tīng)從解的指數(shù)分布，有?0t?0?（2）在（6，60）聽(tīng)從（0，360）上的均勻分布（3）在(60,?)聽(tīng)從N(75,39)

2)（A）求0?T?10的概率，（B）求壽命超過(guò)50（千時(shí)）的概率?(0.385)?0.6498(1)P(0?T?10)?P(0?T?6)?P(6?T?10)

?1?e?0.03723?6?10?6?1?0.7998?0.0111?0.311336060?50T?3560?75?P(?)3603939(2)P(T?500?P(50?T?60)?P(T?60)??0.0278?P(T*??0.3846),T*~N(0,1)?0.0278?P(T*?0.3846)?0.0278??(0.3846)?0.0278?0.6498?0.677617、設(shè)分子的速度總體X聽(tīng)從馬克斯威爾分布

?4x2?x2?e???0X,X,?X為簡(jiǎn)單樣本f(x)??312n???0x?0?（1）求出?的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量

231

2概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

（2）指出無(wú)偏估計(jì)量（說(shuō)明理由）解(1)①求矩估計(jì)量：

E(X)?????0x?4x2?3?2?e?x2?dx2????04x2?3?e?x2?2a2xd(2)2????02??te?tdt??xt?()2

?(2????)?X，??2X為矩估計(jì)量

②求極大似然估計(jì)量L???i?1n4xi23n?e?xi2?2?(?i?1n4xi2??1)13n?1?e?2?xi2i?1w

nlnL?ln(?i?14xi2?n)?3nln???2?i?1nxi2dlnL?3n2??3da???i?1xi2?0

令2???i?1xi2??所以?2?Xi?1n2i3n3n為極大似然估計(jì)量

(2)矩估計(jì)量為無(wú)偏估計(jì)量，由于

1?)?E(E(?X)?E(22n?????X)ii?1n?12?nn?E(X)?2n?E(X)ii?1i?1n?n

?2n?i?12????2n?2n????2?x?x2??x?0,?為參數(shù)18、設(shè)總體X聽(tīng)從瑞利分布f(x)??e??x?0?0X1,X2?Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求

（1）求?的極大似然估計(jì)量

（2）該估計(jì)量是否為無(wú)偏估計(jì)量？說(shuō)明理由。解(1)L???i?1nxi2x2?ie2??(?x)?ii?1n1n?e1n2?xi2?i?1

lnL?ln?i?1n1xi?nln??2??xi?1n2i

232

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

dlnLn1???d??2?2?xi?1n2n2i

解方程?n??n12?2i?xi?12i?0

求出???xi?12n

n??1所以?為極大似然估計(jì)量為?2n?)?1(2)E(?2n??0?Xo?122i

?i?1nE(Xi2)1?2n?E(Xi?1n0

E(X2)??x2?nx?e?x22?dx?2?

?)?1?E(?2n??1??2nn?i?12i2??2n???2n?Xi?1為?的無(wú)偏估計(jì)量.

219、某工廠生產(chǎn)的螺釘長(zhǎng)度X~N(?,?)，現(xiàn)從一批螺釘中隨機(jī)地抽取6件，測(cè)得長(zhǎng)度的平均值x?5.46,標(biāo)準(zhǔn)差s?0.0802，問(wèn)是否可以認(rèn)為該批螺釘?shù)钠骄L(zhǎng)度為5.50方差小于0.09?(??0.10)

22t0.05(5)?2.015,t0.05(6)?1.9412,?0,?0.90(5)?1.61.90(6)?2.204

2?解(1)H0:???0?5.50，H1:???0

?2未知，選統(tǒng)計(jì)量T?X??0S/n~t(n?1)

H0的拒絕城為|T|?ta(n?1)

2|t|?|5.16?5.500.0802/6|?1.2217

233

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

ta(n?1)?t0.05(5)?2.0150

2?1.2217?2.0150即|t|?ta(n?1)，不在拒絕城內(nèi)，所以接受H0，可以認(rèn)為這批螺釘

2的平均長(zhǎng)度為5.50.

