高數(shù)一試題分析

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高數(shù)一試題分析、詳解和評注

一、填空題（此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上）

11x2（1）曲線y?的斜漸近線方程為y?x?.

242x?1此題屬基此題型，直接用斜漸近線方程公式進(jìn)行計(jì)算即可.

f(x)x21?lim2?，由于a=limx??x??2x?xx2b?lim?f(x)?ax??limx???x1??，

x??2(2x?1)4于是所求斜漸近線方程為y?11x?.24如何求垂直漸近線、水平漸近線和斜漸近線，是基本要求，應(yīng)熟練把握。這

里應(yīng)注意兩點(diǎn)：1）當(dāng)存在水平漸近線時(shí)，不需要再求斜漸近線；2）若當(dāng)x??時(shí)，極限

a?limx??f(x)不存在，則應(yīng)進(jìn)一步探討x???或x???的情形，即在右或左側(cè)是否存x在斜漸近線。

完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.192

（2）微分方程xy??2y?xlnx滿足y(1)??111的解為y?xlnx?x..939直接套用一階線性微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解公式：

?P(x)dxP(x)dxy?e?[Q(x)e?dx?C]，

?再由初始條件確定任意常數(shù)即可.原方程等價(jià)為

y??于是通解為y?e=

?2y?lnx，x?xdx2[?lnx?e?xdx2dx?C]?12?[xlnxdx?C]2?x111xlnx?x?C2，39x111由y(1)??得C=0，故所求解為y?xlnx?x.

939此題雖屬基此題型，但在用相關(guān)公式時(shí)應(yīng)注意先化為標(biāo)準(zhǔn)型.另外，此題也

可如下求解：原方程可化為

xy??2xy?xlnx，即[xy]??xlnx，兩邊積分得

22221

13132xlnxdx?xlnx?x?C，?3911再代入初始條件即可得所求解為y?xlnx?x.

39xy?2完全類似公式見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.154

?1x2y2z2{1,1,1}，則??（3）設(shè)函數(shù)u(x,y,z)?1?，單位向量n?612183?u?n=

(1,2,3)3.3?函數(shù)u(x,y,z)沿單位向量n?{cos?,cos?,cos?}的方向?qū)?shù)為：

?u?u?u?u?cos??cos??cos??n?x?y?z因此，此題直接用上述公式即可.

由于

?ux?uy?uz?，?，于是所求方向?qū)?shù)為?，?x3?y6?z9

?u?n(1,2,3)=

1111113??????.3333333?此題若n={m,n,l}非單位向量，則應(yīng)先將其單位化，從而得方向余弦為：

cos??mm?n?l222,cos??nm?n?l222,cos??lm?n?l222.

完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.330

（4）設(shè)?是由錐面z?x2?y2與半球面z?R2?x2?y2圍成的空間區(qū)域，?是

?的整個(gè)邊界的外側(cè)，則??xdydz?ydzdx?zdxdy?2?(1??23)R.2此題?是封閉曲面且取外側(cè)，自然想到用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可.

??xdydz?ydzdx?zdxdy????3dxdydz

??=3.

?R?200?d??4sin?d??d??2?(1?02?23)R.22

此題屬基此題型，不管是用球面坐標(biāo)還是用柱面坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，均應(yīng)特別注意計(jì)算的確鑿性，主要考察基本的計(jì)算能力.

完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.325

（5）設(shè)?1,?2,?3均為3維列向量，記矩陣

A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)，假使A?1，那么B?2.

將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

由題設(shè)，有

B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)

?111???=(?1,?2,?3)123，????149??111于是有B?A?123?1?2?2.

149此題相當(dāng)于矩陣B的列向量組可由矩陣A的列向量組線性表示，關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為用矩陣乘積形式表示。一般地，若

?1?a11?1?a12?2???a1n?n，?2?a21?1?a22?2???a2n?n，

????

?m?am1?1?am2?2???amn?n，

?a11?a??m????1,?2,?,?n??12????a1na21?am1?a22?am2??.?????a2n?amn?則有??1?2完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.356

（6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X,再從1,2,?,X中任取一個(gè)數(shù)，記為Y,則

P{Y?2}=

13.483

此題涉及到兩次隨機(jī)試驗(yàn)，想到用全概率公式,且第一次試驗(yàn)的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.

P{Y?2}=P{X?1}P{Y?2X?1}+P{X?2}P{Y?2X?2}+P{X?3}P{Y?2X?3}+P{X?4}P{Y?2X?4}=

111113?(0???)?.423448全概率公式綜合考察了加法公式、乘法公式和條件概率，這類題型一直都是

考察的重點(diǎn).

完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.492

二、選擇題（此題共8小題，每題4分，總分值32分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)）

（7）設(shè)函數(shù)f(x)?limn1?xn??3n，則f(x)在(??,??)內(nèi)

(A)四處可導(dǎo).(B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).

