概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習匯總

概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習匯總第?章：概率論初步基本概念：隨機事件、古典概率、條件概率、事件的獨?性事件的關系與運算(結合集合論和??圖來學習)?事件(?集)、積事件(交集)、和事件(并集)、對?事件ABAB∪A(補集)、差事件;ABABAAB?==?互斥事件AB=Φ事件發(fā)?：事件A中?少有?個樣本點出現(xiàn).處理技巧：把稍微復雜點事件處理成簡單的互斥事件的和[]ABABA=?∪∪運算規(guī)律：德摩根律;ABABABAB==∪∪加法原理：(分類)，乘法原理：12mnnn+++12mnnn(分步)排列：全排列：；組合：,mmnnAP,!n,!mmmnnnPCCCmnmn?==古典概型：滿?以下兩個特點的隨機試驗()AnPAnΩ=1.試驗的樣本空間中有有限的樣本點；2.每個樣本點發(fā)?的可能性是相等.(對稱性和均衡性)例題1計算下列概率題(求概率前先設事件)1.拋兩顆骰?，觀察他們點數(shù)出現(xiàn)的情況，(1)寫出試驗的樣本空間；(2)設兩顆骰?點數(shù)相同，:A:B兩顆骰?點數(shù)和為5，求(),().PAPB2.袋?中有a只?球，b只紅球，2個?依次在袋?中取?球，(1)做有放回的抽樣，求第?個?取得?球的概率；()aPAab=+(2)做?放回的抽樣，求第?個?取得?球的概率；1(1)()11()(1)baaaabaaPAababababababab()+=+==+++++++注：當箱?中獎券?夠多時，摸獎不分先后；概率的公理化定義設E是?個隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E中的每?個事件A賦予?個實數(shù)，記為，稱為事件的概率，如果他滿?下列的假設：()PAA(1)(2)對于0()PA≤≤1;S有()1;PS=(3)設兩兩互不相容，則有12,,,,nAAA1212()()()nnPAAAPAPAPA=+++∪∪∪∪()公理化定義的性質：(1)()1();PAPA=?(2)()0;PΦ=

(3)對任意的事件有,AB()()(PABPAPAB);?=?差事件的概率(4)對任意的事件有,AB()()()();PABPAPBPAB=+?∪概率的?般加法公式例題2利?事件關系和運算及公理化定義計算下列概率1.設,AB是兩個事件，已知1118(),(),(),42PAPBPAB===(),PAB∪求(),(),[()()].PABPABPABAB∪條件概率在事件B發(fā)?前提下，事件發(fā)?的概率，記為A()()()PABPABPB=.乘法公式：()()()()()PABPBPABPAPBA==或全概率公式和貝葉斯公式樣本空間的?個劃分：設為隨機試驗SSE的樣本空間，12,,,nBBB為E的?組事件，若(1);ijBB=Φ(2)12,nBBBS=∪∪∪則稱12,,,nBBB為樣本空間的?個劃分.或者S12,,,nBBB為?個完備事件組.全概率公式：設設為隨機試驗SE的樣本空間，12,,,nBBB為?個完備事件組，則有1122()()()()()()()nnPAPBPABPBPABPBPAB=+++iB稱為原因，A稱為結果；全概率公式由原因找結果；貝葉斯公式：由結果找造成的原因1122()()()()()()()()()()()iiiinnPBPABPABPBAPAPBPABPBPABPBPAB==+++注：不要盲?記公式，分析原因和結果例題3計算下列概率1.某商店收進甲??產的產品300個，???產的同種產品200個，甲??產產品的次品率為0.06，???產產品的次品率為0.05，求(1)任取?件產品為次品的概率是多少？(2)已知取得的產品為次品，求此次品來?甲??產的概率是多少？2.?們?yōu)榱肆私??股票未來?定時期內價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素，?如利率的變化.現(xiàn)假設?