22(2)H0:?2??0?0.092，H1:?2??0?未知，選統(tǒng)計(jì)量，??222(n?1)s22?0~x2(n?1)

H0的拒絕城為??x1?a(n?1)

5?0.08022???3.9720.09222?1(n?1)?x?a0.90(5)?1.610

2?3.97?1.610即?2??1)，不在拒絕城內(nèi)。接受H0，這批螺釘長(zhǎng)度的方差不?a(n?1小于0.092。

19、對(duì)某圓柱的直徑進(jìn)行n次獨(dú)立測(cè)量，測(cè)得的數(shù)據(jù)為：（?,?），x1,x2,??xn,設(shè)Xi~N21X?n?Xi，欲使P（X??概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

2)數(shù)學(xué)期望

3)方差

EX?0?481102?1??2???。54545459EX2?02?428148822?1??22??，DX?EX?(EX)?。5454545405?e?(x?y),若0?x???,0?y???f(x,y)??其他,?0,27、已知隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合密度為

試求：(1)P{X?Y}；(2)E(XY)

P{X?Y}?(1)

x?y??f(x,y)dxdy????0dy?e?(x?y)dx0y??E(XY)??????0??????01e?y(1?e?y)dy?.2

(2)

?????xyf(x,y)dxdy????0?y??0???0xye?(x?y)dxdy

xedx??xyedy?1.28、設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上聽(tīng)從均勻分布，現(xiàn)在對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率。X的密度的函數(shù)為

?1?,2?x?5f(x)??3

?其它.?0,記A?{X?3}，則

P(A)?P{X?3}??12dx?。3335用?表示三次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù)，則?聽(tīng)從參數(shù)為n?3，p?分布，故所求概率為

2的二項(xiàng)320?2??1?3?2?P{??2}?C32?????C3????27?3??3??3??329、某儀器裝有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件，其壽命(單位：小時(shí))都聽(tīng)從同一指數(shù)

分布，分布密度為

?1?x?e600,若x?0,f(x)??600?0,若x?0,?試求：在儀器使用的最初200小時(shí)內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率?。

238

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

解：Xi(i?1，2，3)表示第i只元件壽命，以Ai(i?1,2,3)表示事件“在儀器使用最初200小時(shí)內(nèi)，第i只元件損壞〞，則

所求概率為

?1?600P(Ai)?P{Xi?200}??edx?e3。

202300??x1??P(A1?A2?A3)?1?P(A1?A2?A3)?1?P(A1)?P(A2)?P(A3)?1?(e)?1?e?1.?133

30、已知隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為；(x,y)P{X?x,Y?y}(0，0)0.10(0，1)0.15(1，0)0.25(1，1)0.20(2，0)0.15（2，1）0.15試求：(1)X的概率分布；(2)X+Y的概率分布；(3)Z?sin解：(1)X的概率分布為

(2)X+Y的概率分布為

?(X?Y)2的數(shù)學(xué)期望。

x012

P{X?x}0.250.450.30s0123

P{X?Y?s}0.100.400.350.15??(X?Y)?EZ?E?sin?2??(3)

?0.10?sin0?0.4?sin?0.4?0.15?0.25.?2?0.35?sin??0.15?sin?2

31、從0，1，2，?，9等十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同的數(shù)字，試求以下事件的概率：A1?{三個(gè)數(shù)字中不含0和5}；A2?{三個(gè)數(shù)字中不含0或5}；

A3?{三個(gè)數(shù)字中含0但不含5}。

332C9?C814解：P(A1)?C/C?7/15，P(A2)?，?315C10383101C92?C8C8277P(A3)?或?P(A)??3333030C10C1032、一電子儀器由兩個(gè)部件構(gòu)成，以X和Y分別表示兩個(gè)部件的壽命(單位：知小時(shí))，

已知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為：

239

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),若x?0,y?0F(x,y)??0,其他.?(1)問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？

(2)求兩個(gè)部件的壽命都超過(guò)100小時(shí)的概率?。解法一：(1)X和Y的分布函數(shù)分別為：

?1?e?0.5x,若x?0,FX(x)?F(x,??)??0,若x?0;??1?e?0.5y,若y?0,FY(y)?F(??,y)??若y?0.?0,

由于F(x,y)?FX(x)?FY(y)，知X和Y獨(dú)立。(2)

??P{X?0.1,Y?0.1}?P{X?0.1}?P{Y?0.1}?[1?FX(0.1)]?[1?FY(0.1)]?e?0.05?e?0.05?e?0.1.

解法二：(1)以f(x,y)，f1(x)和f2(y)分別代表(X,Y)，X和Y的概率密度，有

?F2(x,y)?0.25e?0.5(x?y),若?0，y?0f(x,y)????x?y0,其他;?f1(x)??

????

