非壽險精算答案整理

本文格式為Word版，下載可任意編輯——非壽險精算答案整理一：假設某保單的損失聽從指數分布，概率密度函數為f(x;?)?e??x(x?0)其中，?為未知參數，假使該保單過去各年的損失觀測值為(x1,x2?xn)，求參數?的極大似然估

??解：利用極大似然估計的方法，可以得到?n?xi?1n?1

xi二：假設某保險業(yè)務的累積損失S聽從復合泊松分布，泊松參數為20，而每次損失的金額聽從均值為100的指數分布，用正態(tài)近似求累積損失的99%的分位數。解：

E(S)??E(X)?20?100?20002VAR(S)?VAR(X)E(N)?VAR(N)?E(X)??20(1002?1002)?400000

分位數=E(S)?2.326?VAR(S)?3471

加二、某保單規(guī)定的免賠額為20，該保單的損失聽從參數為0.2的指數分布，求該保險人對該保險保單的期望賠款。解：令Y??0，X?20為保險人的賠款隨機變量

?X?20，X?20??20E(Y)?E(X?20X?20)??(x?20)0.2e?0.2xdx?5e?4

三、假設某公司承保的所有汽車每年發(fā)生交通事故的次數都聽從泊松分布，而不同汽車的泊松分布參數不同，假設只取兩個值（1或2），進一步假設?的先驗分布為p(??1)?0.6,p(??2)?0.4，假使汽車一年內發(fā)生4次事故，求該汽車索賠頻率?的后驗分布。解：P(x?4?)??44!e??P(x?4??1)?1?116?2eP(x?4??2)?e2424e?1?0.624P(??1x?4)??1?0.2031

e16?2?0.6?e?0.4242416e?2?0.624P(??2x?4)??1?0.7969

e16?2?0.6?e?0.42424E(?)?P(??1x?4)?1+P(??2x?4)?2=1.7969

四：假設某險種的損失次數聽從參數為0.2的泊松分布，對于一次保險事故，損失為5000元的概率是80%，損失為10000元的概率是20%，請計算保險公司的累積損失的分布解：為簡化計算，假設一個貨幣單位為5000元，

解：fs(0)?e???e?0.2?0.818731，fs(1)??fX(1)fS(0)?0.2?0.8?e?0.2?0.130997

fs(2)??2(fX(1)fS(1)?2fX(2)fS(0))?0.043229

依次類推得其他計算結果如下表xfS(x)0120.8187310.1309970.043229FS(x)0.8187310.9497280.99295730.0057990.99875640.0010970.99985350.0001280.99998160.0000180.999999五：假設某保險人簽發(fā)了兩份保單A和B，每份保單可能發(fā)生的損失額及相應的概率如下表：AB損失額概率損失額概率00.60000.72000.220000.320000.06200000.1200000.04求累積損失概率。解：保險公司的累積損失及概率損失概率A的損失B的損失A+B的損失六：假設保險業(yè)務在一年內是均勻分布，保險期限為1年，各日歷年的已賺保費如下，2000年為200千元，2023年為250千元，2023年為300千元，最近幾次的費率調整如下表，費率調整日期調整幅度10%1998年7月1日8%1999年7月1日10%2023年7月1日請計算以該表最新的費率水平表示的2000-2023年的已賺保費。解：假使把1998年生效的相對費率看做是1，則1999年生效的相對費率為1.08,2023年生效的相對費率為1.08*1.09?1.1772，2000年的相對費率為1*12.5%?1.08*87.5%?1.07，2023年的相對費率為1.08*12.5%+1.1772*12.5%=1.09215,2023年的相對費率為1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505，將所有年費的已賺保費調整到2023年的水平，可得等水平已賺保費為3100*1.1772/1.07+3200*1.1772/1.09215+3500*1.1772/1.16505=10396.28八：某險種當年的相對費率和保費收入、過去三年的等水平已賺保費和經驗損失數據如下表所示，假設A為基礎類別，經驗數據的可信度為40%，假使整體保費需要上調15%，請計算調整后的相對費率。

