江蘇省2015年高考理科數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)講練5個(gè)專(zhuān)題14份

目錄

第1講集合與常用邏輯用語(yǔ).................................................1

第2講不等式與線性規(guī)劃...................................................10

第1講函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)....................................24

第2講函數(shù)的應(yīng)用.........................................................37

第3講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.......................................................50

第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)..............................................66

第2講三角變換與解三角形................................................81

第3講平面向量..........................................................94

第I講等差數(shù)列和等比數(shù)列...............................................109

第2講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用...............................................121

第3講推理與證明........................................................138

第1講空間兒何體........................................................155

第2講空間中的平行與垂直................................................169

第3講立體幾何中的向量方法.............................................186

1專(zhuān)題-

7_I集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式

第1講集合與常用邏輯用語(yǔ)

考情解讀（1）集合是高考必考知識(shí)點(diǎn)，經(jīng)常以不等式解集、函數(shù)的定義域、值域?yàn)楸尘翱?/p>

查集合的運(yùn)算，近幾年也出現(xiàn)一些集合的新定義問(wèn)題.（2）高考中考查命題的真假判斷或命

題的否定或充要條件的判斷.

主干?知識(shí)梳理瞄準(zhǔn)高考

1.集合的概念、關(guān)系

(1)集合中元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性，求解含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)要根據(jù)互異性

進(jìn)行檢驗(yàn).

(2)集合與集合之間的關(guān)系：BJCnAJC,空集是任何集合的子集，含有〃個(gè)元素的

集合的子集數(shù)為2",真子集數(shù)為2"-1,非空真子集數(shù)為2"—2.

2.集合的基本運(yùn)算

(1)交集：且xe團(tuán).

(2)并集：A^B={x\x^A,或xG8}.

(3)補(bǔ)集:［』={x|xW。，且x€/}.

重要結(jié)論：4cB=&

AUB^A^B^A.

3.四種命題及其關(guān)系

四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，遇到復(fù)雜問(wèn)題正面解決

困難的，采用轉(zhuǎn)化為反面情況處理.

4.充分條件與必要條件

若p今夕，則p是q的充分條件，g是p的必要條件；若p0q,則p,g互為充要條件.

5.基本邏輯聯(lián)結(jié)詞

(1)命題pVq，只要p,q有一真，即為真；命題pAq,只有p,q均為真，才為真；和

p為真假對(duì)立的命題.

(2)命題p'q的否定是p)八?);命題p/\q的否定是p)V(^q).

6.全稱(chēng)量詞與存在量詞

)u

“VxWM,p(x)”的否定為“mx()WM,㈱以劭)”；3x0eM,p(xoy的否定為\/x&M,

睇p(x)".

熱點(diǎn)?分類(lèi)突破解析高考

熱點(diǎn)一集合的關(guān)系及運(yùn)算

例1(1)(2014?四川改編)已知集合4={XM-X-2W0},集合B為整數(shù)集，則AHB=

(2)(2013?廣東改編)設(shè)整數(shù)〃)4,集合X={1,2,3,…，〃},令集合S={(x,y,z)|x,y,zGX,

且三條件才勺<2,y<z<x,恰有一個(gè)成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中，則下列

命題正確的是.

①。，z,w)^S,(x,y,w)^S；

②(y,z,w)^S,(x,y,w)G.S；

③(y,z,w)^S,(x,y,w)^St

④(y,z,w)^S,(x,y,w)^S.

思維啟迪明確集合的意義，理解集合中元素的性質(zhì)特征.

答案(1){-1,0,1,2}(2)@

解析(1)因?yàn)椤?{x|f-x-2W0}={x|-1WXW2},又因?yàn)榧?為整數(shù)集，所以集合NC8

={-1,0,1,2).

(2)因?yàn)?x,y,z)和(z,w,x)都在S中,不妨令x=2,y=3,z=4,w=1,則(y,z,a?)=(3,4,1)GS,

(x,y,iv)=(2,3,1)ES,故(y,z,w)^S,(x,y,w)^S的說(shuō)法均錯(cuò)誤，可以排除①③④，故

②正確.

思維升華(1)對(duì)于集合問(wèn)題，抓住元素的特征是求解的關(guān)維，要注意集合中元素的三個(gè)特

征的應(yīng)用，要注意檢驗(yàn)結(jié)果.

(2)對(duì)集合的新定義問(wèn)題，要緊扣新定義集合的性質(zhì)探究集合中元素的特征，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

熟悉的知識(shí)進(jìn)行求解，也可利用特殊值法進(jìn)行驗(yàn)證.

變式訓(xùn)練1(1)已知集合”={1,2,3},N={xeZ|lvx<4},則MCN=.

(2)(2013?山東改編)已知集合/={0,1,2},則集合B^{x-y\x^A,yG4}中元素的個(gè)數(shù)是

答案⑴{2,3}(2)5

解析(1)集合N是要求在(1,4)范圍內(nèi)取整數(shù)，所以N={xWZ|lvx<4}={2,3},所以"CN

={2,3}.

