初三銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與典型例題

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銳角三角函數(shù)：

知識(shí)點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的定義：一、銳角三角函數(shù)定義：

在Rt△ABC中，∠C=900,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，則∠A的正弦可表示為：sinA=，∠A的余弦可表示為cosA=

∠A的正切：tanA=，它們弦稱為∠A的銳角三角函數(shù)

例1．如下圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

第1題圖

①sinA?②cosA?③tanA?(斜邊(斜邊))＝______，＝______，

sinB?cosB?tanB?(斜邊(斜邊))＝______；＝______；

()＝______，

?A的鄰邊?B的對(duì)邊＝______．

()例2.銳角三角函數(shù)求值：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，則c＝______，

sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

例3．已知：如圖，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R點(diǎn)，TN＝4，MN＝3．

求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

典型例題：

類型一：直角三角形求值

31．已知Rt△ABC中，?C?90?,tanA?,BC?12,求AC、AB和cosB．

4

2．已知：如圖，⊙O的半徑OA＝16cm，OC⊥AB于C點(diǎn)，sin?AOC?求：AB及OC的長(zhǎng)．

3?4

33．已知：⊙O中，OC⊥AB于C點(diǎn)，AB＝16cm，sin?AOC??

5(1)求⊙O的半徑OA的長(zhǎng)及弦心距OC；(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．

4.已知?A是銳角，sinA?

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練：

（西城北）3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，則tanA的值為

A．8，求cosA，tanA的值175251B．C．D．25523(房山)5．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（）.

53434A．B.C.D.

5543

類型二.利用角度轉(zhuǎn)化求值：

1．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC邊上一點(diǎn)，DE⊥AB于E點(diǎn)．

DE∶AE＝1∶2．

求：sinB、cosB、tanB．

2．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點(diǎn)C(0，5)和點(diǎn)O(0，0)，與x軸的正半軸交于點(diǎn)D，B是y

軸右側(cè)圓弧上一點(diǎn)，則cos∠OBC的值為（）A．

3314B．C．D．

2552yCOABDx第8題圖3.（2023·孝感中考）如圖，角?的頂點(diǎn)為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上有一點(diǎn)P（3，4），則sin??．

4.（2023·慶陽中考）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10cm，DE⊥AB，sinA?的面積=cm2．

5.（2023·齊齊哈爾中考）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，若⊙O的半徑為

3，則這個(gè)菱形53，AC?2，則sinB的值是（）2

A．

2334B．C．D．32436.如圖4，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處．已知AB?8，BC?10，AB=8,則tan∠EFC的值為()

ADEＡ．

34Ｂ．43Ｃ．

35Ｄ．

4B5FC

7.如圖6，在等腰直角三角形?ABC中，?C?90?，AC?6，D為AC上一點(diǎn)，若

tan?DBA?1，則AD的長(zhǎng)為()5A．2B．2C．1D．22

8.如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分線度數(shù)及邊BC、AB的長(zhǎng).

AAD=

163求∠B的3CDB

圖6

類型三.化斜三角形為直角三角形例1（2023?安徽）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的長(zhǎng)．

例2．已知：如圖，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，sinA?(1)求AB邊上的高CD；(2)求△ABC的面積S；(3)求tanB．

1?3例3．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．

求：sin∠ABC的值．

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

1．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形．若AB=2，求△ABC的周長(zhǎng)．（結(jié)果保存根號(hào)）

2．已知：如圖，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面積等于9，求sinB．

3.ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，則△ABC的面積是

A.23cm2C.63cm2

B.43cm2

D.12cm2

類型四：利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形

例1（2023?內(nèi)江）如下圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（）A．125510B．C．D．25510

對(duì)應(yīng)練習(xí)：

1．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA=_______.

ABC

2．如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)絡(luò)線的交點(diǎn)處，若將?ABC圍著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

?AC'B'，則tanB'的值為

A.

3．正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則tan∠AOB的值是（）

5A．

5

OB111B.C.D.1432251

B.C.D.2

52

A

特別角的三角函數(shù)值

30°45°60°銳角?sin?cos?tan?

當(dāng)時(shí)，正弦和正切值隨著角度的增大而余弦值隨著角度的增大而

例1．求以下各式的值．

（昌平）1）.計(jì)算：2cos30??2sin45??tan60?．

（朝陽）2）計(jì)算：tan60??sin45??2cos30?.