?0.5e?0.5x,若x?0,f(x,y)dy??若x?0;?0,?0.5e?0.5y,若y?0,f(x,y)dx??若y?0.?0,f2(y)??????由于f(x,y)?f1(x)?f2(y)知X和Y獨(dú)立。

(2)

??P{X?0.1,Y?0.1}??????0.1??0.1???0.10.25e?0.25(x?y)dxdy

?0.10.5e?0.5xdx????0.10.5e?0.5ydy?e.33、甲、乙兩人獨(dú)立地各進(jìn)行兩次射擊，假設(shè)甲的命中率為0.2，乙的命中率為0.5，以X

和Y分別表示甲和乙的命中次數(shù)。試求X和Y的聯(lián)合概率分布。

解X聽(tīng)從參數(shù)為n=2，p=0.2的二項(xiàng)分布，Y聽(tīng)從參數(shù)為n=2，p=0.5的二項(xiàng)分布，它們的概率分布分別為：

x012y012

P{X?x}0.640.320.04P{Y?y}0.250.50.25由X和Y的獨(dú)立性知X和Y的聯(lián)合概率分布為：

X01Y

240

2概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

0120.160.320.60.080.160.080.010.020.01

34、某地抽樣調(diào)查結(jié)果說(shuō)明，考生的外語(yǔ)成績(jī)(百分制)近似正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率。[附表]

x00.51.01.52.02.53.0

?(x)0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999有中?(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

解設(shè)X為考生的外語(yǔ)成績(jī)，由題設(shè)X~N(?,?2)，其中??72?，F(xiàn)在求?，由條件知

2?X??96?72??24?0.023?P{X?96}?P????1????，

????????24?????0.977。???24從而

由?(x)的數(shù)值表，可見(jiàn)

??2，因此??12，這樣X(jué)~N(72,122)。故所求概率為：

X???60?72X??84?72???Q{60?X?84}?P????P?1??1????12???12??

??(1)??(?1)?2?(1)?1?2?0.841?1?0.682.35、一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等。以X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)。

(1)求X的概率分布；(2)E1。1?X解(1)X的可能值為0，1，2，3。以Ai表示事件“汽車(chē)在第i個(gè)路口首次遇到紅燈〞，則

P(Ai)?P(Ai)?

1，i=1，2，3，且A1，A2，A3相互獨(dú)立。21P{X?0}?P(A1)?，

2P{X?1}?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?1，41P{X?2}?P(A1?A2?A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?，

81P{X?3}?P(Ai?A2?A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?。

81111111167?1????????.(2)E?1?X224384896241

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

36、在電源電壓不超過(guò)200伏，在200~240伏和超過(guò)240伏三種狀況下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2。假設(shè)電源電壓X聽(tīng)從正態(tài)分布N(220，252)。試求：(1)該電子元件損壞的概率?；

(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240伏的概率?。附表：

x0.100.200.400.600.801.001.201.40?(x)0.5300.5790.6550.7260.7880.8410.8850.919

表中?(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

解引進(jìn)以下事件：A1={電壓不超過(guò)200伏}，A2={電壓在200-240伏}，A3={電壓超過(guò)240伏}，B={電子元件損壞}。由于X~N(220,252)，因此

?X?220230?220?P(A1)?P{X?200}?P??????0.8?0.212，

2525??

P(A2)?P{200?X?240}??(0.8)??(?0.8)?0.576，

P(A3)?P(X?240)?1?0.212?0.576?0.212。

由題設(shè)知P(B|A1)?0.1，P(B|A2)?0.001，P(B|A3)?0.2。(1)由全概率公式

??P(B)??P(Ai)P(B?Ai)?0.0642。

i?13(2)由貝葉斯公式

??P(A2|B)?P(A2)P(B?A2)?0.009。

P(B)22237、假設(shè)隨機(jī)變量X和Y在圓域x?y?r上聽(tīng)從聯(lián)合均勻分布

(1)求X和Y的相關(guān)系數(shù)?；(2)問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？解(1)X和Y的聯(lián)合密度為

?1?2,若x2?y2?r2;f(x,y)???r

?其他.?0,X的密度為

?1?f1(x)???r2????r2?x2??r2?xdy?2222r?x,?r?x?r2,?r0,其他.r2?x2,?r?y?r其他.,

?2?Y的密度為f2(y)???r2??

