第58講 二項式定理（原卷版）

第58講二項式定理1．二項式定理二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項展開式的通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展開式的第k＋1項二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)2.二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項與相等，且同時取得最大值．(3)各二項式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各二項式系數(shù)的和等于2n.常用結(jié)論1．兩個常用公式(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．二項展開式的三個重要特征(1)字母a的指數(shù)按降冪排列由n到0.(2)字母b的指數(shù)按升冪排列由0到n.(3)每一項字母a的指數(shù)與字母b的指數(shù)的和等于n.考點1通項公式的應(yīng)用[名師點睛](1)求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項即可．(2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏．[典例]1.（2022·北京市第一零九中學(xué)高三階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A．20 B．-40 C．40 D．-102.（2022·江蘇·海安高級中學(xué)高三階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．3.（2022·山東青島·高三開學(xué)考試）在的展開式中，常數(shù)項為（

）A．80 B． C．160 D．[舉一反三]1．（2022·廣東·珠海市第三中學(xué)二模）的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022·河北·高三階段練習(xí)）關(guān)于二項式，若展開式中含的項的系數(shù)為，則（

）A．3 B．2 C．1 D．-13.（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）．4．（2022·天津·高考真題）的展開式中的常數(shù)項為______.考點2二項式系數(shù)與項的系數(shù)的問題[名師點睛]賦值法的應(yīng)用一般地，對于多項式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n的展開式中各項的系數(shù)和為g(1)，(a＋bx)n的展開式中奇數(shù)項的系數(shù)和為eq\f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展開式中偶數(shù)項的系數(shù)和為eq\f(1,2)[g(1)－g(－1)]．[典例]1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知的二項展開式中，第三項與第項的二項式系數(shù)和為84，則第四項的系數(shù)為（

）A．280 B．448 C．692 D．9602．（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）若的展開式中第2項與第6項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A． B．160 C． D．11203．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．[舉一反三]1．（2022·江蘇常州·高三階段練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．22．（2022·北京市廣渠門中學(xué)高三階段練習(xí)）若的展開式中的第項和第項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的系數(shù)為（

）A． B．C． D．3．（2022·福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知（為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A．90 B．10 C．10 D．904．（2022·江蘇南通·高三開學(xué)考試）在的二項展開式中，奇數(shù)項的系數(shù)之和為（

）A． B． C． D．5．（多選）（2022·湖北·黃岡中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則（

）A．B．C．D．6．（2022·浙江·高考真題）已知多項式，則__________，___________．7．（2022·浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）的展開式中不含的各項系數(shù)之和______.考點3系數(shù)與二項式系數(shù)的最值問題[名師點睛]二項式系數(shù)最大項的確定方法：當(dāng)n為偶數(shù)時，展開式中第eq\f(n,2)＋1項的二項式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n為奇數(shù)時，展開式中第eq\f(n＋1,2)項和第eq\f(n＋3,2)項的二項式系數(shù)最大，最大值為或.[典例]1．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）在的展開式中只有第5項二項式系數(shù)最大，則常數(shù)項為__________．2．（多選）（2022·浙江·高三開學(xué)考試）在二項式的展開式中，正確的說法是（

）A．常數(shù)項是第3項 B．各項的系數(shù)和是1C．偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為32 D．第4項的二項式系數(shù)最大[舉一反三]1.已知(3x－1)n展開式的第5項的二項式系數(shù)最大，且n為偶數(shù)，則(3x－1)n展開式中x2的系數(shù)為()A.－252 B.252 C.－28 D.282.(2022·杭州調(diào)研)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))eq\s\up