反對稱矩陣與正交矩陣對角矩陣的關(guān)系

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反對稱矩陣與正交矩陣、對角矩陣的關(guān)系姓名：張燦

河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2023級2班

摘要：矩陣在高等代數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，本文主要探討了反對稱矩陣與正交矩陣、對角矩陣的運算性質(zhì)，初等變換，并舉例說明和分析了反對稱矩陣與正交矩陣、對角矩陣矩陣在解決矩陣特征值計算和有關(guān)矩陣證明等問題中的應(yīng)用。通過對反對稱矩陣與正交矩陣、對角矩陣的關(guān)系的研究，為了更好地理解它們之間的一些性質(zhì)，進而可以靈活的運用矩陣建立一些數(shù)學(xué)模型來解決實際問題。

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ti2tk2T性質(zhì)1由c?d?2?2?1，則GikGik?E，故Gik是正交矩陣。

ss22性質(zhì)2由Gik定義知，Gik右乘向量T,有

ti2tk2yi?cti?dtk???s,ssttttyk??dti?ctk??ik?ik?0,

ssyj?tj故Gik右乘向量T，只改變向量T第i個和k個元素，其他元素不變。

性質(zhì)3由性質(zhì)2和矩陣乘法即可證得結(jié)論即任意矩陣A右乘Gik，AGik只改變A的第i列和k列元素;任意矩陣A左乘Gik，GikA只改變A的第i行和k行元素。引理1任何n階實非奇異矩陣,A?aij??n?n可通過左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣化為上三

角矩陣,且其對角線元素除最終一個外都是正的。

定理1設(shè)Q是n階正交矩陣

(I)若Q?1,則P可表示成若干個初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積,即

Q?Q1Q2?Qr;

(II)若Q??1,則Q可以表示成若干個初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積再右乘以矩

陣E?n,即Q?Q1Q2?QrE?n,其中Qi(i?1,2,?r)是初等旋轉(zhuǎn)矩陣。

指導(dǎo)教師：劉娟學(xué)生：張燦

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（其中E?n?1??1????）?????1????1???n?n證明：

由于Q是n階正交矩陣，根據(jù)引理1知存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣S1,S2,?Sr使

SrSr?1?S2S1Q?R這里R是n階上三角陣，而且R的對角線上的元素除最終一

個外都是正的，所以有

?S2??Sr?RQ?S1（1）

由Q是正交矩陣和（1）式得

'??Sr?R?E即R?R?E?R?Sr?S1S1（2）

?r11?設(shè)R=?????則

r12??r1n??r22??r2n?其中

????rnn??rii?0(i?1,2,?,n?1)

?r11?rR?R??12????r?1n由上式得

r22?r2n??r11???????????rnn???r12?r1n????1r22?r2n???=?1?

???????????rnn??1??指導(dǎo)教師：劉娟學(xué)生：張燦

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?0?1?rij???1???1所以

i?j,i?j,i?j?n且i?j?n且i,j?1,2,?,n?1Q?1Q??1

??E，當Q?1R??（3）

E,當Q??1???n于是由（1）（3）式得

(I)當Q?1時，Q?S1?S2??Sr?；

??Sr?E?n。(II)當Q??1時，Q?S1?S2記Qi?Si?(i?1,2,?,r)，Qi是初等旋轉(zhuǎn)矩陣，故定理1結(jié)論成立。

引理2設(shè)A?(aij)n?m，秩（A）?m，則A?Q??R1??其中Q是n階正交矩陣，R1是O??m階上三角陣，O是(n?m)?m零矩陣。

則由上結(jié)論可得以下定理：

定理2設(shè)A?(aij)n?m，秩（A則A可以通過左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣，把A?變）?m，為??R??的形式，其中R是m階上三角陣，O是(n?m)?m矩陣。?O?證明：

?R1?由引理2知A?Q??，其中Q是n階正交矩陣，R1是m階上三角陣，又

?O?根據(jù)定理1知：

指導(dǎo)教師：劉娟學(xué)生：張燦

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??Q?Qr,Q?1Q??1其中Q（，2,?r）ii?1Q?QE,Q??1?r?n?1是Givens矩陣。

(I)當Q?1時，A?Q1Q2?Qr??R1??R???令R?R，Q?QA?1r1???

O???O??R1??于是有?O?(II)當P??1時，A?Q1Q2?QrE?n??R??R?Qr??Q1?A?E?n?1????

?O??O?顯然，R是m階上三角陣，當n?m時R與R1除最終一行對應(yīng)元素絕對相等符號相反外，其余元素對應(yīng)相等。當時n?m時，

R?R1，

所以由(I)、(II)知本定理的結(jié)論成立。

?a12??a11??a1m???????aaa21222m?，????，……，????設(shè)?1??2m?????????????a???a???a???n2??n1??nm?是歐氏空間R的子空間V的一組基，記

nm?a11?aA?(?1?2??m)??21????a?n1是秩m為的n?m的矩陣。

?a1m??a22?a2m??????an2?anm??a12若A?(aij)n?m滿足定理2的條件，則存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣Q1,Q2,?,Qr，使

?R?（4）Qr??Q1?A???

?O?指導(dǎo)教師：劉娟學(xué)生：張燦

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且E???(Q1,Q2,?,Qr)(Qr?,?,Q2?,Q1?)

所以Qr?Qr?1??Q2?Q1?E?Qr??Q2?Q1??Q?（5）

由（4）（5）兩式知，對A、E做同樣的旋轉(zhuǎn)變換，在把A化為??就將E化成了Q?，而Q的前m個列向量屬于子空間V。

m?R??的同時，??O?綜上所述可得化歐氏空間的子空間V的一組基：

m?1,?2,?,?m??i?(a1i,a2i,?,ani)?,i?1,2,?,m?為一組標準正交基的方法為：

（1）由已知基?1,?2,?,?m為列向量構(gòu)成矩陣A?(aij)n?m；（2）對矩陣(A?E)施行初等旋轉(zhuǎn)變換，化A為??矩陣Q?，這里R是m階上三角陣；

（3）取Q的前m個列向量便可得V的一組標準正交基。顯然，上述方法是求子空間V的一組標準正交基的另一種方法。下面，我們通過實例說明此方法的應(yīng)用。

例求以向量?1?(?1,1,0,0)?，?2?(?1,0,1,0)?，?3?(?1,0,0,1)?為基的向量