動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律

本文格式為Word版，下載可任意編輯——?jiǎng)恿渴睾愣珊湍芰渴睾愣傻谌聞?dòng)量守恒定律和能量守恒定律

3-1一架以3.0?10ms的速率水平飛行的飛機(jī)，與一只身長(zhǎng)為0.20m、質(zhì)量為0.50kg的飛鳥相碰。設(shè)碰撞后飛鳥的尸體與飛機(jī)具有同樣的速度，而原來飛鳥對(duì)于地面的速率很小，可以忽略不計(jì)。估計(jì)飛鳥對(duì)飛機(jī)的沖擊力，根據(jù)此題的計(jì)算結(jié)果，你對(duì)高速運(yùn)動(dòng)的物體與尋常狀況下不足以引起危害的物體相碰后產(chǎn)生后果的問題有什么體會(huì)？

解：以飛鳥為研究對(duì)象，其初速為0，末速為飛機(jī)的速度，由動(dòng)量定理。

2?1F?t?mv?0,?t?l聯(lián)立兩式可得：vmv2F??2.25?105N

l飛鳥的平均沖力F'??F??2.25?10N

式中的負(fù)號(hào)表示飛機(jī)受到的沖擊力與飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)速度方向相反。

從計(jì)算結(jié)果可知F'??F??2.25?10N大于鳥所受重力的4.5萬倍。可見，沖擊力是相當(dāng)大的。因此告訴運(yùn)動(dòng)的物體與尋常狀況下不足以引起危險(xiǎn)的物體相碰，可能造成嚴(yán)重的后果。

3-2質(zhì)量為m的物體，由水平面上點(diǎn)O以初速為v0拋出，v0與水平面成仰角?。若不計(jì)空氣阻力。求：（1）物體從發(fā)射點(diǎn)O到最高點(diǎn)的過程中，重力的沖量；（2）物體從發(fā)射點(diǎn)到落回至同一水平面的過程中，重力的沖量。

解：（1）在垂直方向上，物體m到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的動(dòng)量的變化量是：

55?P1?0?mvsin?

而重力的沖擊力等于物體在垂直方向的動(dòng)量變化量：

I1??P1?0?mvsin???mv0sin?

（2）同理，物體從發(fā)射點(diǎn)到落回至同一水平面的過程中，重力的沖力等于物體豎直方向上的動(dòng)量變化量

I2??P2?mv2?mv1??mvsin??mvsin???2mvsin?

負(fù)號(hào)表示沖量的方向向下。

3-3高空作業(yè)時(shí)系安全帶是十分必要的。假使一質(zhì)量為51.0kg的人，在操作時(shí)不慎從高空跌落下來，由于安全帶保護(hù)，最終使他懸掛起來。已知此時(shí)人離原處的距離為2.0m，安全帶彈性緩沖作用時(shí)間為0.50s。求安全帶對(duì)人的平均沖力。

解：在人下落的整個(gè)過程中，重力的沖量和安全帶沖量相等，但方向相反。設(shè)人自由落體的那段時(shí)間為t

t?2hg則Img?IF?mv2?mv1?0

mg(t_0.5)?F?0.5?0，代入h?2.0m,g?9.8ms?2,m?51.0kg

F?mg(t?0.50)/0.50??1.14?103N

3-4質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作圓錐擺運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的速率為v，圓半徑為R。圓錐母線與軸線之間的夾角為?，計(jì)算拉力在一周內(nèi)的沖量。

解：建立圖3-4所示的三維直角坐標(biāo)系z(mì)根據(jù)功能原理，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一周內(nèi)，合力的沖量為kIr?IT?Ip??mv?0

所以拉力在一周內(nèi)的沖量為

i2?RK圖3-4jyIT??Ip??(?mg?T?K)?mgT為拉力，P為重力。

3-5一作斜拋運(yùn)動(dòng)的物體，在最高點(diǎn)炸裂為質(zhì)量相等的兩塊，最高點(diǎn)距離地面19.6m爆炸1.00s后，第一塊落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上，此處距拋出點(diǎn)的水平距離為1.00×102m。問其次塊落在距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)的地面上。（不計(jì)空氣阻力）

解：建立如圖3-5所示的坐標(biāo)系，爆炸后，兩碎片落地后，拋出點(diǎn)的距離分別為x1,x2，爆炸前物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t0?2hgx1t012gt12物體在最高點(diǎn)只有水平速度：V0?爆炸后，第一塊的速度為V1，經(jīng)時(shí)間t1落地，則：h?V1t1?爆炸前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒，其分量式為x方向：mV0?y方向：0?1V2x211mV2y?mV122爆炸后，其次塊作斜拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t2落地，則：

