2023屆上海市閔行區(qū)高三二模數學理試題及答案

上海市閔行區(qū)2023屆高三下學期教育質量調研（二模）數學試卷（理科）一.填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題1．．2．關于方程的解為．3．已知全集，集合，則=．4．設，向量，，且，則．5．在中，若，，，則．第7題圖6．在極坐標系中，與的交點的極坐標為．第7題圖7．用一平面去截球所得截面的面積為cm2，已知球心到該截面的距離為1cm，則該球的體積是cm3.8．復數(，且)，若是實數，則有序實數對可以是．（寫出一個有序實數對即可）9．已知關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍．10．設摩天輪逆時針方向勻速旋轉，24分鐘旋轉一周，輪上觀光箱所在圓的方程為．已知時間時，觀光箱A的坐標為，則當時（單位：分），動點A的縱坐標關于的函數的單調遞減區(qū)間是．11．若不等式對任意正實數恒成立,則正實數的最小值為．12．計算機畢業(yè)考試分為理論與操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，只有當兩部分考試都“合格”者，才頒發(fā)計算機“合格證書”．甲、乙兩人在理論考試中“合格”的概率依次為，在操作考試中“合格”的概率依次為，所有考試是否合格，相互之間沒有影響．則甲、乙進行理論與操作兩項考試后，恰有1人獲得“合格證書”的概率．13．已知數列，對任意的，當時，；當時，，那么該數列中的第10個2是該數列的第項．14．對于函數，有下列4個命題：①任取，都有恒成立；②，對于一切恒成立；③函數有3個零點；④對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍是．則其中所有真命題的序號是．二.選擇題15．下列命題中，錯誤的是（）．（A）過平面外一點可以作無數條直線與平面平行（B）與同一個平面所成的角相等的兩條直線必平行（C）若直線垂直平面內的兩條相交直線，則直線必垂直平面（D）垂直于同一個平面的兩條直線平行16．已知集合，,若“”是“”的充分非必要條件，則的取值范圍是（）．（A）（B）（C）（D）17．若曲線上存在兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是（）．（A）（B）（C）（D）18．已知等差數列的前項和為，向量，，，且，則用表示（）．（A）（B）（C）（D）三. 解答題19．BACED第19題圖如圖，在體積為的正三棱錐中，長為，為棱的中點，求BACED第19題圖（1）異面直線與所成角的大?。ńY果用反三角函數值表示）；（2）正三棱錐的表面積．20.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分．xyABCO第20題圖如圖，點A、B是單位圓上的兩點，點C是圓與軸的正半軸的交點，將銳角的終邊按逆時針方向旋轉到.xyABCO第20題圖（1）若點A的坐標為，求的值；（2）用表示，并求的取值范圍.21.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第(1)小題滿分8分，第(2)小題滿分6分．東北ABCO第21題圖···Z為了尋找馬航殘骸,我國“雪龍?zhí)枴笨瓶即?023年3月26日從港口出發(fā)，沿北偏東角的射線方向航行，而在港口北偏東角的方向上有一個給科考船補給物資的小島，海里，且.現指揮部需要緊急征調位于港口正東海里的處的補給船，速往小島裝上補給物資供給科考船．該船沿方向全速追趕科考船，并在處相遇．經測算當兩船運行的航線與海岸線圍成的三角形的面積最小時，這種補給方案最優(yōu).東北ABCO第21題圖···Z（1）求關于的函數關系式；（2）應征調位于港口正東多少海里處的補給船只，補給方案最優(yōu)？22．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)、(3)小題滿分各6分．設橢圓的中心和拋物線的頂點均為原點，、的焦點均在軸上，過的焦點F作直線，與交于A、B兩點，在、上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：（1）求，的標準方程；xyABCDF0OF第22題圖（2）若與交于C、xyABCDF0OF第22題圖（3）點是上的兩點，且，求證：為定值；反之，當為此定值時，是否成立？請說明理由.23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分8分．已知曲線的方程為，過原點作斜率為的直線和曲線相交，另一個交點記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，……，如此下去，一般地，過點作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，設點（）．（1）指出，并求與的關系式（）；（2）求（）的通項公式，并指出點列，，…，，…向哪一點無限接近？說明理由；（3）令，數列的前項和為，設，求所有可能的乘積的和．數學試卷（理科）參考答案與評分標準一.填空題1．；2．2；3．；4．；5．；6．（理）、7．(理)8．或滿足的任意一對非零實數對；9．（理）；10．（理）；11．4；12．（理）；13．39366（）14．（理）①③、．二.選擇題15．B；16．A；17．C；18．CBACED第19題圖OF三.解答題19.解：（1）過點作平面，垂足為，則為的中心，由得（理1分文2分）BACED第19題圖OF又在正三角形中得，所以……………（理2分文4分）取中點，連結、，故∥，所以就是異面直線與所成的角．（理4分文6分）在△中，，，…（理5分文8分）所以．…（理6分文10分）所以，異面直線與所成的角的大小為．……（理7分文12分）（2）由可得正三棱錐的側面積為…（理10分）所以正三棱錐的表面積為．…………（理12分）20.解：（1）由已知，………（2分）………（4分）=.………………（6分）（2）……（8分）………（10分），，……（12分）……（14分）21.（1）以O點為原點，正北的方向為y軸正方向建立直角坐標系，…（1分）則直線OZ的方程為，設點A（x0，y0），則，，即A（900，600），…（3分）又B（m，0），則直線AB的方程為：，…………（4分）東北ABCO第21題圖···東北ABCO第21題圖···yxZ…（8分）（2）由（1）知…（10分）………（12分）所以當，即時，最小，（或令，則，當且僅當時，最?。嗾髡{海里處的船只時，補給方案最優(yōu).…（14分）22．解：（1）在橢圓上，在拋物線上，：…（4分）（2）(理)=.是拋物線的焦點，也是橢圓的右焦點，①當直線的斜率存在時，設：,，聯立方程，得，時恒成立.（也可用焦半徑公式得：）………………（5分）聯立方程，得，恒成立.,……（6分）=.………………（8分）②當直線的斜率不存在時，：，此時，，，=.……………（9分）所以，的最小值為.……………（10分）（3）（理）證明：①若P、Q分別為長軸和短軸的端點，則=.（11分）②若P、Q都不為長軸和短軸的端點，設聯立方程，解得；……………（12分）同理，聯立方程，解得；（13分）反之，對于上的任意兩點，當時，設，，易得；，由得，即，亦即，…（15分）所以當為定值時，不成立……………（16分）“反之”的方法二：如果有，且不在坐標軸上，作關于坐標軸對稱的射線與交于，，顯然，與不可能同時成立…………………（16分）23.解：（1）．…………（1分）設，，由題意得．…………（2分）…（4分）（2）分別用、代換上式中的n得()………………（6分）又，，…（8分）因，所以點列，，…，，…向點無限接近（10分）（3）（理），．……（11分），.