交通大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一學期期末考試試卷5答案

2014-2015學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學期末考試一試卷（A卷）答案Page1of8交通大學2014~2015學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試一試卷（A卷）一．（此題滿分10分）某學生無心將自己的鑰匙扔掉了，他記得鑰匙丟在教室里，宿舍里，操場上，道路上的概率分別為0.3，0.25，0.35和0.1．假如鑰匙丟在教室里，能被找到的概率為0.45；假如鑰匙丟在宿舍里，能被找到的概率為0.67；假如鑰匙丟在操場上，能被找到的概率為0.27；假如鑰匙丟在道路上，能被找到的概率為0.12．⑴求該學生找到鑰匙的概率（6分）；⑵假如該學生找到了鑰匙，求他在操場上找到的概率（4分）．解：設(shè)A1“鑰匙丟在教室里”，A2“鑰匙丟在宿舍里”，A3“鑰匙丟在操場上”，A4“鑰匙丟在道路上”．“找到鑰匙”．所求概率為PB．由全概率公式，得4PBPAkPBAkk10.30.450.250.670.350.270.10.120.409．⑵所求概率為PA3B，由Bayes公式，得PA3PBA3PA3B4PAkPBAkk10.350.270.4090.2310513447．二．（此題滿分9分）某射手對同一目標進行獨立射擊，他每次射擊命中目標的概率為0.24，求該射手起碼要射擊多少次，第1頁共8頁2014-2015學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學期末考試一試卷（A卷）答案Page2of8才能使起碼命中一次目標的概率在98%以上？解：假定該射手進行n次射擊，能起碼命中一次目標．設(shè)B“n次射擊起碼命中一次目標”，A“一次射擊命中目標”，則PA0.24．每次射擊能否命中目標相當于做一次Bernoulli試驗，則n次獨立射擊相當于做一n重Bernoulli試驗．所以有PB1PB110.24n10.76n．由題設(shè)，PB10.76n0.98，即0.76n0.02，取對數(shù)，得nln0.76ln0.02，ln0.02所以有n14.25472952，ln0.76所以，需起碼進行15次射擊，才能使起碼命中一次目標的概率在98%以上．三．（此題滿分9分）從一副52張撲克牌中隨意拿出5張．設(shè)X：拿出的5張牌中的“黑桃”張數(shù)．⑴求X的散布律（5分）；⑵寫出X的散布函數(shù)Fx（4分）．解：⑴X的取值為0,1,2,3,4,5，而且PXkC13kC395k，k0,1,2,3,4,5．C525或許為X012345P0.2215340.4114200.2742800.0815430.0107290.000494⑵隨機變量X的散布函數(shù)為第2頁共8頁2014-2015學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學期末考試一試卷（A卷）答案Page3of80x00.2215340x10.6329541x2Fx0.9072342x3．0.9887773x40.9995064x51x5四．（此題滿分9分）設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為fxax2bxc0x10其余，而且已知EX0.5，varX0.15，試求系數(shù)a、b、c．解：11a1b因為1fxdxax2bxcdxc，03211a1b1c，0.5EXxfxdxxax2bxcdx0432又EX2varXEX20.150.520.4，所以有0.4EX2x2fxdx1x2ax21a1b1c，bxcdx05431a1bc132解線性方程組，得1a1b1c0.5．解此方程組，得a12，b12，c3．43211b10.4a4c53五．（此題滿分9分）某種型號的電子元件的使用壽命X（單位：小時）擁有以下的密度函數(shù)：px1000x1000x2．0x1000⑴求某只電子元件的使用壽命大于1500小時的概率（4分）；⑵已知某只電子元件的使用壽命大于1500小時，求該元件的使用壽命大于2000小時的概率（5分）．第3頁共8頁2014-2015學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學期末考試一試卷（A卷）答案Page4of8解：⑴設(shè)A電子元件的使用壽命大于1500小時，則PAPX1500pxdx100010002x2dxx．1500150015003⑵設(shè)B電子元件的使用壽命大于2000小時，則所求概率為PBA．PBAPABPX1500,X2000PX2000．PAPAPAPX2000pxdx100010001而x2dxx，2000200020002PX200013所以，2PBA2．PA43六．（此題滿分9分）設(shè)二維隨機變量X,Y的結(jié)合密度函數(shù)為fx,y10x1,0y2x0其余求：⑴隨機變量Y邊沿密度函數(shù)fYy（5分）；⑵方差DY（4分）．解：解：⑴fYyfx,ydx．所以，當y0或許y2時，fYy0．1y21y．所以，10y2．當0y2時，fYyfx,ydxdxfYy2y20其余2⑵2y2．2y5EYyfYydy1EY2y2fYydy21y()dy3y()dy302022所以，DYEY2EY25211．339第4頁共8頁2014-2015學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學期末考試一試卷（A卷）答案Page5of8七．（此題滿分8分）旅客乘電梯由基層到電視塔頂層參觀，電梯于每個整點的第5分鐘、第25分鐘和第55分鐘從電梯基層起行，假定一位乘客于上午8時第X分抵達電梯基層候梯處，且隨機變量X聽從區(qū)間0，60上的平均散布，試求該乘客等待時間的數(shù)學希望．解：1X的密度函數(shù)為fXx0x6060其余設(shè)Y：旅客的等待時間．則X與Y之間的函數(shù)關(guān)系為5X0x525X5x25YgXX25x555560X555x60所以，EYEgXgxfXxdx160gxdx600160