(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).[C]先求出f(x)的表達(dá)式，再探討其可導(dǎo)情形.當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?limn1?xn??3n?1；

當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?limn1?1?1；

n??當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?limx(n??31x3n?1)?x.

1n3??x3,x??1,?即f(x)??1,?1?x?1,可見f(x)僅在x=?1時(shí)不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C).

?x3,x?1.?此題綜合考察了數(shù)列極限和導(dǎo)數(shù)概念兩個(gè)知識點(diǎn).

完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.56

\M?N\表示（8）設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，“M的充分必要條件是N〞，

則必有

(A)F(x)是偶函數(shù)?f(x)是奇函數(shù).（B）F(x)是奇函數(shù)?f(x)是偶函數(shù).

(C)F(x)是周期函數(shù)?f(x)是周期函數(shù).

(D)F(x)是單調(diào)函數(shù)?f(x)是單調(diào)函數(shù).[A]此題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.

方法一：任一原函數(shù)可表示為F(x)??x0f(t)dt?C，且F?(x)?f(x).

當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時(shí)，有F(?x)?F(x)，于是F?(?x)?(?1)?F?(x)，即?f(?x)?f(x)，

4

也即f(?x)??f(x)，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則數(shù)，從而F(x)??x0f(t)dt為偶函

?x0f(t)dt?C為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項(xiàng).

12x,排除(D);2方法二：令f(x)=1,則取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,則取F(x)=

故應(yīng)選(A).

函數(shù)f(x)與其原函數(shù)F(x)的奇偶性、周期性和單調(diào)性已屢屢考察過.請讀者思考f(x)與其原函數(shù)F(x)的有界性之間有何關(guān)系？

完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.10

（9）設(shè)函數(shù)u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt,其中函數(shù)?具有二階導(dǎo)數(shù)，

?具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有

?2u?2u?2u?2u(A)??2.（B）2?2.2?x?y?x?y?2u?2u?2u?2u(C).(D).[B]???x?y?x2?x?y?y2?2u?2u?2u先分別求出2、2、，再比較答案即可.

?x?x?y?y由于

?u???(x?y)???(x?y)??(x?y)??(x?y)，?x

?u???(x?y)???(x?y)??(x?y)??(x?y)，?y?2u????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)，于是2?x?2u????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)，

?x?y?2u????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)，2?y?2u?2u可見有2?，應(yīng)選(B).2?x?y此題綜合考察了復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)和隱函數(shù)求偏導(dǎo)以及高階偏導(dǎo)的計(jì)算。作為做題技巧，也可取?(t)?t,?(t)?1，則u(x,y)?2x?2y?2y，簡單驗(yàn)算只有

2225

?2u?2u?2成立，同樣可找到正確選項(xiàng)(B).2?x?y完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.267及習(xí)題十（第11題）

（10）設(shè)有三元方程xy?zlny?exz?1，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)(0,1,1)的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程

(A)只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y).

(B)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y).(C)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y).

(D)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z).[D]

此題考察隱函數(shù)存在定理，只需令F(x,y,z)=xy?zlny?exz?1,分別求出三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)Fz,Fx,Fy，再考慮在點(diǎn)(0,1,1)處哪個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不為0，則可確定相應(yīng)的隱函數(shù).

令F(x,y,z)=xy?zlny?exz?1,則Fx??y?exzz，F(xiàn)y??x?z，F(xiàn)z???lny?exzx，y且Fx?(0,1,1)?2，F(xiàn)y?(0,1,1)??1，F(xiàn)z?(0,1,1)?0.由此可確定相應(yīng)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z).故應(yīng)選(D).

隱函數(shù)存在定理是首次直接考察，有部分考生感到較生疏.實(shí)際上此題也可從隱函數(shù)求偏導(dǎo)公式著手分析：若偏導(dǎo)表達(dá)式有意義，相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)也就存在.

定理公式見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.270

（11）設(shè)?1,?2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為?1,?2，則?1，

A(?1??2)線性無關(guān)的充分必要條件是

(A)

?1?0.(B)?2?0.(C)?1?0.(D)?2?0.[B]

探討一組抽象向量的線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可.方法一：令k1?1?k2A(?1??2)?0，則

k1?1?k2?1?1?k2?2?2?0，(k1?k2?1)?1?k2?2?2?0.由于?1,?2線性無關(guān)，于是有??k1?k2?1?0,

?k2?2?0.6

當(dāng)?2?0時(shí)，顯然有k1?0,k2?0，此時(shí)?1，A(?1??2)線性無關(guān)；反過來，若?1，A(?1??2)線性無關(guān)，則必然有?2?0(,否則，?1與A(?1??2)=?1?1線性相關(guān))，故應(yīng)選(B).

?1?1?方法二：由于[?1,A(?1??2)]?[?1,?1?1??2?2]?[?1,?2]??，

0?2??可見?1，A(?1??2)線性無關(guān)的充要條件是

1?1??2?0.故應(yīng)選(B).