（2023·黃石中考）計(jì)算：31+(2π－1)0－

－

23tan30°－tan45°3

?3?1??2cos60??sin45???tan30??(石景山)4．計(jì)算：

?．22??

(通縣)5．計(jì)算：

0tan45??sin30?；

1?cos60?

例2．求適合以下條件的銳角??．

(1)cos??

(3)sin2??

0（5）已知??為銳角，且tan(??30)?12(2)tan??3322

(4)6cos(??16?)?33

3，求tan?的值?

???

（?）在?ABC中，若cosA?數(shù)??

???

例3.三角函數(shù)的增減性1．已知∠A為銳角，且sinA例4.如圖，小聰用一塊有一個(gè)銳角為30?的直角三角板測(cè)量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距33米，小聰身高AB為1.7米，求這棵樹的高度.

ABCDE

例5．已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)C的俯角為30°，測(cè)得岸邊點(diǎn)D的俯角為45°，又知河寬CD為50m．現(xiàn)需從山頂A到河對(duì)岸點(diǎn)C拉一條筆直的纜繩AC，求山的高度及纜繩AC的長(zhǎng)(答案可帶根號(hào))．

例5．（2023?泰安）如圖，為測(cè)量某物體AB的高度，在D點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°，朝物體AB方向前進(jìn)20米，到達(dá)點(diǎn)C，再次測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，則物體AB的高度為（）

A．10米B．10米C．20米D．米例6．（2023?益陽）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速．如圖，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在A處，離益陽大道的距離（AC）為30米．這時(shí)，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測(cè)得此車從B處行駛到C處所用的時(shí)間為8秒，∠BAC=75°．

（1）求B、C兩點(diǎn)的距離；

（2）請(qǐng)判斷此車是否超過了益陽大道60千米/小時(shí)的限制速度？

（計(jì)算時(shí)距離確切到1米，參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，

3≈1.732，60千米/小時(shí)≈16.7米/秒）

類型四.坡度與坡角

例．（2023?廣安）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：3，堤壩高BC=50m，則應(yīng)水坡面AB的長(zhǎng)度是（）

A．100mB．1003mC．150mD．503m

類型五.方位角

1．已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點(diǎn)A處測(cè)得燈塔M在北偏西30°，貨輪以每小時(shí)20海里的速度航行，1小時(shí)后到達(dá)B處，測(cè)得燈塔M在北偏西45°，問該貨輪繼續(xù)向北航行時(shí)，與燈塔M之間的最短距離是多少?(確切到0.1海里，3?1.732)

2．（2023?恩施州）新聞鏈接，據(jù)[僑報(bào)網(wǎng)訊]外國(guó)炮艇在南海追襲中國(guó)漁船被中國(guó)漁政逼退2023年5月18日，某國(guó)3艘炮艇追襲5條中國(guó)漁船．剛剛完成黃巖島護(hù)漁任務(wù)的“中國(guó)漁政310〞船人船未歇馬上追往北緯11度22分、東經(jīng)110度45分附近海疆護(hù)漁，保護(hù)100多名中國(guó)漁民免受財(cái)產(chǎn)損失和人身傷害．某國(guó)炮艇發(fā)現(xiàn)中國(guó)目前最先進(jìn)的漁政船正在疾速馳救

中國(guó)漁船，馬上掉頭離去．（見圖1）

解決問題

如圖2，已知“中國(guó)漁政310〞船（A）接到陸地指揮中心（B）命令時(shí)，漁船（C）位于陸地指揮中心正南方向，位于“中國(guó)漁政310〞船西南方向，“中國(guó)漁政310〞船位于陸地指揮中心南偏東60°方向，AB=

海里，“中國(guó)漁政310〞船最大航速20海里/時(shí)．根據(jù)以上信息，

請(qǐng)你求出“中國(guó)漁政310〞船趕往出事地點(diǎn)需要多少時(shí)間．

綜合題：

三角函數(shù)與四邊形：

（西城二模）1．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=

6

．3

(1)求BD的長(zhǎng)；(2)求AD的長(zhǎng)．

（2023東一）18．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．

（1）求證：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=

三角函數(shù)與圓：

243，sin?BAE?，求CF的長(zhǎng)．555)和點(diǎn)O(0，0)，與x軸的正半軸交于點(diǎn)D，B是y1．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點(diǎn)C(0，軸右側(cè)圓弧上一點(diǎn)，則cos∠OBC的值為（）A．