(2)x-yG{-2,-1,0,1,2).

熱點(diǎn)二四種命題與充要條件

例2(1)(2014?天津改編)設(shè)“，6GR,貝I」“a>b”是“。間>旬6|”的條件.

(2)(2014?江西改編)下列敘述中正確的是.

①若b,cGR,則“nF+bx+c》?！钡某浞謼l件是“〃-4acW0”；

un

②若a,h,cGR,則“而22助2”的充要條件是a>c；

③命題”對(duì)任意xGR,有的否定是“存在xCR,有；

④/是一條直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，若/J_a,I邛,則a〃夕.

思維啟迪要明確四種命題的真假關(guān)系；充要條件的判斷，要準(zhǔn)確理解充分條件、必要條件

的含義.

答案(1)充要⑵④

解析⑴當(dāng)X0時(shí)，顯然有a>b^a\a\>b\b\；

當(dāng)6=0時(shí)，顯然有a>b<^a\a\>b\h\;

當(dāng)6>0時(shí)，有冏>|臼，所以a>b=a|a|>6|6|.

綜上可知a>b^a\a\>b\b\.

(2)由于"若/-4acWO,則ax^+bx+cNO"是假命題，所以ilax2+bx+c^O"的充分條件

不是“y一4/近0"，①錯(cuò)；

因?yàn)閍b2>cb2,且戶>0,所以a>c.而a>c時(shí)，若y=0,則a^cb2不成立，由此知uabL>cbL,'

是“a>c”的充分不必要條件，②錯(cuò)；”對(duì)任意xWR,有feo”的否定是“存在xCR,有

x2<0w,③錯(cuò)；由/_La,I邛,可得a〃6理由：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，④正

確.

思維升華(1)四種命題中，原命題與逆否命題等價(jià)，逆命題與否命題等價(jià)；(2)充要條件的

判斷常用“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，判斷一個(gè)命題為假可以借助反例.

變式訓(xùn)練2(1)命題“若a,6都是偶數(shù)，則a+6是偶數(shù)”的逆否命題是.

⑵“10g3論唯3v是“M>N成立”的條件.(從“充要”、“充分不必要”、“必

要不充分”中選擇一個(gè)正確的填寫(xiě))

答案(1)若不是偶數(shù)，則“，6不都是偶數(shù)(2)充分不必要

解析(1)判斷詞“都是”的否定是“不都是”.

(2)由log3M>log3N,又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=log3X在定義域(0,+8)單調(diào)遞增，所以當(dāng)

時(shí)，由于不知道A/、N是否為正數(shù)，所以log?/、k>g3N不一定有意義.故不能推出

10g3〃>10g3N,所以“l(fā)og3M>廄3『是“ON成立”的充分不必要條件.

熱點(diǎn)三邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞

例3(1)已知命題p：x-2>\gx,命題/VxSR,sinx<x,則下列命題正確的是

①命題pVq是假命題②命題p八q是真命題

③命題0八(^夕)是真命題④命題pV(^q)是假命題

(2)已知p：BX6R,sf+zwo,q：VxGR,x2~2mx+1>0>若pVq為假命題，則實(shí)數(shù)加

的取值范圍是.

思維啟迪(1)先判斷命題夕、q的真假，再利用真值表判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假；⑵

含量詞的命題要理解量詞含義，確定參數(shù)范圍.

答案⑴③(2)[1)+8)

解析(1)對(duì)于命題p,取x=10,則有10-2>lg10,即8>1,故命題p為真命題；對(duì)于命題

7TTT

q,取x=-2，則sinx=sin(-/)=-1,此時(shí)sinx>x,故命題夕為假命題，因此命題pVg

是真命題，命題p/\夕是假命題，命題p八恪弟夕)是真命題，命題pV(^q)是真命題，故③正

確.

(2)：pVq為假命題，，p和q都是假命題.

由p:mf+ZWO為假命題，

得㈱p:VxGR,加小+2>0為真命題，

.,.機(jī)20.①

由q:VxGR,『-2mx+1>0為假命題，

得㈱4：SxGR,x?-2/?x+1WO為真命題，

/.J=(-2m)2-4N0,毋210(nW-1或②

由①和②，得加》1.

思維升華(1)命題的否定和否命題是兩個(gè)不同的概念：命題的否定只否定命題的結(jié)論，真

假與原命題相對(duì)立；(2)判斷命題的真假要先明確命題的構(gòu)成.由命題的真假求某個(gè)參數(shù)的

取值范圍，還可以考慮從集合的角度來(lái)思考，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的運(yùn)算.

變式訓(xùn)練3(1)已知命題〃：在△/BC中，“08”是“sinOsinB”的充分不必要條件；

命題g：“a>b”是“改2>從2”的充分不必要條件，則下列命題中正確的是.

