全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預賽試題解答(同名23059)

2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省初賽試題一、填空題、若三位數(shù)nabc是一個平方數(shù)，而且其數(shù)字和abc也是一個平方數(shù)，則稱n為1超級平方數(shù)，這類超級平方數(shù)的個數(shù)是．2、函數(shù)y8xx214xx248的最大值是．3、直線l過點M(1,2)，若它被兩平行線4x3y10與4x3y60所截得的線段長為2，則直線l的方程為．413．、0cos100sin105、知足1x2x的實數(shù)x的取值范圍是．6、若實數(shù)x,y,z0，且xyz30,3xyz50，則T5x4y2z的取值范圍是[]．7、在前一萬個正整數(shù)組成的會合1,2,L,10000中，被3除余2，而且被5除余3，被7除余4的元素個數(shù)是．8、如圖，正四周體ABCD的各棱長皆為2，A1,B1,C1分別是棱DA,DB,DC的中點，以D為圓心，1為半徑，分別在面DAB,DBC??，并將兩弧各分紅五均分，內作弧A1B1,B1C1分點按序為A1,P1,P2,P3,P4,B1以及B1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1，一只甲蟲欲從點P1出發(fā)，沿四周體表面爬行至點Q4，則其爬行的最短距離為．二、解答題9、正整數(shù)數(shù)列an知足：a12,an1an2an1；證明：數(shù)列的任何兩項皆互質．110、（25分）H為銳角三角形ABC的垂心，在線段CH上任取一點E，延伸CH到F，使HFCE，作FDBC，EGBH，此中D,G為垂足，M是線段CF的中點，O1,O2分別為ABG,BCH的外接圓圓心，eO1,eO2的另一交點為N；A證明：1、A,B,D,G四點共圓；FG2、O1,O2,M,N四點共圓；O1NHMEBDCO211a,b及實數(shù)r0，證明：圓周xa2yb2r2上、關于隨意給定的無理數(shù)至多只有兩個有理點（縱橫坐標皆是有理數(shù)的點）．12、從會合M1,2,L,36中刪去n個數(shù)，使得剩下的元素中，任兩個數(shù)之和都不是2015的因數(shù)，求n的最小值．22015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省初賽試題解答一、填空題1、若三位數(shù)nabc是一個平方數(shù)，而且其數(shù)字和abc也是一個平方數(shù)，則稱n為超級平方數(shù)，這類超級平方數(shù)的個數(shù)是．答案：13個．解：可按序列舉出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961．2、函數(shù)y8xx214xx248的最大值是．答案：23．解：yx(8x)(x6)(8x)8xxx668x，xx6其定義域為6x8，當x6時，此分式的分子最大而分母最小，這時分式的值達最大，其值為23．3、直線l過點M(1,2)，若它被兩平行線4x3y10與4x3y60所截得的線段長為2，則直線l的方程為．答案：x7y15或許7xy5．解：設l的方程為y2k(x1)，將此方程分別與4x3y10及4x3y60聯(lián)立，解得交點坐標A3k7,5k8與B3k12,10k8，據(jù)AB2，3k43k43k43k425k225(k21)1得52，即2，所以k17，k23k43k43k2，分別代入47所設方程，獲得x7y15或許7xy5．4、13．sin100cos100答案：4．解：1341cos1003sin100sin300cos100cos300sin100sin10cos1002242sin100cos10002sin100cos10034sin2004．sin2005、知足1x2x的實數(shù)x的取值范圍是．答案：1,2．2解：用圖像法：令y1x2，此為單位圓的上半圓，它與直線yx交點1,1，22半圓位于交點左邊的圖像皆在直線yx上方；或許三角函數(shù)代換法：因1x1，令xcos,0，則ysin，由條件式1x2x，平方得2x21，則x1，又有xcos1，所以x1,2．226、若實數(shù)x,y,z0，且xyz30,3xyz50，則T5x4y2z的取值范圍是[]．答案：120,130．解：T5x4y2zxyz4x3yz304x3yz因4x2yxyz3xyz80，所以T110(yz)，20(3xyz)(xyz)2(xz)，則xz10，因x,z非負，于是x10，從而由xyz30知，yz20，獲得T110(yz)130，（當z0,x10,y20時獲得等號）再由4x2y80，y0，則x20，所以yz30x10，于是T110(yz)120，（當x20,y0,z10時獲得等號），所以120T130．7、在前一萬個正整數(shù)組成的會合1,2,L,10000中，被3除余2，而且被5除余3，被7除余4的元素個數(shù)是．答案：95個．解：關于每個知足條件的數(shù)n，數(shù)2n應該被3,5,7除皆余1，且為偶數(shù)；所以，2n1應該是3,5,7的公倍數(shù)，且為奇數(shù)；即是105的奇倍數(shù)，而當n1,2,L,10000時，2n142n11,2,L,19999，因為在1,2,L,19999中，共有190個數(shù)是105的倍數(shù)，此中的奇倍數(shù)恰有95個．