地球物理計(jì)算方法2018秋第二章數(shù)值積分

地球物理計(jì)算方法

地球物理與信息技術(shù)學(xué)院課堂情況反饋復(fù)習(xí)問(wèn)題（擬合/逼近問(wèn)題）數(shù)值方法（最小二乘法）上節(jié)課講了些什么？復(fù)習(xí)擬合問(wèn)題與插值問(wèn)題有何異同點(diǎn)？5擬合vs插值相同點(diǎn)：兩類(lèi)問(wèn)題都是用簡(jiǎn)單函數(shù)近似未知函數(shù)；不同點(diǎn)：插值問(wèn)題要求近似函數(shù)與未知函數(shù)在已知節(jié)點(diǎn)函數(shù)值相等；擬合/逼近問(wèn)題只要求近似函數(shù)能夠符合大部分已知數(shù)據(jù)的分布趨勢(shì)即可。復(fù)習(xí)6oy●●●●●

ynx

y0

x1

x2

xn

y1

y2

x0pn(x)s(x)●復(fù)習(xí)擬合vs插值71.直線(xiàn)擬合如果某個(gè)直線(xiàn)能很好逼近數(shù)據(jù)規(guī)律，即a,b確定，所以根據(jù)方程可以計(jì)算理論值（真實(shí)值）y*i與實(shí)測(cè)值（近似值）yi之差稱(chēng)為殘差。殘差的大小可作為衡量近似函數(shù)好壞的標(biāo)準(zhǔn)。復(fù)習(xí)8準(zhǔn)則（判斷標(biāo)準(zhǔn)）：（2）使殘差的絕對(duì)值之和最小，即（1）使殘差的最大絕對(duì)值最小，即（3）使殘差的平方和最小，即函數(shù)的最佳一致逼近/最小一乘擬合函數(shù)的最佳平方逼近/最小二乘擬合復(fù)習(xí)9數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法問(wèn)題根據(jù)給定的數(shù)據(jù)組（xi,yi)(i=1,2,…N),選取近似函數(shù)形式，使：該函數(shù)稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的最小二乘函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)復(fù)習(xí)10據(jù)函數(shù)極值方法，下式成立將Q代入可以得到線(xiàn)性方程組復(fù)習(xí)11根據(jù)給定的數(shù)據(jù)組（xi,yi)(i=1,2,…N),求一個(gè)m次多項(xiàng)式（m<<N)使所有采樣點(diǎn)的誤差滿(mǎn)足：Q是一個(gè)多元函數(shù)，所以求這個(gè)多元函數(shù)的極值問(wèn)題。2.多項(xiàng)式擬合復(fù)習(xí)12由多元函數(shù)取極值的必要條件，得方程組求導(dǎo)移項(xiàng)得復(fù)習(xí)13寫(xiě)成方程組：這是最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù)aj所滿(mǎn)足的方程組，稱(chēng)為正則方程組或法方程組,從中求解出aj即可得到Pm(x)。復(fù)習(xí)14

有時(shí)根據(jù)給定數(shù)據(jù)圖形，其擬合函數(shù)y=f(x)表面上不是線(xiàn)性或多項(xiàng)式的形式，但通過(guò)變換仍可化為線(xiàn)性模型。例如，，若兩邊取對(duì)數(shù)得這樣就變成了形如的線(xiàn)性模型.此時(shí)，若令則非線(xiàn)性擬合模型非線(xiàn)性問(wèn)題線(xiàn)性化復(fù)習(xí)15《地球物理計(jì)算方法》

第2章數(shù)值積分1、機(jī)械求積2、Newton-cotes積分公式3、復(fù)化求積方法4、Romberg加速算法5、Gauss積分公式6、數(shù)值微分16問(wèn)題的提出函數(shù)積分：

若能求出被積函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，則定積分I能根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式求出，即18(2)還有被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，但表達(dá)式太復(fù)雜，例如函數(shù)其原函數(shù)F(x)為：

(1)被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的有限形式表示的原函數(shù)F(x)，例如：面臨的困難：(3)被積函數(shù)f(x)沒(méi)有具體的解析表達(dá)式,其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示．0、求積方法的歷史變遷

求曲邊圖形的面積：微積分方法21內(nèi)接梯形面積：(2)窮竭法22外接梯形面積：預(yù)備知識(shí)積分中值定理推廣形式：積分中值定理：1、機(jī)械求積的概念根據(jù)積分中值定理，函數(shù)積分：平均高度的取值是關(guān)鍵？25左矩形公式右矩形公式y(tǒng)=f(x)yab中矩形公式27abyx(a+b)/2y=f(x)梯形公式Simpson公式abyxy=f(x)29求積系數(shù)權(quán)系數(shù)求積節(jié)點(diǎn)y=f(x)機(jī)械求積公式：注意：機(jī)械求積公式：求積分用某些節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)計(jì)算；求積系數(shù)（權(quán)系數(shù)）,與函數(shù)沒(méi)有關(guān)系，只與求積節(jié)點(diǎn)有關(guān)。abx1

x2

x3

xk

…

301．求積系數(shù)及節(jié)點(diǎn)如何確定？2．此公式與多項(xiàng)式有何關(guān)系？3．公式的計(jì)算精度如何判斷？如何提高計(jì)算精度？問(wèn)題：例