①p真夕假@p假q真

③“p/\q”為假④“p/\q”為真

(2)已知命題p：”VxG口,2],x2一。如0"，命題字FXOGR,x2O+2axo+2-a=O),.若

命題"(^p)Aq”是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案⑴③(2)(1,+8)

解析(1)A4BC中，C>B^c>b^2RsmO2/?sinB(R為/\ABC外接圓半徑)，所以O(shè)S^sin

OsinB.

故“6B”是“sinOsin8”的充要條件，命題p是假命題.

若c=0,當(dāng)時(shí)，則農(nóng)2=0=歷2,a>b~^ac2>bc2,若ac^bc1,則必有cWO,則<?>0,

則有。>6，所以〃<?>加2=4>6,故"a>b"是"ac'bJ"的必要不充分條件，故命題g也是

假命題.

(2)命題p為真時(shí)aWl;K3xo￡R,x20+2辦()+2-a=0”為真，即方程x?+2辦+2-a=0

有實(shí)根，故/=4/-4(2-020,解得a2l或aW-2.(^p)/\q為真命題，即p真且q

真，即a>\.

I本講規(guī)律總結(jié)I---------------------------

1.解答有關(guān)集合問(wèn)題，首先正確理解集合的意義，準(zhǔn)確地化簡(jiǎn)集合是關(guān)鍵；其次關(guān)注元素

的互異性，空集是任何集合的子集等問(wèn)題，關(guān)于不等式的解集、抽象集合問(wèn)題，要借助數(shù)軸

和Venn圖加以解決.

2.判斷充要條件的方法，一是結(jié)合充要條件的定義；二是根據(jù)充要條件與集合之間的對(duì)應(yīng)

關(guān)系，把命題對(duì)應(yīng)的元素用集合表示出來(lái)，根據(jù)集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，在以否定形

式給出的充要條件判斷中可以使用命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法.

3.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假是由其中的基本命題決定的，這類(lèi)試題首先把其中的基本

命題的真假判斷準(zhǔn)確，再根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義進(jìn)行判斷.

4.?個(gè)命題的真假與它的否命題的真假?zèng)]有必然的聯(lián)系，但個(gè)命題與這個(gè)命題的否定是

互相對(duì)立的、一真一假的.

真題與押題備戰(zhàn)高考

真題感悟

1.（2014?浙江改編）設(shè)全集U={xGN|x22},集合/={XGM?25},則（〃=.

答案{2}

解析因?yàn)?={xGN|xW-正或X》小},

所以［〃={xGN|2Wx</},故（必=⑵.

2.（2014?重慶改編）已知命題

p：對(duì)任意xCR,總有2、>0；

q：“x>l”是“x>2”的充分不必要條件.

則下列命題為真命題的是.

①"Aq②/第p八幺第q

③糠p/\q④p/M弟"

答案④

解析因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8）,所以對(duì)任意xWR,y=2、>0恒成立，故p為真命

題；因?yàn)楫?dāng)x>l時(shí)，x>2不一定成立，反之當(dāng)x>2時(shí)，一定有x>l成立，故“x>l”是“x>2”

的必要不充分條件，故夕為假命題，則°八^為假命題，^4為真命題，糠pN^q、

為假命題，為真命題，故④為真命題.

押題精練

1.已知集合4=*卜=旭。-f）},B^{X［X*12-CX<0,c>0},若心B,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是

答案［1，+8）

01cx

解析A={x\y=lg(x-x2)}={x\x-x2>0}=(0,1),B={x[x2-cx<0,c>0}=(0,c),因?yàn)?=8,

畫(huà)出數(shù)軸，如圖所示，得c》l.

2.已知下列命題：

①命題“mxGR,X2+1>3X"的否定是"VxGR,%2+1<3%"；

②已知p,?為兩個(gè)命題，若“pVq”為假命題，則為真命題；

③“心2”是“心5”的充分不必要條件；

④“若k=0,則x=0且夕=0”的逆否命題為真命題.

其中正確的命題是.

答案②

解析命題“mxCR,f+i>3x”的否定是“VxCR,f+iQx"，故①錯(cuò)；"p\/q”為

假命題說(shuō)明。假4假，則(^p)A(^g)為真命題，故②正確；a>5^a>2,但。>2彳％>5,故

“心2”是“〃>5”的必要不充分條件，故③錯(cuò)；因?yàn)椤叭魓y=0,則x=0或尸0"，所以

原命題為假命題，故其逆否命題也為假命題，故④錯(cuò).

Y—I—2_

3.已知p：10二二0,q：x2—lx+1—/W2：$0(/?7<0),且p是夕的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)相

的取值范圍.

x+2

解由77—20，得-2Wx〈10,即p:-2^x<10;

10-x尸

由f一2x+1-TW2^0(7??<0)>

得口_(1+加)]?卜一(1-m)]W0,

所以1-m，

即夕：1+mWxW1-m.