們經分析評估知利率下降的概率為60%，利率不變的概率為40%.根據(jù)經驗，?們估計，在利率下調的情況下，該?股票價格上漲的概率為80%，?在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40%，求該?股票上漲的概率.事件的獨?性設是兩個事件，若有,AB()()()PABPAPB=，則稱事件是相互獨?的.,AB結論1：設是兩個事件，若事件相互獨?，則,AB,AB()(PABPA=).若事件,AB相互獨?，則,;,;,ABABAB也是相互獨?的.三個事件相互獨?若事件滿?,,ABC()()();()()();()()();()()()();PABPAPBPACPAPCPBCPBPCPABCPAPBPC====則稱事件相互獨?.,,ABC結論2：若事件相互獨?，則其中任意12,,,nAAA(2)kkn≤<個事件也相互獨?；若事件相互獨?，則中任意多個事件換成他們各?的對?事件，所得的個事件也相互獨?.12,,,nAAA12,,,nAAAn例題4計算下列概率1.某?治療?法對?個患者有效的概率為0.9.今對3個患者進?了治療，求對3個患者的治療中，?少有?個是有效的概率.設對各個患者的治療效果是相互獨?的.第?章：隨機變量及其相關內容基本概念：隨機變量、分布律、概率密度、分布函數(shù)隨機變量：設隨機試驗的樣本空間為{},()SeXXe==是定義在樣本空間上的實值單值函數(shù)，稱S()XXe=為隨機變量.(樣本點到數(shù)的對應法則)隨機變量的分類：離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量(基于的取值類型)..rv離散型隨機變量取值為有限個或

2.某公司?產?種產品300件.根據(jù)歷史?產記錄知廢品率為0.01.問現(xiàn)在這300件產品經檢驗廢品數(shù)于5的概率是多少？連續(xù)型的隨機變量者?限可列個的隨機變量分布律若..rvX的取值為對應概率值為，即12,,,,nxxx12,,,,nppp{}1,2,kkPXxpk===且滿?：10;1,kkkpp∞=≥=∑則稱為{}1,2,kkPXxpk===..rvX的概率分布律，簡稱分布律常見的離散型隨機變量的分布(區(qū)分背景、分布律、記號)貝努利試驗試驗E中只有兩個結果，,AA；n重貝努利試驗可以重復進?的，相互獨?的貝努利試驗(搞清楚背景)01?分布(1,)XBp～X01kp1p?p?項分布X：次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)取值：0,分布律為nA1,2,,n(,)XBnp～或推導，驗證是分布律{}(1)0,1,kknknPXKCppkn?==?=,?何分布X：直到出現(xiàn)經歷的試驗次數(shù)取值：1,A2,,,n分布律為：推導，驗證是分布律1{}(1)1,,,nPXKppkn?==?=例題1計算下列概率題?1.已知100個產品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.2.某?進?射擊，設每次射擊的命中率為0.02，獨?射擊100次，記X為擊中?標的次數(shù)(1)寫出X的分布律；(2)恰好擊中3次的概率；(3)求?少擊中兩次的概率。泊松分布()Xπλ～，即{}0,1,,,!kePXKknkλλ?===驗證是分布律結論1：?項分布的極限分布是泊松分布(解釋泊松分布律的由來)注：當?項分布中?較時，?泊松分布代替?項分布來計算.(10,0.1nnp≥≤)例題2計算下列概率題?1.已知隨機變量()Xπλ～，且有1(0),(22PXPX>=≥求).概率密度：設X是隨機變量，如果存在定義在整個實數(shù)軸上的可積函數(shù)(),fx滿?條件：