52555605xdx25xdx55xdx65xdx11.67052555八．（此題滿分8分）設(shè)G是由XY軸及直線2xy20所圍成的三角形地區(qū)，二維隨機變量X,Y在地區(qū)G內(nèi)軸、聽從平均散布．求X與Y的有關(guān)系數(shù)X,Y．解：因為地區(qū)G的面積為1，所以X,Y的結(jié)合密度函數(shù)為fx,y1x,yG0x,y．G22x當0x1時，fXxfx,ydydy21x，0所以，fXx21x0x1．0其余第5頁共8頁2014-2015學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學期末考試一試卷（A卷）答案Page6of81y2y，當0y2時，fYyfx,ydxdy102所以，fYy1y0y2．2其余1x21xdx2111，EXxfXxdx02332ydy2，EYyfYydyy102312111，EX2x2fXxdxx221xdx03462y2，EY2y2fYydyy21dy0231121，所以，varXEX2EX2631822，varYEY2EY222339122x1y222xEXYxyfx,ydxdydxxydydx，x0002011xdx21211，2x1x2dx2x32x2004326所以，covX,YEXYEXEY1121．633181X,Y

covX,Y181．varXvarY122189九．（此題滿分9分）假定某電視節(jié)目在S市的收視率為15%，在一次收視率檢查中，從該市的居民中隨機抽取5000戶，并以收視頻次作為收視率，試用中心極限制理計算：二者之差的絕對值小于1%的概率．附：標準正態(tài)散布N0,1散布函數(shù)x的某些數(shù)值：第6頁共8頁2014-2015學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學期末考試一試卷（A卷）答案Page7of8x1.951.961.971.981.99x0.97440.97500.97560.97610.9767解：設(shè)5000表示檢查的5000戶居民中收看該電視節(jié)目的戶數(shù)，則5000~B5000,0.15．由題設(shè)，所求概率為P50000.150.01．5000P50000.150.01P50000.1550000.015000500050000.150.8550000.150.8520.015000150000.150.8521.98120.976110.9522．十．（此題滿分10分）設(shè)整體X的密度函數(shù)為x10x1，fx0其余此中0是未知參數(shù)，X1,X2,,Xn是從該整體中抽取的一個樣本．求的最大似然預計量．解：似然函數(shù)為nn1n1Lfxi2x1x2xn1,i1,,n．xi0xii1i1所以，n1lnx1x2xn，0xi1,i1,,n．lnLln2所以，dn11xn．lnL2lnx1x2d2令dlnL0，得n11lnx1x2xn0．d22第7頁共8頁2014-2015學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學期末考試一試卷（A卷）答案Page8of8n2n2解方程，得．所以的最大似然預計量為?．lnx1x2lnX1X2Xnxn十一