??r2?y2??r?y2dx?20,2?r2242

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

2E(X)??x?2?r?rrr?xdx?0，EY??y??r22r2?r2?y2dy?0

cov(X,Y)?EXY?x2?y2?r2??xy?1dxdy?0.2?r于是，X和Y的相關(guān)系數(shù)??0。

38、假設(shè)測(cè)量的隨機(jī)誤差X~N(0，102)，試求在100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中，至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6的概率?，并利用泊松分布求出?近似值。(要求小數(shù)點(diǎn)后了兩位有效數(shù)字)。

?1234567?附表??

e0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001?解每次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6的概率

?|X|?p?P{|X|?19.6}?P??1.96??0.05.

?10?設(shè)?為100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件{|X|?19.6}出現(xiàn)的次數(shù)，?聽(tīng)從參數(shù)為n=100，p=0.05的二項(xiàng)分布，所求概率

??P{??3}?1?P{??0}?P{??1}?P{??2}

100?99298?1?(0.95)?100?0.05?0.95??0.05?0.95.2399由泊松定理，?近似聽(tīng)從參數(shù)為??np?100?0.05?5的泊松分布，從而

??2???1?e??e?e?1?e?1?????22????1?0.007?(1?5?12.5)?0.87.?????????239、一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10，0.20和0.30。假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的概率分布。數(shù)學(xué)期望EX和方差DX。

解設(shè)Ai={部件i需要調(diào)整}(i=1，2，3)，

P(A1)?0.10，P(A2)?0.20，P(A3)?0.30。

X可能取值0，1，2，3。由于A1，A2，A3相互獨(dú)立，

P{X?0}?P(A1A2A3)?0.9?0.8?0.7?0.504，

P{X?1}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)，

?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398243

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.1?0.2?0.7?0.1?0.8?0.3?0.9?0.2?0.3?0.092,P(X?3)?P(A1A2A3?0.1?0.2?0.3)?0.006。

于是

123??0X~??,

0.5040.3980.0920.006??EX?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.6,

DX?EX2?(EX)2?1?0.398?4?0.092?9?0.006?(0.6)2?0.46.

[注]假使只要求EX和DX，這時(shí)也可用如下解法：考察隨機(jī)變量

?1,若Ai出現(xiàn)Xi??(i?1,2,3)m

?0,若Ai不出現(xiàn)易見(jiàn)

EXi?P(Ai)，DXi?P(Ai)[1?P(Ai)]，X?X1?X2?X3。

由于X1，X2，X3相互獨(dú)立，從而

40、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為

EX?0.1?0.2?0.3?0.6，

DX?0.1?0.9?0.2?0.8?0.3?0.7?0.46.

?e?y,0?x?y,f(x,y)??0,其它.?(1)求X的密度f(wàn)X(x)；(2)求概率P{X?Y?1}。

?????e?ydy?e?x,x?0,解(1)fX(x)??x

?0,x?0?P{X?Y?1}?(2)

120x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?1201?xxe?ydy

1?2???dx[e?(1?x)?e?x]dx?1?e?1?2e41、設(shè)隨機(jī)變量X和Y同分布，X的概率密度為

?32?x,0?x?2f(x)??8?其他,?0,(1)已知事件A?{X?a}和B?{Y?a}獨(dú)立，且P(A?B)?(2)求

3，求常數(shù)a；41X2的數(shù)學(xué)期望。

244

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)釋疑解難

解(1)由條件知P(A)?P(B)，P(AB)?P(A)P(B)，由此得

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?2P(A)?[P(A)]2?P(A)?1，并且知0?a?2。2223。4由于

P{X?a}????a32x3f(x)dx??xdx?a88a1?1?a3。

8從而有1?131a?，于是得a?34。82??121132323f(x)dx??xdx?dx?(2)E2??22????00884Xxx42、設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，都在區(qū)間[1，3]上聽(tīng)從均勻分布；引進(jìn)事件A?{X?a}，

B?{Y?a}

(1)已知P(A?B)?71，求常數(shù)a；(2)求的數(shù)學(xué)期望。9X解(1)設(shè)p?P(A).由X與Y同分布，知

P(B)?P{Y?a}?P{X?a}?P(A)?p，P(B)?1?p。

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?(1?p)?p(1?p)72?p?p?1?,9由

12，p2?。于是a有兩個(gè)值：33a?125a?147?p1得a1?1??；由?p2得a2?1??。由233233??111311??f(x)dx??dx?ln3.(2)E??xX21x2得p1?43、假設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)聽(tīng)從參數(shù)為?t的泊松分布。

(1)求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率