(1)(2)()0,,fxx≥?∞<<∞()d1,fxx+∞?∞=∫(3)且對任意的實數(shù)有,()abab<{}(baPaXbfxx≤≤=∫)d.注：對于連續(xù)型隨機變量X??，(1)則{}()daaPXafxx===∫0,{}{}{}{}PaXbPaXbPaXbPaXb≤≤=<≤=≤<=<<(2)若()fx是連續(xù)型隨機變量X的概率密度，習慣性的去驗證第(2)條；(3)設()fx在x點處連續(xù)，則有00()d{}limlim().xxxxxfxxPxXxxfxxx+++ΔΔ→Δ→≤≤+Δ==ΔΔ∫進?{}，故稱()PxXxxfxx≤≤+Δ≈Δ()fx為隨機變量X的概率密度.均與分布(,)XUab～1,()0,axbfxba?<1,0,()(0)0,xexfxθθθ>?=>?其他注：指數(shù)分布的?記憶性.()(PXstXsPXt>+>=>)例題3計算下列概率題?1.某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘?班車，即7:00,7:15,7:30,7:45等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X是7:00到7:30之間的均勻隨機變量，試求他候車時間少于5分鐘的概率.分析：求(0,30)XU～{1015}{2025}PXPX<<+<<2.設隨機變量X的概率密度為2,010,()0,Cxxfx?<<=?其他求(1)求C;(2)求關于t的?程2254tXtX0++?=有實根的概率.分布函數(shù)設X是?個隨機變量，函數(shù)(){},FxPXxxR=≤∈為X的分布函數(shù).注：分布函數(shù)表?隨機點X落在(,]x?∞的概率.分布函數(shù)的性質：(1)單調不減；(2)0()1,Fx≤≤且()0,()1FF;?∞=+∞=(3)右連續(xù)，對任意的x有，0

lim()();FxFxεε+→+=(4){}{}{}()()PaXbPXbPXaFbFa<≤=≤?≤=?例題4求下列函數(shù)的分布函數(shù)1.設離散型隨機變量X(1)求X的分布函數(shù)，并畫出其圖形；(2)求()Fx55{},{242PXPX<≤≤<4}.2.設(,),XUab～求X的分布函數(shù)().Fx3.設(),XEPθ～求X的分布函數(shù)().Fx注：對連續(xù)型隨機變量??，在()fx的連續(xù)點處有d()().dFxfxx=?維的隨機變量根據(jù)隨機變量,XY的取值，?維隨機變量分為?維離散型隨機變量(,)XY和?維連續(xù)型的隨機變量(,)XY?維離散型隨機變量通過聯(lián)合分布律來表?{()()}{,},,1,2,ijijijPXxYyPXxYypij=======∩，且ijp滿?(1)(2)0,ijp≥111.ijijp∞∞===∑∑稱(,)XY為?維離散型的隨機變量，且,,1,2,ijpij=為其聯(lián)合分布律.?維連續(xù)型隨機變量通過聯(lián)合密度函數(shù)來表?對于?元函數(shù)(,)fxy，若滿?(1)(2)(,)0,fxy≥(,)dd1,fxyxy+∞+∞?∞∞=∫∫(3)對任意的平?區(qū)域有則稱,G{(,)}(,)dd,GPXYGfxyxy∈=∫∫(,)XY為?維連續(xù)型的隨機變量，且(,)fxy為其聯(lián)合密度函數(shù).注：結合?維隨機變量的分布律和密度函數(shù)來學習?維隨機變量的聯(lián)合分布律和聯(lián)合密度函數(shù)的概念.例題5求下列概率題?1.袋?中有2只?球，2只?球，3只紅球，在其中任取2只球.以X表?取到?球的只數(shù)，以Y表?取到?球的只數(shù)，(1)求(,)XY的聯(lián)合分布律；(2)求.22{2},{1}PXYPXY+≥+≤2.?枚硬幣??刻有數(shù)字1.??刻有數(shù)字2.將硬幣拋兩次，以X表?第?次、第?次出現(xiàn)的數(shù)字之和，以Y表?第?次出現(xiàn)的數(shù)字減去第?次出現(xiàn)的數(shù)字，求(,)XY的聯(lián)合分布律.3.設(,)XY的密度函數(shù)為(),01,(,)0,kxxyxxyxfxy,<其他(1)求常數(shù)k(2)求;{2PYX<}.yPXxYypj∞∞========∑∑邊緣分布根據(jù)隨機變量分類有邊緣分布律(離散)和邊緣密度函數(shù)(連續(xù))邊緣分布律11{}{,},1,2,iijijjjPXxPXxYypi∞∞========∑∑11{}{,},1,2,jijijiiPY邊緣密度函數(shù)()(,)d,;()(,)d,XYfxfxyyxRfyfxyxy+∞+∞?