設(shè)積分區(qū)間[a,b]為[0,2]，分別用梯形和Simpson公式計(jì)算時(shí)積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較.32解:梯形公式和Simpson公式的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比較如下表所示

f(x)1xx2x3x4ex

準(zhǔn)確值222.6746.406.389

梯形公式2248168.389

辛卜生公式222.6746.676.421

定義：

設(shè)求積公式對(duì)于一切次數(shù)小于等于m的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確的，而對(duì)于次數(shù)為m+1的多項(xiàng)式是不準(zhǔn)確的，則稱(chēng)該求積公式具有m階代數(shù)精度（簡(jiǎn)稱(chēng)精度）2、代數(shù)精度的概念等價(jià)定義：

設(shè)求積公式對(duì)于是準(zhǔn)確的，而對(duì)于是不準(zhǔn)確的，則稱(chēng)該求積公式具有m階代數(shù)精度例

試構(gòu)造求積公式使其具有1階的代數(shù)精度．

解：對(duì)于f(x)=1，x是否精確相等；得到：梯形公式35例

若對(duì)于給定的一組求積節(jié)點(diǎn)相應(yīng)的求積公式

至少具有n次代數(shù)精度，試確定其求積系數(shù)．解由已知對(duì)于，求積公式

均成立等式，得：解：對(duì)于f(x)=1，x…xn均精確相等；令左=右37其系數(shù)矩陣當(dāng)xk,(k=0,1,…n)互異時(shí)非奇異,故

Ak有唯一解．在求積節(jié)點(diǎn)給定的情況下，求積公式的構(gòu)造本質(zhì)上是個(gè)解線(xiàn)性方程的代數(shù)問(wèn)題。38求積系數(shù)權(quán)系數(shù),求積節(jié)點(diǎn)y=f(x)機(jī)械求積公式：注意：機(jī)械求積公式：求積分用某些節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)計(jì)算；求積系數(shù)（權(quán)系數(shù)）,與函數(shù)沒(méi)有關(guān)系，只與求積節(jié)點(diǎn)有關(guān)。abx1

x2

x3

xk

…

393、插值型求積公式過(guò)函數(shù)f(x)的n+1節(jié)點(diǎn)x0，x1，……，xn的函數(shù)值，作n次多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)：式中由于多項(xiàng)式求積分容易，令這樣求解插值系數(shù)：插值表示：——插值型求解方法定理

n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式

為插值型求積公式的充要條件是此公式至少具有n次代數(shù)精度．插值型求積代數(shù)精度證明P60-61利用拉格朗日插值基函數(shù)的性質(zhì)：43一但給定一系列求積節(jié)點(diǎn)，則求積系數(shù)可通過(guò)以下兩種方法來(lái)確定：（1）求解線(xiàn)性方程組（2）利用插值型求積公式根據(jù)充要條件或方程組解的存在唯一性，二者是等價(jià)的。

小結(jié)例1

試確定求積系數(shù)A,B,C使具有最高的代數(shù)精度解:分別取f(x)=1,x,x2

使求積公式準(zhǔn)確成立,

即得方程組:所得求積公式為：對(duì)于f(x)=1,x,x2,x3都準(zhǔn)確成立,對(duì)于f(x)=x4

就不準(zhǔn)確了，所以此求積公式有3次代數(shù)精度。

由于n+1節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少有n次代數(shù)精度，所以構(gòu)造求積公式后應(yīng)該驗(yàn)算所構(gòu)造求積公式的代數(shù)精度。例如插值求積公式

有三個(gè)節(jié)點(diǎn)至少有2次代數(shù)精度，是否有3次代數(shù)精度呢？將f(x)=x3代入公式兩端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式兩端嚴(yán)格相等，再將f(x)=x4代入公式兩端，兩端不相等，所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。

的代數(shù)精度?？梢则?yàn)證,對(duì)于f(x)=1,x時(shí)公式兩端相等,再將f(x)=x2代入公式左端例2考察求積公式兩端不相等,所以該求積公式具有1次代數(shù)精度。三個(gè)節(jié)點(diǎn)不一定具有2次代數(shù)精度。因?yàn)椴皇遣逯敌偷挠叶?、機(jī)械求積2、Newton-cotes積分公式3、復(fù)化求積方法4、Romberg加速算法5、Gauss積分公式6、數(shù)值微分48若此求積公式至少具有n階的代數(shù)精度，則稱(chēng)此求積公式為n階的Newton-Cotes公式．把區(qū)間[a，b]分為n等份，步長(zhǎng)為h（h=(b－a)/n）,則n+1個(gè)點(diǎn)（取等分點(diǎn)）分別為：xk=a+kh;,由這n＋1個(gè)點(diǎn)構(gòu)造的插值型求積公式為：50積分公式的構(gòu)造：精度概念定義

對(duì)于則此求積公式對(duì)于應(yīng)成立等式條件滿(mǎn)足。1、公式的導(dǎo)出51（2）插值公式方法