0?2此題綜合考察了特征值、特征向量和線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念.完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.407

**（12）設(shè)A為n（n?2）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,A,B分

別為A,B的伴隨矩陣，則

(A)交換A的第1列與第2列得B.(B)交換A的第1行與第2行得B.

(C)交換A的第1列與第2列得?B.(D)交換A的第1行與第2行得?B.[C]此題考察初等變換的概念與初等矩陣的性質(zhì)，只需利用初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及伴隨矩陣的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.

由題設(shè)，存在初等矩陣E12（交換n階單位矩陣的第1行與第2行所得），使

*****得E12A?B，于是B?(E12A)?AE12?AE12?E12?1********??A*E12，即

AE12??B,可見應(yīng)選(C).

注意伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)：

**AA*?A*A?AE，當(dāng)A可逆時(shí)，A*?AA?1,(AB)*?B*A*.

完全類似例題及性質(zhì)見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.381

（13）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為XY0100.4a1b0.1

已知隨機(jī)事件{X?0}與{X?Y?1}相互獨(dú)立，則

(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1

7

(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4[B]首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的獨(dú)立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.

由題設(shè)，知a+b=0.5

又事件{X?0}與{X?Y?1}相互獨(dú)立，于是有

P{X?0,X?Y?1}?P{X?0}P{X?Y?1}，即a=(0.4?a)(a?b),由此可解得a=0.4,b=0.1,故應(yīng)選(B).

此題考察二維隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)和獨(dú)立隨機(jī)事件的概念，均為大綱要求的基本內(nèi)容.

完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.528

S（14）設(shè)X1,X2,?,Xn(n?2)為來自總體N(0,1)的簡單隨機(jī)樣本，X為樣本均值，

為樣本方差，則

(A)nX~N(0,1)(B)nS2~2?2(n).

(n?1)X12(n?1)X~t(n?1)(D)n(C)~F(1,n?1).[D]S?Xi2i?2利用正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)和?分布、t分布及F分布的定義進(jìn)行探討即可.

由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知，

2X?0?nX~N(0,1)，可排除(A);1n(n?1)S2X?0nX22?(n?1)S~?(n?1)，不能又?~t(n?1)，可排除(C);而

S12Sn斷定(B)是正確選項(xiàng).

由于X21nn~?(1),?X~?(n?1)，且X~?(1)與?Xi2~?2(n?1)相互獨(dú)

22i2212i?2i?2X12立，于是

1n?1?Xi?2n?(n?1)X122i?Xi?2n~F(1,n?1).故應(yīng)選(D).

2i正態(tài)總體X~N(?,?)的三個(gè)抽樣分布：

2X???~N(0,1)、

n8

(n?1)S2X??~?2(n?1)是?？贾R點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)牢記.~t(n?1)、2S?n完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.575

三、解答題（此題共9小題，總分值94分.解允許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（此題總分值11分）設(shè)D?{(x,y)x?y?大整數(shù).計(jì)算二重積分

222,x?0,y?0}，[1?x2?y2]表示不超過1?x2?y2的最

22xy[1?x?y]dxdy.??D首先應(yīng)設(shè)法去掉取整函數(shù)符號，為此將積分區(qū)域分為兩部分即可.

令D1?{(x,y)0?x?y?1,x?0,y?0}，

22D2?{(x,y)1?x?y?222,x?0,y?0}.

則

22xy[1?x?y]dxdy=??xydxdy?2??xydxdy??DD1D2??=

?20sin?cos?d??rdr?2?sin?cos?d??r3dr

02023?32137??.848對于二重積分（或三重積分）的計(jì)算問題，當(dāng)被積函數(shù)為分段函數(shù)時(shí)應(yīng)利用積分的可加性分區(qū)域積分.而實(shí)際考題中，被積函數(shù)經(jīng)常為隱含的分段函數(shù)，如取絕對值函數(shù)f(x,y)、取極值函數(shù)max{f(x,y,g(x,y)}以及取整函數(shù)[f(x,y]等等.

完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.295

（16）（此題總分值12分）求冪級數(shù)

??(?1)n?1(1?n?11)x2n的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x).

n(2n?1)先求收斂半徑，進(jìn)而可確定收斂區(qū)間.而和函數(shù)可利用逐項(xiàng)求導(dǎo)得到.

由于lim(n?1)(2n?1)?1n(2n?1)??1，所以當(dāng)x2?1時(shí)，原級數(shù)絕

n??(n?1)(2n?1)n(2n?1)?1對收斂，當(dāng)x?1時(shí)，原級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（－1,1）

1(?1n?)記S(x)??2?n?12n(n??2,1)x,?x?(，11)2n(?1)n?12n?1則S?(x)??x,x?(?1,1)，n?12n?19

S??(x)??(?1)n?1