第十二章動能定理習題解答

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習題

12–1一剛度系數(shù)為k的彈簧，放在傾角為?的斜面上。彈簧的上端固定，下端與質(zhì)量為m的物塊A相連，圖12-23所示為其平衡位置。如使重物A從平衡位置向下沿斜面移動了距離s，不計摩擦力，試求作用于重物A上所有力的功的總和。

圖12-23

W?mgsin??s?k2(?st?(?st?s)2)2k?mgssin??k?sts?s2

2k??s2

2

12–2如圖12-24所示，在半徑為r的卷筒上，作用一力偶矩M=a?+b?2，其中?為轉角，a和b為常數(shù)。卷筒上的繩索拉動水平面上的重物B。設重物B的質(zhì)量為m，它與水平面之間的滑動摩擦因數(shù)為?。不計繩索質(zhì)量。當卷筒轉過兩圈時，試求作用于系統(tǒng)上所有力的功的總和。

圖12-24

4π0WM??Md???(a?+b?2)d??8aπ2?643bπ3WF???mg?4πr??4?πmgr

644?W?8aπ2?bπ3?4?πmgr?π(6πa?16π2b?3?mgr)

33

12–3均質(zhì)桿OA長l，質(zhì)量為m，圍著球形鉸鏈O的鉛垂軸以勻角速度?轉動，如圖

12-25所示。如桿與鉛垂軸的夾角為?，試求桿的動能。

圖12-25

11mmdEk?(dm)v2?(dx)(?xsin?)2?(?sin2?)x2dx

22l2llm1Ek??(?2sin2?)x2dx?ml2?2sin2?

02l6

12–4質(zhì)量為m1的滑塊A沿水平面以速度v移動，質(zhì)量為m2的物塊B沿滑塊A以相對速度u滑下，如圖12-26所示。試求系統(tǒng)的動能。

圖12-26

Ek?11m1v2?m2[(ucos30??v)2?(usin30?)2]22-1-

?11m1v2?m2(u2?v2?2uvcos30?)2211?m1v2?m2(u2?v2?3uv)22

12–5如圖12-27所示，滑塊A質(zhì)量為m1，在滑道內(nèi)滑動，其上鉸接一均質(zhì)直桿AB，桿AB長為l，質(zhì)量為m2。當AB桿與鉛垂線的夾角為?時，滑塊A的速度為vA，桿AB的角速度為?。試求在該瞬時系統(tǒng)的動能。

圖12-27

Ek?EkA?EkAB

11ll112?m1vA?m2[(vA??cos?)2?(?sin?)2]?(m2l2)?22222212111122?m1vA?m2(vA?l2?2?lvA?cos??l2?2)

2241211122?m1vA?m2(vA?l2?2?lvA?cos?)

223

12–6橢圓規(guī)尺在水平面內(nèi)由曲柄帶動，設曲柄和橢圓規(guī)尺都是均質(zhì)細桿，其質(zhì)量分別為m1和2m1，且OC=AC=BC=l，如圖12-28所示?；瑝KA和B的質(zhì)量都等于m2。如作用在曲柄上的力偶矩為M，不計摩擦，試求曲柄的角加速度。

vC?l??ABEk?EkOC?EkAB?EkA?EkB

111111222?(m1l2)?2?(2m1)vC?[(2m1)(2l)2]?2?m2(vA?vB)

2322122111?m1l2?2?m1l2?2?m1l2?2?m2?4l2?2

6323m?4m222?1l?

2?W?M?

動能定理

3m1?4m222l??M?2M??(3m1?4m2)l2

圖12-28

??vA?2lco?s??AB?2l?co?svB?2l?sin?

12–7曲柄導桿機構在水平面內(nèi)，曲柄OA上作用有一力偶矩為M的常力偶，如圖12-29所示。若初始瞬時系統(tǒng)處于靜止，且∠AOB=π2，試問當曲柄轉過一圈后，獲得多大的角速度？設曲柄質(zhì)量為m1，長為r且為均質(zhì)細桿；導桿質(zhì)量為m2；導桿與滑道間的摩擦力可