又因?yàn)閜是夕的必要條件，

+1，-2,

所以Ls解得加2-3,

[1-m<10,

又加<0,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是-3Wmv0.

專(zhuān)題?突破練

(推薦時(shí)間：40分鐘)

1.(2014?陜西改編)設(shè)集合M={x|x20,xGR},N={X\X2<\,XGR),貝ljA/C1N=.

答案[0,1)

解析7V={x|-l<jc<l),A/n2V=[0,l).

2.已知集合力={1,2,3,4,5},8={5,6,7},C={(x,y)\x^A,y&A,x+y^B},則C中所含

元素的個(gè)數(shù)為.

答案13

解析若x==1G4,則x+y=5+1=6GB,即點(diǎn)(5,1)GC;同理，(5,2)CC,(4,l)eC,

(4,2)ec,(4,3)ec,(3,2)ec,(3,3)WC,(3,4)SC,(2,3)SC,(2,4)GC,(2,5)SC,(1,4)EC,

(1,5)GC所以C中所含元素的個(gè)數(shù)為13.

3.設(shè)全集U為整數(shù)集，集合Z={xeN[y=d7x二？二6},8={xWZ|-1<%W3},則圖中陰

影部分表示的集合的真子集的個(gè)數(shù)為.

答案7

解析因?yàn)橐?{XGN[=07X-X2-6}={XGN|7X-X2-620}="GN|1WxW6},由題意，

知題圖中陰影部分表示的集合為ZC8={1,2,3},所以其真子集有：。,{1},{2},{3},{1,2},

{1,3},{2,3},共7個(gè).

4.**(??—1)((2—1)>0>，是“l(fā)og77>0”的條件.

答案必要不充分

解析(利-1)(〃-1)>0等價(jià)于彳或彳10&附>0等價(jià)于彳或彳所

[a>\h<l.la>llO<a<l,

以前者是后者的必要不充分條件.

5.巴知命題夕：3xe(0,^),使得cosxWx,則該命題的否定是.

答案Vxe(0,^),使得cosx>x

解析原命題是一個(gè)特稱(chēng)命題，其否定是一個(gè)全稱(chēng)命題.而“cosxWx”的否定是“cos

x>xf,.

6.在△4BC中，“4=60”是“cos/=；”的條件.

答案充要

解析在/=60。時(shí)，有cos/=；,因?yàn)榻橇κ恰?8C的內(nèi)角，所以，當(dāng)cos/=；時(shí)，也只

有1=60。，因此，是充要條件.

7.(2013?湖北改編)已知全集為R,集合4=卜岐)y“，8={X|%2_6X+8W0},則4n

答案{x[0Wx<2或x>4}

解析'：A={x\x>0},B={x|2WxW4},

：.AnCRB={x|x>0}n{x\x>4或x<2}

={x|0?2或x>4}.

8.已知集合/={(x,y)k+y-l=0,x,yGR},S={(x,j/)[y=x2+1,x,j^eR),則集合4cB

的元素個(gè)數(shù)是.

答案2

解析集合”表示直線/:x+y-1=0上的點(diǎn)的集合，集合8表示拋物線C:y=f+l上的

點(diǎn)的集合.

+y_]=0,.

由《2消去V得f+x=0,

ly=x+1

由于1>0,所以直線/與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn).

即zns有2個(gè)元素.

9.設(shè)命題小函數(shù)產(chǎn)sin2x的最小正周期為全命題中函數(shù)尸cosx的圖象關(guān)于直線xj

對(duì)稱(chēng).則下列判斷正確的是.

①p為真；②為假；③為假；④pVq為真.

答案③

解析p是假命題，4是假命題，因此只有③正確.

10.已知集合4={(》，y)\y^a},B={(x,y)[y=6、'+l,b>0,b#l},若集合/AB只有一個(gè)

真子集，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案(1，+°°)

解析由于集合8中的元素是指數(shù)函數(shù)y=/的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖

象上的所有點(diǎn)，要使集合408只有一個(gè)真子集，那么y="+l(b>0,6W1)與y=a的圖象

只能有一個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(I,+8).

11.已知集合尸={xk(x—1)20},0={x[y=ln(x—1)},則尸仆。=.

答案(1，+°°)

解析由x(x-1)20可得xWO或xNl,則尸=(-8,0]u[1,+8)；又由*-1>0可得x>l,

則0=(1,+8),所以尸。。=(1,+eo).

12.已知集合4={沖>2或2={x|aWxWb},若力UB=R,4nB={x[2<xW4},則

b=

a--------'

答案一4

解析由/={x,>2或xv-l},T4U5=R,408={X[2<XW4},可得8={X|-1WXW4},則

<7=-1,b=4,故§=-4.

13.由命題“mxCR,f+及+^wO”是假命題，求得實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是(a,+8),則

實(shí)數(shù)a—.