∞∞=∈=∫∫R∈]d因為{}{,}[(,)dbaPaXbPaXbyfxyyx+∞?∞≤≤=≤≤?∞<<+∞=∫∫例題6求下列概率題?1.對于例題5中的1,2題求其邊緣分布律.2.設隨機變量(,)XY在由曲線2,yxy==圍成的區(qū)域G內服從均勻分布.(1)寫出(,)XY的聯(lián)合概率密度;(2)求(),().XYfxfy3.設(,)XY的聯(lián)合概率密度為24,(,),(,)130,xxyGfxy?∈?=其他求(),(),XYfxfy其中G如右圖.相互獨?的隨機變量對于(,)XY，若有，則稱{,}{}{PaXbcYdPaXbPcYd<≤<≤=<≤<≤}(,)XY相互獨?.(和事件獨?性定義?樣)離散型：或者{,}{}{ijiPXxYyPXxPYy=====}jijijPPP??=連續(xù)型：(,)()().XYfxyfxfy=?推??下，對于維隨機變量的獨?性定義和上?類似.n例題7求下列概率題?1.設?離散型隨機變量Y?設是兩個相互獨?的隨機變量，且都與Y有相同的分布律，求的聯(lián)合分布律，并求12,YY12,YY12,YY12{}PYY.=2.設,XY是兩個相互獨?的隨機變量，(0,1),XU～Y的密度函數(shù)為18,0,()20,Yyyfy?<=其他試寫出,XY的聯(lián)合密度函數(shù)，并求{}PXY>.隨機變量函數(shù)的分布=()YgX的函數(shù)分布(離散)；=ZXY+的分布，12=max(,),=min(,)ZXYZXY的分布(離散)；例題8求下列概率題?1.設隨機變量X具有分布律Y2?123kp0.30.20.10.4求的分布律.21YX=?2.設隨機變量X具有密度函數(shù)(),.XfxxR∈(1)求隨機變量的概率密度2YX=();Yfy(2)設X的概率密度為1,11,().20,Xxxfx+??≤≤?=其他，求的概率密度2YX=().Yfy3.設隨機變量X在區(qū)間上服從均勻分布，求(0,1)XYe=的概率密度.4.設隨機變量,XY的聯(lián)合分布律為(1)求的分布律；(2)求的分布律；UXY=+max(,)VX=YY(3)求的分布律；min(,)WX=第三章：隨機變量的數(shù)字特征基本概念：數(shù)學期望，?差，協(xié)?差，相關系數(shù)數(shù)學期望：設離散型隨機變量X的分布律為{}1,2,kkPXxpk===，連續(xù)型隨機變量X具有概率密度(),fx則隨機變量X的數(shù)學期望記為，定義為()EX1,()()d,kkkxpXEXxfxxX∞=+∞?∞=?∑∫為離散型隨機變量為連續(xù)型隨機變量?元函數(shù)的期望()YgX=1,()[()]()()d,kkkypXEYEgXgxfxxX∞=+∞?∞′?==?∑∫為離散型隨機變量為連續(xù)型隨機變量?元函數(shù)的期望(,)ZgXY=1,,()[(,)](,)(,)dd,,kkkzpXYEZEgXYgxyfxyxyXY∞=+∞+∞?∞?∞′?==?∑∫∫為離散型隨機變量為連續(xù)型隨機變量例題1計算下列各題1.22(),(),();(,),(),();(),(),().XEXEXXUabEXEXXEPEXEπλθ～～～求求求2X2.設隨機變量,XY的聯(lián)合密度函數(shù)2,01,01,(,)0,xxyfxy≤≤≤≤?=??其他求(),().EXEXY3.對第?章的例題8的第4題，求(),(),().EUEVEW數(shù)學期望的性質(借助連續(xù)型隨機變量給出證明)();()();()()();ECCECXCEXEXYEXEY==+=+設,XY為相互獨?的隨機變量，則有()()()EXYEXEY.=例題2設在盒?中有25張形式各異的禮券，有?在盒中取10次，每次取?張，作放回抽樣.設抽取的10張禮券中包含X中不同的式樣.求.()EX提?：把復雜隨機變量拆成簡單隨機變量的和.