x2?x1?V2xt2

y2?h?V2yt2?落地時(shí)，y2?0

聯(lián)立所有式子，得：x2?500m

3-6A、B兩船在恬靜的湖面上平行逆向航行，當(dāng)兩船擦肩相遇時(shí)，兩船各自向?qū)Ψ狡?/p>

穩(wěn)的傳遞50kg的重物，結(jié)果是A船停下來，而B船以3.4m/s的速度繼續(xù)向前駛?cè)?。A、B

12gt22兩船原有質(zhì)量為0.5?103kg和求在傳遞重物前兩船的速度。（忽略水對(duì)船的阻1.0?103kg，力）。

解：由于忽略水對(duì)船的阻力，滿足水平方向動(dòng)量守恒定律。設(shè)兩船的速度分別為VA0、

VB0，末速度為VAt、VBt原來的質(zhì)量分別為MA、MB轉(zhuǎn)移的質(zhì)量為m

對(duì)上述系統(tǒng)I應(yīng)用動(dòng)量守恒定律：（搬出重物后A船與從B船搬入的重物為一個(gè)系統(tǒng)）

(MA?m)VA0?mVB0?MAVAt

對(duì)系統(tǒng)II應(yīng)用動(dòng)量守恒定律：（B船與從A船搬入的重物為一個(gè)系統(tǒng)）

(MB?m)VB0?mVA0?MBVBt

由上面兩式聯(lián)立解出：

VA0?VB0??MBmVBt(MB?m)(MA?m)?m2(MA?m)MBVBt(MA?m)(MB?m)?m2

將已知數(shù)據(jù)代入得

VA0??0.40m?s?1(負(fù)號(hào)表示與B船的速度方向相反)VB0?3.6m?s?1

3-7質(zhì)量為m'的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為m的物體，此人用與水平面成?角的速率v0向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體相對(duì)于人為u的水平速度向后拋出。問：由于拋出物體，他騰躍的距離增加了多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn)）

解：把人與物可視為一系統(tǒng)，當(dāng)人騰躍到最高處，向左拋出的過程中，滿足動(dòng)量守恒定律，有

(m?m')v0cos??m'v?m(v?u)mv?v0cos??um'?m人從最高點(diǎn)開始水平運(yùn)動(dòng)的距離為

S1?(v0cos??vsin?mu)?0m'?mg假使不拋物人從最高點(diǎn)開始水平運(yùn)動(dòng)的距離為

S2?v0cos??v0sin?g人騰躍后增加的距離為

?S?S1?S2?mv0sin?u

(m'?m)g3-8一質(zhì)量均勻溫和的繩豎直的懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上。假使把繩的上端放開，繩將落在桌面上。試證明：在繩下落過程中的任意時(shí)刻，作用于桌面上的壓力等于已落到桌面下繩的重量的三倍。

證：以繩子上端初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為y軸正向，繩子的線密度為?，設(shè)在t時(shí)間內(nèi)落到桌面上的繩子長(zhǎng)度為y，這段繩子所受的重力為G?mg??yg，對(duì)于t~t?dt內(nèi)下落繩子長(zhǎng)設(shè)為dy，桌面對(duì)繩子的沖力為F

由動(dòng)量定理

dPdmdy?V?V??V2?dtdtdt桌面在t?dt時(shí)間內(nèi)所受的合力為F??F?G?F??gy?V?F?3?yg?3G

證畢。

2?

由自由落體運(yùn)動(dòng)V2?2gy，帶入上式：

3-9設(shè)在地球表面附近，一初質(zhì)量為5.00?105kg的火箭，從尾部噴出氣體的速率為

2.00?103m?s?1。（1）試問：每秒噴出多少氣體，才能使火箭最初向上的加速度為4.90?10m?s?2；（2）若火箭的質(zhì)量比為6.00，求該火箭的最終速率？

解：以繩子上段初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為y軸的正向，繩子的線密度為λ，設(shè)在t時(shí)間內(nèi)落到桌子上的繩子的長(zhǎng)度為y，這段繩子所受的重力為G=mg=λyg，對(duì)于t~t+dt內(nèi)下落的繩子長(zhǎng)設(shè)為dy，桌面對(duì)繩子的沖擊力為F

由動(dòng)量守定律

F?dpdmdy?v?v??v2?dtdtdt2桌面在t+dt時(shí)間內(nèi)所受的合力為

?F?G?F??gy?v?

自由落體運(yùn)動(dòng)v?2gy，代入上式得：

2?F?3?gy?3G

證畢。

3-10設(shè)在地球表面附近，一初質(zhì)量為5.00?10kg的火箭，從尾部噴出的氣體的速率為2.00?10ms。試問：（1）每秒需噴出多少氣體，才能使火箭最初向上的加速度大小為

3?154.90ms?2；（2）若火箭的質(zhì)量比為6.00，求該火箭的最終速率。

解：（1）設(shè)火箭受氣體的沖擊力為F，則F?v0再由牛頓其次定律得：

dmdtv0dm?mg?ma(1)dt現(xiàn)在考慮m0?5.00?105kg,a0?4.9ms?2,v0?2.00?103ms?1。則燃料噴出率為：

dmm0(g?a0)??3.68?103kg?s?1dtv0（1）將a?dv代入（1）式，分開變量并積分可得：dtvmdmt?v0???gdt(2)?v0dv'm0m0所以v?v0'?v0lnm?gtm0dm?tdt?1解得：t?5m0(3)

dmm066dt由于

m1?即m06m0?將（3）式代入（2）式并考慮初始條件可得火箭的最終速率為：

vt?v0lnm?gt?2.47?103ms?1m0?2?13-11一火箭垂直向上發(fā)射，它的氣體質(zhì)量排出率恒為5.00?10m?s，其中m0是火箭最初的質(zhì)量?；鸺懦臍怏w相對(duì)于火箭的速率為5.00?10m?s。求發(fā)射后火箭速率和高度。（重力略去不計(jì)）

解：以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)建立垂直向上的坐標(biāo)軸oy，設(shè)t時(shí)刻火箭（含未排除氣體）的質(zhì)量為m，速率為v，