8、如圖，正四周體ABCD的各棱長皆為2，A1,B1,C1分別是棱DA,DB,DC的中點，??，并將兩弧各分紅五均分，以D為圓心，1為半徑，分別在面DAB,DBC內作弧A1B1,B1C1分點按序為A1,P1,P2,P3,P4,B1以及B1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1，一只甲蟲欲從點P1出發(fā)，沿四周體表面爬行至點Q4，則其爬行的最短距離為．答案：2sin420．解：作兩種睜開，而后比較；因為?被A,P,P,P,P,B分紅五段等弧，每段弧對應的中心角各為0，?被A1B111234112B1C1B1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1分紅五段等弧，每段弧對應的中心角也各為120，若將DBC繞線段DB旋轉，使之與DAB共面，這兩段弧均重合于以D為圓心，半?000徑為1的圓周，PQ對應的圓心角為81296之間直線距離為2sin48，此時，點P,Q4，141若將DAB繞線段DA旋轉，DBC繞線段DC旋轉，使之皆與DAC共面，在所得圖形中，?對應的圓心角為700，此時，點14之間直線距離為2sin420，14所以最短距離是2sin420．二、解答題9、正整數(shù)數(shù)列an知足：a12,an1an2an1；證明：數(shù)列的任何兩項皆互質．證：改寫條件為an11an(an1)，從而an1an1(an11)，等等，據(jù)此迭代得an11anan1(an11)anan1an2(an21)Lanan1La1(a11)anan1La1，所以，anan1an2La11，所以當kn，(an,ak)1．10、（25分）H為銳角三角形ABC的垂心，在線段CH上任取一點E，延伸CH到F，使HFCE，作FDBC，EGBH，此中D,G為垂足，M是線段CF的中點，O1,O2分別為ABG,BCH的外接圓圓心，eO1,eO2的另一交點為N；5A證明：1、A,B,D,G四點共圓；OFG2、O1,O2,M,N四點共圓；1HNM證：1、如圖，設EGIDFK，連AH，EBDC則因ACBH,EKBH，AHBC，O2KFBC，得CA∥EK，AH∥KF，且CHEF，所以CAF≌EKF，AH與KF平行且相等，故AK∥HF，KAB900KDBKGB，所以，A,B,D,G四點共圓；、據(jù)1，BK為eO1的直徑，作eO2的直徑BP，連CP,KP,HP,O1O2，則BCPBHP900，所以CP∥AH，HP∥AC，故AHPC為平行四邊形，從而得，PC與KF平行且相等，所以對角線KP與CF互相均分于M，從而O1,O2,M是KBP三邊的中點，KM∥O1O2，

KAO1GNHMEBDCO2P而由KNB900，O1O2BN，得KN∥O1O2，所以M,N,K共線，所以MN∥O1O2，又由KBP的中位線知MO2O1BO1N，所以四邊形O1O2MN是等腰梯形，其極點共圓．11、關于隨意給定的無理數(shù)a,b及實數(shù)r2220，證明：圓周xaybr上至多只有兩個有理點（縱橫坐標皆是有理數(shù)的點）．證：關于點Ma,b，用PM,r表示上述圓周上有理點的個數(shù)；第一，我們能夠作一個合于條件的圓，其上起碼有兩個有理點，為此，取點A0,0,B2,2，線段AB中垂線l的方程為:xy2,今在l上取點M12,12，再取rMA6，則以M為圓心、r為半徑的圓周上起碼有A,B這兩個有理點；6其次說明，關于任何無理點M以及隨意正實數(shù)r，PM,r2；為此，假定有無理點Ma,b及正實數(shù)r，在以M為圓心，r為半徑的圓周上，起碼有三個有理點Aixi,yi，xi,yi為有理數(shù)，i1,2,3，則x12y1b2x2a2y2b2x3a2y3b2a①據(jù)前一等號得x1x2ay1y2b1x12y12x22y22②2據(jù)后一等號得x2x3ay2y3b1x22y22x32y32③記112x12y12x22y22t1，x22y22x32y32t2，則t1,t2為有理數(shù)，22若x1x20，則由②，y1y2bt1，因b為無理數(shù)，得y1y20，故A1,A2共點，矛盾！同理，若x2x30，可得A2,A3共點，矛盾！若x1x20,x2x30，由②、③消去b得，x1x2y2y3y1y2x2x3at1y2y3t2y1y2有理數(shù)，因a為無理數(shù)，故得，x1x2y2y3y1y2x2x30，所以y1y2y3y2，則A1,A2,A3共線，這與A1,A2,A3共圓矛盾！x1x2x3x2所以所設不真，即這類圓上至多有兩個有理點．于是關于全部的無理點M及全部正實數(shù)r，M,r的最大值為2．12、從會合M1,2,L,36中刪去n個數(shù)，使得剩下的元素中，任兩個數(shù)之和都不是2015的因數(shù)，求n的最小值．答案：17．解：因201551331，M中任兩個元素之和不大于71，因為2015不大于71的正因數(shù)有1,5,13,31,65，在M的二元子集中，元素和為5的有1,4,2,3；元素和為13的有1,12,2,11,3,10,4,9,5,8,6,7；元素和為311,30,2,29,3,28,4,27,5,26,6,25,L,15,16；的有元素和為65的有29,36,30,35,31,34,32,33；7為直觀起見，我們將其畫成一個圖，每條線段兩頭的數(shù)為上述一個二元子集，為了不組成這些和，每對數(shù)（每條線段）中起碼要刪去一個數(shù)；1912272011281318142314173530(A)9223629(B)102115163