答案1

解析根據(jù)題意可得：WxGR,『+2r+*>0是真命題，則/vO,6P22-4m<0,m>\,故a

=1.

14.給出下列四個(gè)命題:

①命題"若a=B，則cosa=cos/T'的逆否命題；

②"mxodR,使得》20—刈>0"的否定是：“WxGR,均有f-jco”；

③命題“f=4”是“x=-2”的充分不必要條件；

④p：aS{a,b,c},q：{a}￡{a,b,c},p月.g為真命題.

其中真命題的序號(hào)是.(填寫(xiě)所有真命題的序號(hào))

答案①④

解析對(duì)①，因命題"若a=0、則cosa=cos4"為真命題，

所以其逆否命題亦為真命題，①正確；

對(duì)②，命題“mxoGR,使得x2O-Xo>O”的否定應(yīng)是：

“VxGR,均有x2-xW0”，故②錯(cuò)；

對(duì)③，因由“d=4”得*=±2,

所以“f=4”是0=-2”的必要不充分條件，故③錯(cuò)；

對(duì)④，P，4均為真命題，由真值表判定°且4為真命題，故④正確.

15.已知集合“為點(diǎn)集，記性質(zhì)P為“對(duì)V(x,y)^M,左e(0,l),均有(丘，ky)eM,>.給

出下列集合：①{(x,y)\x2^y},②{(x,刃面+/<[},③{(x,^)|x2+y2+x+2^=0},④{(x,

田*+/一x2y=0},其中具有性質(zhì)P的點(diǎn)集序號(hào)是.

答案②④

解析對(duì)于①：取后=；，點(diǎn)(l,l)e{(x,除2》訓(xùn)，但(；，1)${(x,y)\x2^y},故①是不具有

性質(zhì)P的點(diǎn)集.

對(duì)于②：V(x,y)G{(x,j^)|2x2+y2<\},則點(diǎn)(x,y)在橢圓2Y2+/=1內(nèi)部,所以對(duì)0<〃vl,

點(diǎn)儂，@)也在橢圓2x2+y=1的內(nèi)部，即出，Ay)e{(x,y)\2x2+y2<l},故②是具有性質(zhì)產(chǎn)

的點(diǎn)集.

對(duì)于③：(/%+什+1)2=；,點(diǎn)(；，-；)在此圓上，但點(diǎn)百』不在此圓上，故③是不具

有性質(zhì)P的點(diǎn)集.

對(duì)于④：V(x>y)￡{(x,y)\x3+y3-x2y=0},對(duì)于％￡(0,l),因?yàn)?fcr)?+(如)，-的產(chǎn)(處)=0

+y3-x2y=0.所以(Ax,ky){(x,y)\x3+y3-x2y=0},故④是具有性質(zhì)尸的點(diǎn)集.綜上，

具有性質(zhì)尸的點(diǎn)集是②④.

第2講不等式與線性規(guī)劃

考情解讀(1)在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行兩數(shù)的大小比較、一元二次不等式

的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問(wèn)題.基本不等式主要考查求最值問(wèn)題，線性規(guī)劃主要考查

直接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題.(2)多與集合、函數(shù)等知識(shí)交匯命

題，以填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題.

主干?知識(shí)梳理瞄準(zhǔn)高考

1.四類(lèi)不等式的解法

(1)一元二次不等式的解法

先化為一般形式辦2+加+0>0(4#0),再求相應(yīng)一元二次方程or2+6x+c=0(aW0)的根，最

后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集.

(2)簡(jiǎn)單分式不等式的解法

①變形>最>0(<0)o/(x)g(x)>0(<0);

②變形今然2O(WO)=/(x)g(x)》O(WO)且g(x)#O.

(3)簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法

①當(dāng)0>1時(shí)，

②當(dāng)OJ<1時(shí)，濟(jì)8%x)vg(x).

(4)簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式的解法

①當(dāng)。>1時(shí)，10〃%)>四延門(mén))0於)>蛉)且於)>0,g(x)>0；

②當(dāng)O〈K1時(shí)，logj(x)>log這(x)4%x)<g(x)且/(x)>0,g(x)>0.

2.五個(gè)重要不等式

⑴同20,/eogeR).

(2)a22ab(a>6eR).

⑶核一2g^(a>0,b>0).

b￡R).

Ic^^b2a-\~bi—2ab

(5)A/~-A0b>0).

3.二元一次不等式(組)和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

(1)線性規(guī)劃問(wèn)題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等.

(2)解不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：①畫(huà)出可行域；②根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾

何意義確定最優(yōu)解；③求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值.

4.兩個(gè)常用結(jié)論

,］。>0,

(1)辦2+瓜+00(0#0)恒成立的條件是

(2).-+hx+c<0(aWO)恒成立的條件是[

熱點(diǎn),分類(lèi)突破解析高考

熱點(diǎn)一一元二次不等式的解法

例1(1)(2013?安徽)已知一元二次不等式加)<0的解集為卜|x-l或W},則40,)>0的解

集為.