-2-

認為等于常值F，不計滑塊A的質(zhì)量。

圖12-29

Ek1?0

111Ek2?m1r2?2?m2(r?)2?(m1?3m2)r2?2

626?W?2πM?4Fr動能定理

1(m1?3m2)r2?2?2(πM?2Fr)612(πM?2Fr)23(πM?2Fr)???(m1?3m2)r2rm1?3m2

12–8半徑為R質(zhì)量為m1的均質(zhì)圓盤A放在水平面上，如圖12-30所示。繩子的一端

系在圓盤中心A，另一端繞過均質(zhì)滑輪C后掛有重物B。已知滑輪C的半徑為r，質(zhì)量為m2；重物B質(zhì)量為m3。繩子不可伸長，不計質(zhì)量。圓盤作純滾動，不計滾動摩擦。系統(tǒng)從靜止開始運動，試求重物B下落的距離為h時，圓盤中心的速度和加速度。

圖12-30

Ek1?0

311v1Ek2?m1v2?(m2r2)()2?m3v2

422r21?(3m1?m2?2m3)v2

4?W?m3gh

動能定理

1(3m1?m2?2m3)v2?m3gh4v?4m3gh

3m1?m2?2m3a?

2m3g

3m1?m2?2m3

12–9圖12-31所示鏈條傳運機，鏈條與水平線的夾角為?，在鏈輪B上作用一力偶矩為M的力偶，傳運機從靜止開始運動。已知被提升重物A的質(zhì)量為m1，鏈輪B、C的半徑均為r，質(zhì)量均為m2，且可看成均質(zhì)圓柱。試求傳運機鏈條的速度，以其位移s表示。不計鏈條的質(zhì)量。

圖12-31

Ek1?0

-3-

111vm1v2?(m2r2)()2?2222r1?(m1?m2)v2

2Ek2?s?W?M??m1gr?sin??(M?m1grsin?)

r動能定理

1s(m1?m2)v2?(M?m1grsin?)

2rv?2(M?m1grsin?)s

r(m1?m2)a?

M?m1grsin?r(m1?m2)12–10如圖12-32所示，質(zhì)量為m1的直桿AB可以自由地在固定鉛垂套管中移動，桿的下端擱在質(zhì)量為m2、傾角為?的光滑的楔塊C上，楔塊又放在光滑的水平面上。由于桿的壓力，楔塊向水平向右方向運動，因而桿下降，試求兩物體的加速度。

圖12-32

vAB?vCtan?Ek1?0

1122Ek2?m1vAB?m2vC2211222?m1vCtan??m2vC22122?(m1tan??m2)vC2?W?m1gstan?

動能定理

122(m1tan??m2)vC?m1gstan?

2m1gtan?aC?2m1tan??m2aABm1gtan2?

?aCtan??m1tan2??m2

12–11如圖12-33所示，均質(zhì)細桿長為l，質(zhì)量為m1，上端B靠在光滑的墻下，下端A用鉸鏈與圓柱的中心相連。圓柱質(zhì)量為m2，半徑為R，放在粗糙的地面上，自圖示位置由靜止開始滾動而不滑動。如桿與水平線的夾角?=45°，不計滾動摩擦，試求A點在初瞬時的加速度。

圖12-33

-4-

分析任意位置

Ek1?0

vlvA?AB?AvC??AB?lsin?22sin?31v11v2Ek2?m2vA?m1(A)2?(m1l2)(A)2

422sin?212lsin?23m1vA2?m2vA?46sin2?122?(2m1?9m2)vA12sin?mgl?W?1(sin45??sin?)

2動能定理

12mgl2(2m1?9m2)vA?1(sin45??sin?)12sin?2????對時間求導，注意?AB1212cos??m1gl?2(2m1?9m2)2vAaA?m1vA(??)???cos?312sin?6sin?2121vAm1glvA22cos?(2m1?9m2)vAaA?m1vA(?)??cos?36sin?6sin?lsin?2lsin?121cos?mg2(2m1?9m2)aA?m1vA()?1cot?46sin?3lsin?2初瞬時(??45?)，vA=0故

1mg(4m1?9m2)aA?1623m1gaA?4m1?9m2

12–12如圖12-34所示，繩索的一端E固定，繞過動滑輪D與定滑輪C后，另一端與重物B連接。已知重物A和B的質(zhì)量均為m1；滑輪C和D的質(zhì)量均為m2，且均為均質(zhì)圓盤，重物B與水平面間的動摩擦因數(shù)為?。如重物A開始時向下的速度為v0，試求重物A下落多大距離時，其速度將增加一倍？

圖12-34

2v1311122Ek1