高考數(shù)學(xué)試題

2004年高考試題全國(guó)卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是切合題目要求的．（1）已知會(huì)合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，則會(huì)合M∩N＝（A）{x|x＜－2}（B）{x|x＞3}（C）{x|－1＜x＜2}（D）{x|2＜x＜3}（2）limx2x2＝n1x24x5A）12（3）設(shè)復(fù)數(shù)ω＝－1＋322

（B）1（C）2（D）154i，則1＋ω＝（A）–ω（B）ω2（C）1（D）12（4）已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1對(duì)于直線y＝－x對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程為（A）(x＋1)2＋y2＝1（B）x2＋y2＝1（C）x2＋(y＋1)2＝1（D）x2＋(y－1)2＝1（5）已知函數(shù)y＝tan(2x＋φ)的圖象過(guò)點(diǎn)(,0)，則φ能夠是12（A）－（B）（C）－12（D）6612（6）函數(shù)y＝－ex的圖象（A）與y＝ex的圖象對(duì)于y軸對(duì)稱(chēng)（B）與y＝ex的圖象對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（C）與y＝e－x的圖象對(duì)于y軸對(duì)稱(chēng)（D）與y＝e－x的圖象對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（7）已知球O的半徑為1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且每?jī)牲c(diǎn)間的球面距離為，則球心O到平面ABC的2距離為（A）1（B）3（C）2（D）63333（8）在座標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A(1，2)距離為1，且與點(diǎn)B(3，1)距離為2的直線共有（A）1條（B）2條（C）3條（D）4條（9）已知平面上直線l的方向向量e(4,3)，點(diǎn)O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分別是O1和A1，則O1A1＝e，55此中＝（A）11（B）－11（C）2（D）－255（10）函數(shù)y＝xcosx－sinx在下邊哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（A）(，3)（B）(，2)（C）(3，5)（D）(2，3)2222（11）函數(shù)y＝sin4x＋cos2x的最小正周期為（A）（B）（C）（D）242（12）在由數(shù)字1，2，3，4，5構(gòu)成的全部沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有（A）56個(gè)（B）57個(gè)（C）58個(gè)（D）60個(gè)二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．（13）從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)拿出2個(gè)球，設(shè)此中有ξ個(gè)紅球，則隨機(jī)變量ξ的概率散布為ξ012Px0，（14）設(shè)x，y知足拘束條件xy，則z＝3x＋2y的最大值是．2xy1，（15）設(shè)中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線2x2－2y2＝1有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是．（16）下邊是對(duì)于四棱柱的四個(gè)命題：①如有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；②若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；④若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱，此中，真命題的編號(hào)是(寫(xiě)出全部真命題的編號(hào))．三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．（17）(本小題滿分12分)已知銳角三角形ABC中，sin(A＋B)＝3，sin(A－B)＝1．55(Ⅰ)求證：tanA＝2tanB；(Ⅱ)設(shè)AB＝3，求AB邊上的高．（18）(本小題滿分12分)已知8個(gè)球隊(duì)中有3個(gè)弱隊(duì)，以抽簽方式將這8個(gè)球隊(duì)分為A、B兩組，每組4個(gè)．求(Ⅰ)A、B兩組中有一組恰有兩個(gè)弱隊(duì)的概率；(Ⅱ)A組中起碼有兩個(gè)弱隊(duì)的概率．（19）(本小題滿分12分)數(shù)列{ann2n1n＋1nn(Ⅰ)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列；nn＋1n(Ⅱ)S＝4a．（20）(本小題滿分12分)．如圖，直三棱柱ABC-A111中，∠ACB＝o，AC＝1，CB＝2，側(cè)棱AA111B的兩條對(duì)BC90＝1，側(cè)面AAB角線交點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為M．(Ⅰ)求證：CD⊥平面BDM；(Ⅱ)求面BBD與面CBD所成二面角的大小．1（21）(本小題滿分12分)給定拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C訂交于A、B兩點(diǎn)．(Ⅰ)設(shè)l的斜率為1，求OA與OB夾角的大??；(Ⅱ)設(shè)FB＝AF，若∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍．(22)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx．求函數(shù)f(x)的最大值；ab(2)設(shè)0＜a＜b，證明：0＜g(a)＋g(b)－2g()＜(b－a)ln2．22004年高考試題全國(guó)卷2理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分．（1）C（2）A（3）C（4）C（5）A（6）D（7）B（8）B（9）D（10）B（11）B（12）C二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分．（13）0.1，0.6，0.3（14）5（15）122（16）②④x＋y＝13,sin(A-B)=1217．(I)證明：∵sin(A+B)=55sinAcosB3sinAcosB2cosAsinB5tanA∴5，∴tanA2tanB.112sinAcosBcosAsinBtanBcosAsinB55(II)解：∵<A+B<π,sin(A3,∴cos(AB)4tan(AB)3B),4255即tanAtanB3,將tanA2tanB代入上式并整理得2tan2B4tanB101tanAtanB426,由于B為銳角，所以tanB262tanB=2+6解得tanB2,∴tanA2設(shè)AB上的高為CD，則AB=AD+DB=CDCD3CD，由AB=3得CD=2+6tanAtanB26故AB邊上的高為2+618．(I)解：有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率2C32C526C847(II)解：A組中起碼有兩支弱隊(duì)的概率C32C52C33C511C84C84219．（I）證：由a=1,an+1=S(n=1,2,3，)，1n2nnS2知a22111S24a12,S11,∴22=1S=3a,221S11又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，),則Sn+1-Sn=n2Sn(n=1,2,3，)，∴nSn+1=2(n+1)Sn,n列{Sn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列n（II）解：由（I）知，Sn1Sn1(n2)，于是Sn+1=4(n+1)·Sn1n)n11nn1又a2=3S1=3,則S2=a1+a2=4=4a1,所以對(duì)于隨意正整數(shù)n≥1都有ASn+1=4a.n20．解法一：(I)如圖，連接CA、AC、CM，則CA=2，D111∵CB=CA1=2，∴△CBA1為等腰三角形，C又知D為其底邊A1B的中點(diǎn)，∴CD⊥A1B，BB'