?差設X是隨機變量，若存在，則稱它為2{[()]}EXEX?X的?差，記為().DX注：?來計算?差22(){[()]}()[()]DXEXEXEXEX=?=?2?差的性質(借助定義給出證明)2()0()();()()()2{[()][()]};DCDCXCDXDXYDXDYEXEXYEY==+=++??設,XY為相互獨?的隨機變量，則有.()()()DXYDXDY=+X+例題3計算下列各題1.(),();(,),();(),().XDXXUabDXXEPDπλθ～～～求求求2.設(,),().XBnpDX～求協(xié)?差與相關系數(shù)對于?維隨機變量(,)XY稱{[()][()]}EXEXYEY??為隨機變量,XY的協(xié)?差，記為，即(,)CovXY(,){[()][()]}()()()CovXYEXEXYEYEXYEXEY=??=??XYρ=稱為隨機變量,XY的相關系數(shù).協(xié)?差與相關系數(shù)的性質(,)(,);(,)(,);(,)(,);CovXYCovYXCovXXCovXXCovaXbYabCovXY===1212(,)(,)(,);CovXXYCovXYCovXY+=+1;XYρ≤1XYρ=的充要條件是XY與以概率1存在線性關系，即()PYabX1.=+=若0,XYρ=則稱,XY不相關(,XY不相關指,XY不存在線性關系)若隨機變量,XY相互獨?，則0,XYρ=則,XY不相關；反之，不?定.例題4計算下列各題1.設隨機變量(,)XY服從由曲線22yxyx==和所圍平?區(qū)域的均勻分布，求(,),().XYCovXYDXYρ+，2.設隨機變量(,)XY具有1()9,()4,,(),(34).6XYDXDYDXYDXYρ===?+?+求切?雪夫不等式設隨機變量X具有數(shù)學期望?差則對于任意正數(shù)(),EX(),DX,ε有22()(){()},{()}1DXDXPXEXPXEXεεεε≥≤<≥或例題5在每次試驗中，事件A發(fā)?的概率為0.75，試?切?雪夫不等式求：獨?試驗次數(shù)最?取何值時，事件nA出現(xiàn)的頻率在0.740.76之間的概率?少為0.90？～解：設:Xn次試驗中，事件出現(xiàn)的次數(shù)，則，則所求為滿?A(,0.75)XBn～{0.740.76}0.90XPn<<≥的最?.由n{0.740.76}{0.010.750.01}{()0.01}PnXnPnXnnPXEX<<=?由切?雪夫不等式知22()0.18751875{0.740.76}{()0.01}111(0.01)0.0001DXnXPPXEXnnnn<<=?<≥?=?=?n要使?jié)M?n1875187510.9,1875010.9nn?≥≥=?則第五章及第六章：數(shù)理統(tǒng)計部分基本概念：總體、樣本、統(tǒng)計量、估計量、總體矩、樣本矩總體：研究對象全體的某項指標；如學?的??、體重等，是隨機變量X樣本：在總體取出的部分相互獨?的和總體分布類型?致的指標，12,,nXXX樣本特點：代表性：12,,nXXX與總體的分布類型?樣；獨?性：12,,nXXX相互獨?；樣本值：樣本的觀測值12,,,nxxx樣本的分布函數(shù)：設總體X的分布函數(shù)為則樣本(),Fx12,,nXXX的分布函數(shù)為*121(,,,)()nniiFxxxFx==∏樣本的聯(lián)合概率密度：設總體X的密度函數(shù)為(),fx則樣本12,,nXXX的分布函數(shù)為*121(,,,)()nniifxxxfx==∏統(tǒng)計推斷：通過總體X的?個樣本12,,nXXX對總體X的分布進?推斷的問題稱為統(tǒng)計推斷問題.總體、樣本、樣本值之間的關系例題1設總體(),XEPθ～12,,nXXX是來?總體X的?個樣本.(1)求121,,0XXX的聯(lián)合密度函數(shù)；(2)設121,,0XXX分別為10塊獨??作的電路板的壽命(以年計)，求10塊電路板的壽命都?于2的概率.統(tǒng)計量：不含有未知參數(shù)的樣本的函數(shù)12(,,)ngXXX統(tǒng)計量的觀測值：12(,,)ngxxx總體距(P89):總體X的階原點距，k1(),1,2,(kkuEXkuEX===)總體X的k階中?距，2{[()]},2,3,()kkvEXEXkvDX=?==常見的統(tǒng)計量樣本均值11;niiXXn==∑樣本?差22221111()(11nniiiiSXXXnnn===?=∑∑);XkiiAXkAn===∑;X=樣本k階中?