(2)已知函數(shù)<x)=(x—2)(如+6)為偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增，則<2—x)>0的解集為

思維啟迪⑴利用換元思想，設(shè)10'=t,先解刖>0.⑵利用.危)是偶函數(shù)求b,再解<2-x)>0.

答案(l){x|x<—1g2}⑵{x\x<0或x>4}

解析(1)由已知條件?！储?，

解得x<lg!

=-1g2.

(2)由題意可知<-x)=?.

即(-x-2)(-or+6)=(x-2)(ax+b),

化簡(jiǎn)得(2。-b)x=0恒成立，

故2Q-b=0,即b=2(7,則J(x)=a(x-2)(x+2).

又函數(shù)在(0,+8)單調(diào)遞增，所以公0.

/2-x)>0即ax(x-4)>0,解得x<0或x>4.

思維升華二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是高考的熱點(diǎn)，“三個(gè)二次”

的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.

變式訓(xùn)練1(1)不等式—W0的解集為

2x十1------------

(2)已知p：mx()￡R,wxo+1^0,q：Vx￡R,x2+wx+l>0.^pi\q為真命題，則實(shí)數(shù)m

的取值范圍是.

答案(1)(-1,1]⑵(一2,0)

解析(1)原不等式等價(jià)于(x-l)(2x+1)<0或x-1=0,即或x=1,所以不等式的解

集為(-；,1].

(2)p/\夕為真命題，等價(jià)于p,q均為真命題.命題P為真時(shí)，w<0；命題夕為真時(shí)，A=trr

-4<0,解得-2<,“<2.故p/\q為真時(shí)，-2，7Vo.

熱點(diǎn)二基本不等式的應(yīng)用

例2（1）（2014?湖北）某項(xiàng)研究表明：在考慮行車(chē)安全的情況下，某路段車(chē)流量廠（單位時(shí)間內(nèi)

經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/時(shí)）與車(chē)流速度W假設(shè)車(chē)輛以相同速度v行駛，單位：米/

秒）、平均車(chē)長(zhǎng)/（單位：米）的值有關(guān)，其公式為尸=端愣篇.

UiloU?ZU/

①如果不限定車(chē)型，/=6.05,則最大車(chē)流量為輛/時(shí)；

②如果限定車(chē)型，1=5,則最大車(chē)流量比①中的最大車(chē)流量增加輛/時(shí).

（2）（2013?山東改編）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足/一3孫+4/-2=0,則當(dāng)藍(lán)取得最大值時(shí)，

:2的最大值為.

思維啟迪（1）把所給/值代入，分子分母同除以。，構(gòu)造基本不等式的形式求最值；（2）關(guān)鍵

是尋找子取得最大值時(shí)的條件.

答案⑴①1900②100（2）1

解析⑴①當(dāng)S6.05時(shí)，F(xiàn)=

。十1oV十1Z1

760007600076000

1900.

22+18

^+~+182

當(dāng)且僅當(dāng)0=11米/秒時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)車(chē)流量最大為1900輛/時(shí).

76000。7600076000

②當(dāng)/=5時(shí)，F(xiàn)=2000.

v2+18。+100~10。I。20+18

+18

當(dāng)且僅當(dāng)。=10米/秒時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)車(chē)流量最大為2000輛/時(shí)，比①中的最大車(chē)流量增

加100輛/時(shí).

（2）由已知得N=（-3孫+4昧（*）

則節(jié)=2_J'+42=Y]----W1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)，把x=2y代入（*）式，得2=

zx^xy十qyX+絲_3

y%

2”，

心、,

所見(jiàn)2+1廠2廠1,1+廠1廠弋CTAj2+1yWlL

所以當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí)，：2+12的最大值為1.

思維升華在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本

不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、

“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

變式訓(xùn)練2⑴若點(diǎn).，〃)在第一象限，且在直線京+廣1上，則相〃的最大值為.

2

(2)已知關(guān)于x的不等式2x+/二27在xGQ,+8)上恒成立,則實(shí)數(shù)《的最小值為.

答案(1)3(25

解析⑴因?yàn)辄c(diǎn)心，〃)在第一象限，且在直線京+；=1上，所以辦〃>0,且藍(lán)+々=1.

所以笠W(f/(當(dāng)且僅當(dāng)與=，=；,即"=2時(shí),取等號(hào)).所以愁w1,即加〃W3,

。I4JI44JII

所以加〃的最大值為3.

22

(2)2%+----=2(x-a)+------+2a

x-ax-a

2(x-0>；匕+2a=4+2a,

3

由題意可知4+2a27,得

即實(shí)數(shù)a的最小值為宗

熱點(diǎn)三簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

例3(2013?湖北)某旅行社租用4、B兩種型號(hào)的客車(chē)安排900名客人旅行，A.B兩種車(chē)輛

的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車(chē)總

數(shù)不超過(guò)21輛，且8型車(chē)不多于/型車(chē)7輛，則租金最少為元.