經驗損失數據風險類別當年的相對費率當年的保費收入過去三年的等水過去三年的經驗平已賺保費損失A16000160004800B1.26500150003500C1.35500150003200yp2360000?0.4,查表可知()?384解：有實際賠付經驗可知?km15002因此完全可信性所需的索賠次數不能小于nF?384(1?0.4)?445

?又由于每份保單的索賠頻率為0.03，所以發(fā)生445次索賠所需要的保單數為445/0.03=14848十、假設某險種的保險期限為1年，新費率的生效日期是2023年7月1日，目標賠付率為60%，假使每年按5%的速度增長，請根據下表計算費率的調整幅度。經驗費率保單年度根據當前費率計算的保費最終賠款權重2023200010000.32023300020000.7解：2023年簽發(fā)的保單，其賠款平均在2023年1月1日支出。2023年7月1日簽發(fā)的保單，其賠款平均在2023年7月1日支出。

因此把2023年的保單年度的最終賠款調整到2023年7月1日得水平即為

1000?1.052.5?1129.73，同樣把2023年保單年度的最終賠款調整到2023年7月1日的

1.5.86水平即為2000?1.05?2151保單年度根據當前費率計算的保費最終賠款權重經趨勢調整后的最終賠款1129.732151.86經驗賠付率2023200010000.30.56492023300020000.70.7173平均經驗賠付率=0.5649*0.3+0.7173*0.7=0.6716費率上調幅度=0.6716/0.6=12%

十一：已知兩個風險A和B的損失金額聽從下述分布，，其中風險A發(fā)生損失的概率是風險B的兩倍，假使已知某個風險在某次事故的損失額為300元，求該風險下次損失額的BL估計。損失額風險A的概率分布風險B的概率分布3000.50.630000.30.3700000.20.1解：

1E(x)?(2)?E(x??1)?(E(x??2))?12726.73321a?(15050?12726.7)2?(8080?12726.7)2?10795755.56

33VAR(X??1)?0.5?(300?15050)2?0.3(3000?15050)2?0.2(70000?15050)2?756242500VAR(X??2)?0.6?(300?8080)2?0.3(3000?8080)2?0.1(70000?8080)2?427467600??21?756242500??427467600?646650866.733?nk??59.899z??0.01642an?k信度估計值為zX?(1?z)??12522.65

十二、已知有四個風險等級的被保險人，每人可能發(fā)生的損失為2或者4，其分布如下表所示，隨機選定某一風險等級，并且從中選取四個被保險人，總的損失為4，假使從同一風險等級中再抽取一個被保險人，請用bl-s信度模型估計這5個被保險人的總損失。解：類別概率均值方差2.20.36一類142.60.84二類14三類四類14141433.610.64??2.85，??0.71，a?(2.22?2.62?32?3.62)?2.852?0.2675

4?0.60110.714?0.2675??zX?(1?z)??1.738x??8.695xz?n?n?k十三、假設不同被保險人的索賠頻率相互獨立，每個被保險人在每月的索賠次數聽從泊松分布，不同被保險人的泊松參數互不一致，泊松參數聽從伽馬分布，其密度函數為

(100?)6e?100?f(?)?，假設保險人在過去4個月份的經驗數據如下表所示，請應用bl-s

120?模型估計保險人在下個月的索賠次數。

十四

十六：已知100個人投保，這些投保的個體有相互獨立的索賠，索賠的均值和方差依照性別分別如下表：均值方差24男性210女性設S為總的索賠量，總的保險費依照E(S)?2D(S)收取，這100個成員中，男女性別個數未知，設男性有N個人，N聽從二項分布，b(100,0.4)。求總保費為多少？

,0.4)，則總索賠解：設X表示男性索賠，Y表示女性索賠，N表示男性個數，N~b(100為男、女之和，即

S?X1?X2???XN?YN?1?YN?2???Y100E(X)?2，D(X)?4E(Y)?4，D(Y)?10

則E(S)?E(E(SN))

?E(NE(X)?(100?N)E(Y))?400?2E(N)

=320

D(S)=E(D(SN))?D(E(SN))