距11(),2,3,n樣本k階原點距111,1,2,;nkkkiiBXXkn==?=∑;三?分布2χ分布，t分布，分布F2χ分布設12,,nXXX是來?總體的樣本，則稱統(tǒng)計量(0,1)N22212n2XXXχ=+++服從?由度為的n2χ分布，記?由度指右端包含?由未知量個數(shù).22().nχχ～(1)2χ分布的可加性設并且22221122(),(),nnχχχχ～～2212,χχ相互獨?，則有2221212()nnχχχ++～(2)2χ分布的期望和?差若則有22(),nχχ～22(),()2EnDχχn==(3)2χ分布的上α分位數(shù)2222(){()}()dnPnfxxααχχχχα∞>=∫=畫圖！t分布設2(0,1),(),XNYnχ～～且,XY相互獨?，則稱隨機變量t=服從?由度為的t分布，記n().ttn～(1)t分布的性質22lim()xtnfx?→∞=分布的極限分布為標準正態(tài)分布t(2)t分布的上α分位數(shù)(){()}()dttnPttnfxxααα∞>==∫畫圖！1()()tntnαα?=?F分布設Un且UV相互獨?，則稱2212(),(),Vnχχ～～,12UnFVn=服從?由度的分布，記12(,)nnF12(,).FFnn～(1)分布的性質若則F12(,),FFnn～211(,)FnnF～(2)分布的上Fα分位數(shù)1212(,){(,)}()dFFnnPFFnnfxxααα∞>=∫=畫圖！正態(tài)總體樣本均值和樣本?差的分布(1)設12,,nXXX是來?正態(tài)總體2(,)Nuσ的樣本，X是樣本均值，則有2(,),XNunσ～221((niiXunχσ=?∑～)(2)設12,,nXXX是來?正態(tài)總體2(,)Nuσ的樣本，2,XS分別是樣本均值和樣本?差，則有2XS與相互獨?；22221(1)((niiXXnSnχσσ=??1)=?∑～(3)設12,,nXXX是來?正態(tài)總體2(,)Nuσ的樣本，2,XS分別是樣本均值和樣本?差，則有(1tn?～)(1)tn～?n(4)設1212,,,,nXXXYYY與分別為來?正態(tài)總體211(,)Nuσ和222(,)Nuσ的樣本，且這兩個樣本相互獨?，設2212,,,XYSS分別為對應的樣本均值和樣本?差，則有2122122122(1,1SSFnnσσ)??～例題2計算下列題?1.求總體的容量分別為10和15的兩獨?樣本均值差的絕對值?于0.3的概率.)3,20(N解：設容量分別為10和15的兩獨?樣本的樣本均值分別記為X和Y，則)3.0,20(~NX，)2.0,20(~NY，所以)5.0,0(~NYX?，)]5.03.0()5.03.0([1}3.03.0{1}3.0{1}3.0{?Φ?Φ?=≤?≤??=≤??=>?YXPYXPYXP6744.0)42.0(22=Φ×?=.2.設12,,6XXX是來?正態(tài)總體的樣本，求使得(2,3)N,C621{(2)}0.95iiPXC=?≤=∑3.設總體123(76.4,383),,,,4XNXXX～X是來?容量為4的樣本，是樣本?差.2S問224411(76.4)(),383383iiiiXXXUW==??==∑∑分別服從什么分布，并求2()DS.解：因為)1,0(~3834.76NX?，所以，)4(~3834.76383)4.76(2412412χ∑∑===?=iiiiXXU?根據(jù)定理2，42

224211()()3~(3383383383iiiiXXXXSWχ==??===∑∑)因為6)3833()(2==sDWD，所以3/2933789/3836)(22=×=sD4.已知，求證)(~ntX2~(1,).XFn證明：因為，所以存在隨機變量)(~ntX)(~),1,0(~2nZNYχ使得nZYX/=，也即nZYX/22=，?根據(jù)定義所以),1(~22χY),1(~/1/22nFnZYX=.點估計設總體X的分布函數(shù)(,)Fxθ形式已知，θ是未知的待估參數(shù).設12,,nXXX是來?總體X的?個樣本，選取合適的統(tǒng)計量12(,,n)XXXθ來估計未知參數(shù)θ的?法稱為點估計，其中12(,,)nXXXθ叫做θ的估計量，12(,,)nxxxθ叫做θ的估計值.評選估計量的標準(樣本容量固定)?偏性，有效性，(樣本容量增加)?致性n設12,,nXXX是來?總體X的?個樣本，θ是總體X分布中的待估參數(shù).?偏性：設12=(,,)nXXXθθ是參數(shù)θ的估計量，若對任意的θ有，()Eθθ=則稱θ是未知參數(shù)θ的?偏估