3314B．C．D．

2552yCOABDx第8題圖

（延慶）19.已知：在⊙O中,AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點(diǎn)D,

C(1)求證：∠AOD=2∠C(2)若AD=8，tanC=

4，求⊙O的半徑。3D

BAO

（2023朝陽期末）21.如圖，DE是⊙O的直徑，CE與⊙O相切，E為切點(diǎn).連接CD交⊙O于點(diǎn)B，在EC上取一個(gè)點(diǎn)F，使EF=BF.（1）求證:BF是⊙O的切線;（2）若cosC?

作業(yè)：

（昌平）1．已知sinA?4,DE=9，求BF的長(zhǎng)．5EODBFC1，則銳角A的度數(shù)是2A．75?B．60?C．45?D．30?（西城北）2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，則tanA的值為

A．5251B．C．D．25523(房山)3．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（）.

53434A．B.C.D.

5543

B3(大興)4.若sin??，則銳角?＝.

2(石景山)1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2，則tanB的值是

A．

（豐臺(tái)）5．將∠α放置在正方形網(wǎng)格紙中，位置如下圖，則tanα的值是

AC23B．32C．255D．21313αA．

2551B．2C．D．

522344D.

5B.

(大興)5.△ABC在正方形網(wǎng)格紙中的位置如下圖，則sin?的值是354C.

3A.

(通縣)4．如圖，在直角三角形ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為m，?B?40，

則直角邊BC的長(zhǎng)是（）A．msin40C．mtan40

（通州期末））1．如圖，已知P是射線OB上的任意一點(diǎn)，PM⊥OA于M，且OM:OP=4:5，則cosα的值等于（）A．

（西城）6．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，若OB長(zhǎng)為10，cos?BOD?

B．mcos40D．

m

tan40Pα第1題圖B4334B．C．D．

3545OMA3，則AB的長(zhǎng)是5A.20B.16C.12D.8

4，那么tanA的值是53534A．B．C．D．

53437.在Rt△ABC中，∠C=90°，假使cosA=

311．如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ADC=90°，若sinA=，則cos∠BCD的值為．

5

13.計(jì)算：2cos30??2sin45??tan60?

CADB

13．計(jì)算2sin60??2cos45??3tan30??tan45?.

13．計(jì)算：2sin60?4cos30+sin45?tan60．

14.如圖，小聰用一塊有一個(gè)銳角為30?的直角三角板測(cè)量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距33米，小聰身高AB為1.7米，求這棵樹的高度.

15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=46，b=122.解這個(gè)直角三角形

20.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分線，tanB=

C

D

BA

（延慶）19.已知：在⊙O中,AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點(diǎn)D,

C(3)求證：∠AOD=2∠C

ABDEC2

CD1，求的值．2BD(4)若AD=8，tanC=

4，求⊙O的半徑。3OD

（延慶期末）19．如圖，某同學(xué)在樓房的A處測(cè)得荷塘的一端AB處的俯角為30?，荷塘另一端D處C、B在同一條直線上，已知AC?32米，CD?16米，求荷塘寬BD為多少米？（結(jié)果保存根號(hào)）

B18.（6分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心的圓

經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)D，已知2∠A+∠B=90?．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若OA=6，BC=8，求BD的長(zhǎng)．（1）證明：

（2）解：（西城）sin∠CBD=

18．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔100海

里的A處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處.

（1）B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？

（2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長(zhǎng)線上，距離燈塔200

海里的O處．已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里，進(jìn)入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險(xiǎn)．請(qǐng)判斷若海輪到達(dá)B處是否有觸礁的危險(xiǎn)，并說明理由．

CAO第18題圖DB15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AC邊上．若DB=6，AD=

1CD，22，求AD的長(zhǎng)和tanA的值．3[來源學(xué)科網(wǎng)]

22．已知，如圖，在△ADC中，?ADC?90?，以DC為直徑作半圓O，交邊AC于點(diǎn)F