思維啟迪通過(guò)設(shè)變量將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題.

答案36800

解析設(shè)租/型車(chē)x輛，B型車(chē)y輛時(shí)，租金為z元，

"yW21

y-x^7

則z=1600x+2400y,_ELx,y滿足〈

.36x+6Qy2900,

歹20,x,y￡N

畫(huà)出可行域如圖，

4(5,12)時(shí)縱截距最小,

所以Zmin=5X1600+2400X12=36800,

故租金最少為36800元.

思維升華(1)線性規(guī)劃問(wèn)題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目

標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍.(2)解決線性規(guī)劃問(wèn)題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函

數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.(3)對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題，要準(zhǔn)確地

設(shè)出變量，確定可行域和目標(biāo)函數(shù).

x>0,

變式訓(xùn)練3(1)已知實(shí)數(shù)滿足約束條件<4x+3yW4，則w=?的最小值是.

2x~y+l>0,

(2)(2013?北京)設(shè)關(guān)于x,y的不等式組，x+m<0,表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,y0),

y—)ri>Q

滿足xo—2次=2,求得m的取值范圍是.

答案(1)1(2)(—8,一|)

解析(1)畫(huà)出可行域，如圖所示.

V+]

川二丁表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)尸(0,-1)連線的斜率，觀察圖形可知現(xiàn)的斜率最

I、1-1-0

小為0_]=1

(2)當(dāng)加，0時(shí)，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點(diǎn)

P(x0,泗)滿足的-2>0=2,因此機(jī)<0.

如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域.

112

(-tn,⑼在直線y=臥-1的下方即可，即加<-2加-1,解得加v-1.

I本講規(guī)律總結(jié)F

1.幾類(lèi)不等式的解法

一元二次不等式解集的端點(diǎn)值是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與X軸交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點(diǎn)；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）來(lái)解；以函數(shù)為背景

的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

2.基本不等式的作用

二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能，

常常用于比較數(shù)（式）的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問(wèn)題.解決問(wèn)

題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切

入點(diǎn)，并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景，如通過(guò)“代換”、“拆項(xiàng)”、“湊項(xiàng)”等技巧，改變

原式的結(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件.利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、

三相等”的條件，三個(gè)條件缺一不可.

3.線性規(guī)劃問(wèn)題的基本步驟

（1）定域——畫(huà)出不等式（組）所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號(hào)的

對(duì)應(yīng)；

（2）平移——畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等于0時(shí)所表示的直線/,平行移動(dòng)直線，讓其與平面區(qū)域有公共

點(diǎn)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見(jiàn)的幾類(lèi)目標(biāo)函數(shù)的幾何意

義；

⑶求值——利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最

值.

真題與押題備戰(zhàn)高考

真題感悟

1.（2014?山東改編）已知實(shí)數(shù)x,y滿足則下列關(guān)系式恒成立的是.

①］；?ln（x*12+l）>ln（y2+1）；

③sinx>siny;@x3>y3.

答案④

解析因?yàn)?v°vl,所以.采用賦值法判斷，①中，當(dāng)x=l,y=0時(shí)，3<1，①不

成立.②中，當(dāng)x=0,歹=一1時(shí)，Inl〈ln2,②不成立.③中，當(dāng)x=0,?=-兀時(shí)，sinx

=sin>=0,③不成立.④中，因?yàn)楹瘮?shù)y=f在R上是增函數(shù)，故④恒成立.

卜+2廠4W0,

2.（2014?浙江）當(dāng)實(shí)數(shù)羽歹滿足卜一y-IWO,時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)。的取

1x^1

值范圍是.

3

答案［1，習(xí)

解析畫(huà)可行域如圖所示，設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=〃尤+y,即、=-ax+z,要使l<z<4恒成立，則

1W2a+1W4,33

。>0,數(shù)形結(jié)合知，滿足1_即可，解得號(hào).所以。的取值范圍是IWaW；.

lWaW42z

押題精練

1.為了迎接2015年3月8日的到來(lái)，某商場(chǎng)舉行了促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算某產(chǎn)品的銷(xiāo)售量P

萬(wàn)件(生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等)與促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元滿足P=3—后，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成

本(10+2P)萬(wàn)元(不含促銷(xiāo)費(fèi)用)，產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為(4+命)萬(wàn)元/萬(wàn)件，則促銷(xiāo)費(fèi)用投入

萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？

答案1

10+2P

解析設(shè)該產(chǎn)品的利潤(rùn)為y萬(wàn)元，由題意知，該產(chǎn)品售價(jià)為2X(—7一)萬(wàn)元，所以y=

10+2P44

2X(---)XP-\0-2P-x=16-^77-x(^>0)>所以y=17-(^Tj+x+1)^17-

2、yUyX(x+1)=13(當(dāng)且僅當(dāng)=1,即x=l時(shí)取等號(hào))，所以促銷(xiāo)費(fèi)用投入1萬(wàn)元

時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大.