?E(ND(X)?(100?N)D(Y))?D(NE(X)?(100?N)E(Y))?760?96?856

所以總保費為E(S)?2D(S)=378.5

十七、設??2，p(x)?0.1x,x?1,2,3,4，計算總索賠S的分布f(S?x),x?0,1,2,3,4的概率。

一：一般解法：f(x)?P(S?x)??P(S?xN?n)P(N?n)

n?0??經計算為X01234N?Pn?0?*n(x)P(N?n)

P*0(x)100.1353P*1(x)00.10.20.30.410.2707P*2(x)000.010.040.120.2707P*3(x)0000.010.0630.1804P*4(x)00000.00140.451f(x)0.13530.027070.056830.092220.13688?nn!e??方法二：S?x1N1?x2N2?x3N3?x4N4

其中，Ni聽從參數為?pi的泊松分布，p(x)?0.1x,x?1,2,3,4列成下表進行計算X1N1012340.81870.163750.0163750.001090.0000550.22N20.670300.268100.05360.43N30.5488000.329300.64N40.44930000.35930.8P（S?x）0.13530.027070.056830.092220.13688?iP(Ni?x)(0.2)xe?0.2(0.4)xe?0.4(0.6)xe?0.6(0.8)xe?0.8x!x!x!x!十八：由100000張同類醫(yī)療保單的組合，設被保險人的損失是相互獨立的，保單規(guī)定保險人只賠付被保險人所發(fā)生損失的80%，設在保險期間內可能發(fā)生的損失都聽從分布X0502005001000100000.10.10.20.20.1P(X?x)0.3若要求所收取的保費總額低于理賠總額的概率不超過5%，試確定安全附加保費100000解：設損失變量為L?100000?Xi?1i，則理賠變量為

S?0.8L?0.8?Xi?1i，又設安全附加費為?，則保費總額為G?(1??)E(S)則根據題意

E(S)?1060*100000

D(S)?5439120?100000??E(S)?S?E(S)?E(S)?????()有P??D(S)?D(S)??D(S)?所以安全附加保費為1.645*5439120*100000=1213193.9

十九：一個保險公司為投保人提供三種保險，其特征見下表：種類人數索賠概率個體賠付期望15000.055210000.11035000.155已知對于每一個投保人，在索賠發(fā)生的條件下，個體索賠量得期望與方差相等，且保險供給將收取純保費的(1??)倍為保費，求相對附加保費?使得P(S?(1??)E(S))?0.05成立。

解：設Xi代表第i類得個體索賠變量，?Ii?1?表示第i類索賠發(fā)生，?Ii?0?Ii為0-1變量，表示第i類索賠不發(fā)生，Bi代表在索賠發(fā)生的條件下，索賠的大小。則根據個體索賠量得定義，Xi?IiBi，且P(Ii?1)?qi，qi為索賠概率。則E(Xi)??iqi,D(Xi)??iqi(1?qi)??i2qi

其中?i?E(BiIi?1),?i2?D(BiIi?1)，且根據已知?i??i2成立所以E(S)?32?n?qiii?13i?1i?500?0.25?1000?0.1?500?0.75?1500

2D(S)??ni(?iqi(1?qi)??i2qi)=12687.5

查表的到：?E(S)D(S)?1.645所以??0.1235

二十：某保險公司規(guī)定賠款最高限額是3000元時，超過部分由投保人自己支付，隨機變量X即一筆賠款的分布函數是F(x)，而F(x)遵從于F(x)?1?e?0.001x試計算對一筆賠款應由保險人支付平均額度。

X?0

?d?F(x)?0.001e?0.001x,(x?0)解：賠款額的概率密度是f(x)??dx

?0?因此根據賠償限額的規(guī)定，我們得到

二十一：假設汽車保險的損失分布是參數(??3,??100)的帕累托分布：

1003),x?0求免賠額為20時的賠償期望值為多少？

x?100100?50解：E(X)????1?3?11001003?1E(X?20)?(1?())?15.28

3?11202303F(20)?1?()?0.4213

120E(X)?E(X?20)則賠款的期望值為E(Y)??60

1?FX(20)二十二：假設某汽車保險的損失分布是參數(??3,??100)的帕累托分布：

1003),x?0求免賠額為200時的賠償期望值為多少？F(x)?1?(x?100100?50解：E(X)????1?3?11001003?1E(X?200)?(1?())?44.44

3?1300F(x)?1