Sn11SnnA'BC'M

2(n=1,2,3，).故數(shù)AA'DCC'MB'∵A1C1=1，C1B1=2，∴A1B1=3，又BB1=1，∴A1B=2，∵△A1CB為直角三角形，1D為A1B的中點(diǎn)，CD=2A1B=1，CD=CC1又DM=11=2，DM=C111°,即2AC2M，∴△CDN≌△CCM，∠CDM=∠CCM=90由于A1B、DM為平面BDM內(nèi)兩條訂交直線，所以CD⊥平面BDM設(shè)F、G分別為BC、BD的中點(diǎn)，連接B1G、FG、B1F，則FG∥CD，F(xiàn)G=1CD∴FG=1，F(xiàn)G⊥BD.22

CD⊥DM，AA'由側(cè)面矩形BB1A1A的對(duì)角線的交點(diǎn)為D,知BD=B1D=1A1B=1，2所以△BBD是邊長(zhǎng)為1的正三角形，于是BG⊥BD，BG=3，

CD111∴∠B1GF是所求二面角的平面角2

F

C'GM又B1F2=B1B2+BF2=1+(2)322=.2∴cos∠B1GF=B1G2FG2B1F2(3)2(1)2332222B1G?FG2?3?1322即所求二面角的大小為π-arccos33解法二：如圖以C為原點(diǎn)成立坐標(biāo)系(I):B(2,0,0),B1(2,1,0),A1(0,1,1),D(2,1,1),222M(2,1,0),CD(2,1,1),A1B(2,-1,-1),2222DM110,CD?DM0,(0,,-),CD?A1B2CD⊥A1B,CD⊥DM.由于A1B、DM為平面BDM內(nèi)兩條訂交直線，所以CD⊥平面BDM

BB'zAA'DCC'yGMFBB'X(II):設(shè)BD中點(diǎn)為G，連接B1G，則G(32,1,1),BD(-2,1,1)，444222B1G(2,3,1),∴BD?B1G01，又CD⊥BD，∴CD與B1G的夾角等于所求二面角的平面角，444，∴BD⊥BGcosCD?B1G3.|CD|?|B1G|3所以所求二面角的大小為π-arccos3321．解：（I）C的焦點(diǎn)為F(1,0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為y=x-1.將y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則有x1+x2=6,x1x2=1，OA?OB=(x,y)·(x,y)=xx+yy=2xx-(x+x)+1=-3.112212121212|OA|?|OB|2222x1x2[x1x24(x1x2)16]41x1y1?x2y2cos<OA,OB>=OA?OB341.|OA|?|OB|41所以O(shè)A與OB夾角的大小為-arccos34141.解：(II)由題設(shè)知FBAF得：(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1)，即x21(1x1)(1)y2y1(2)由(2)得y22212,∵y121222221(3)=λy=4x,y=4x,∴x=λx聯(lián)立(1)(3)解得x2=λ.依題意有λ>0.∴B(λ,2)或B(λ,-2)，又F(1,0),得直線l的方程為(λ-1)y=2(x-1)或(λ-1)y=-2(x-1)當(dāng)λ∈[4,9]時(shí)，l在y軸上的截距為2或-211由2=22，可知21在[4，9]上是遞減的，111∴324，-4-21341334直線l在y軸上截距的變化范圍是[4,3][3,4]344322．(I)解：函數(shù)f(x)的定義域是(-1,∞),f'(x)=11.令f'(x)=0，解得x=0，當(dāng)-1<x<0時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x>0時(shí),f'(x)<0，1x又f(0)=0，故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f(x)獲得最大值，最大值是0(II)證法一：g(a)+g(b)-2g(ab)=alna+blnb-(a+b)lnab=aln2abln2b.22abab由(I)的結(jié)論知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0)，由題設(shè)0<a<b,得baab0,所以0,12b2aln2aln(1ba)ba,ln2bln(1ab)ab.ab2a2aab2b2b所以aln2abln2b>-baab0.abab22又2aab,aln2abln2b<alnabbln2b(ba)ln2b(ba)ln2.ab2babab2babab綜上0<g(a)+g(b)-2g(ab)<(b-a)ln2.2(II)證法二：g(x)=xlnx,g'(x)lnx1,設(shè)F(x)=g(a)+g(x)-2g(ax),2則F'(x)g'(x)2[g(ax)]'lnxlnax.當(dāng)0<x<a時(shí)F'(x)0,所以F(x)