［小x—yWO,

2.若點(diǎn)P(x,y)滿足線性約束條件,x—同+2N0,點(diǎn)A(3,小)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則?種

〔y20,

的最大值為.

答案6

解析由題意，知力=(3,S),OP=(x,y),則5?赤=3x+亞.

令z=3x+45y,

如圖畫(huà)出不等式組所表示的可行域，

斗、3-產(chǎn)。

標(biāo)工3>+2=0

可知當(dāng)直線y=-gx+坐z經(jīng)過(guò)點(diǎn)8時(shí)，z取得最大值.

由(、/+：'_()解得即8(1,小)，故z的最大值為3X1+小*小=6.

即5?標(biāo)的最大值為6.

3.如果關(guān)于x的不等式/(x)<0和蛉)<0的解集分別為(a,b),(1,3,那么稱(chēng)這兩個(gè)不等式

為“對(duì)偶不等式”，如果不等式f—4小xcos20+2<0與不等式2?+4xsin20+10為“對(duì)'

偶不等式“，且作生n),貝ij@=.

答案T

解析由題意可知。6=2，a+b=4V3cos20,

1

一+

6-2sin20,

即4八=-2sin20,

ab

.*.2-\/3cos26=-2sin2仇tan20=一小.

,.,℃$，兀)，

；.2昨(兀,2兀)，26=苧.，6=票.

專(zhuān)題?突破練

(推薦時(shí)間：50分鐘)

一、填空題

—x+1,(x<0)?

1.函數(shù)/)=、則不等式x+(x+l)/(x+l)Wl的解集是_________

X—1,(x^O),

答案1}

解析當(dāng)X<-1時(shí)，原不等式可化為

x+(x+1)-(-X)<1,

解得恒成立，

所以X<-1.

當(dāng)xe-l時(shí)，原不等式可化為x+(x+1)XW1,

解得-啦-1WxW6-1,

所以-IWX〈近-1.

綜上，原不等式的解集為{x|xW啦-1}.

2.下列不等式一定成立的是.

①愴?+￡)>炫x(x>0)；

(2)sinx+s^^2(x^kn,”CZ)；

③f+l》2|x|(xeR)；

@^py>l(xGR).

答案③

解析應(yīng)用基本不等式：x,y>0,晝》屈當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào))逐個(gè)分析，注意基本

不等式的應(yīng)用條件及取等號(hào)的條件.

011

當(dāng)x>0時(shí)，f+-^2-X-2=x，

所以lg(?+；)，坨t3>0),故①不正確；

運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證“一正、二定、三相等”，

而當(dāng)xWE,左￡Z時(shí)，sinx的正負(fù)不定，故②不正確；

由基本不等式可知，③正確；

當(dāng)x=0時(shí)，有號(hào)二=1,故④不正確.

3.(2013?重慶改編)關(guān)于x的不等式f—2or—842Vom>0)的解集為(修，處)，且應(yīng)一修=15,

則a=.

答案I

解析lijx2-lax-8a2<0,得(x+2“)(x-4〃)<0,因a>0,所以不等式的解集為(-2〃,4a),即

X2=4a,X|=-2a,由應(yīng)-修=15,得4。-(-2a)=15,解得。

4.(2014?重慶改編)若10或34+46)=既2屈，則的最小值是.

答案7+4小

y[ab>0,

解析由題意得]心o,所以

lz?o.

+4b>0,

又log4(3<7+46)=log2，^，

所以log4(3。+4b)=logWh

所以3a+4b=ab,故￡+廠1.

所以a+6=(a+*+令=7+半+?

》7+2寸^^=7+4小’

當(dāng)且僅當(dāng)*學(xué)時(shí)取等號(hào).

x+y—5W0,

5.已知變量x,y滿足約束條件卜一2y+l<0,則z=x+2y—1的最大值為

,x—1\0

答案8

(x+y-5W0,

解析約束條件(x-2y+lW0,

所表示的區(qū)域如圖,

[x-120

由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)4(1,4)時(shí)取得最大值，故z=x+2y-1的最大值為1+2X4-1=8.

6.已知人x)是R上的減函數(shù)，/(3,-1),8(0,1)是其圖象上兩點(diǎn)，則不等式次l+lnx)|<l的

解集是.

答案ge2)

解析V|/(l+lnx)|<l,A-1</(1+lnx)<l,

.\X3)<2+ln*/(0),

又:/a)在R上為減函數(shù)，

0<1+Inx<3,/.-l<lnx<2,

."."<x<e2.

e

%—yWO,

7.若x,y滿足條件*+y，0，且z=2x+3y的最大值是5,則實(shí)數(shù)。的值為

答