拉氏反變換補(bǔ)充課件

拉氏反變換補(bǔ)充課件1第1頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五鑒于工程上常常需要處理在t=0處不連續(xù)的函數(shù)甚至具有更復(fù)雜性質(zhì)的函數(shù)，控制理論中常常把拉氏變換的定義修改成對(duì)于在t=0處連續(xù)，即滿(mǎn)足f(0+)=f(0-)的函數(shù)來(lái)說(shuō)，這樣定義與常規(guī)定義并無(wú)區(qū)別。而采用修改后的定義可以使微分方程的求解過(guò)程大大地簡(jiǎn)化。今后，我們將采用修改后的拉氏變換定義。2第2頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五復(fù)習(xí)2常用信號(hào)的拉氏變換

控制系統(tǒng)分析中常常需要采用一些典型的時(shí)域輸入信號(hào)，我們來(lái)求它們的拉氏變換。1、單位脈沖信號(hào)且

理想單位脈沖信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為拉氏變換為3第3頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

說(shuō)明：

單位脈沖函數(shù)可以通過(guò)極限方法得到。設(shè)單個(gè)方波脈沖如圖所示。

脈沖的寬度為a，高度為1/a，面積為1。當(dāng)保持面積不變，寬度a--->0,高度1/a--->∞，則單個(gè)方波脈沖演變成理想的單位脈沖。f(t)1/aa0t(t)t04第4頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

2、單位階躍信號(hào)f(t)10t顯然,有拉氏變換為簡(jiǎn)寫(xiě)為單位階躍信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為5第5頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

3、單位斜坡信號(hào)簡(jiǎn)寫(xiě)為0f(t)t單位階躍信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為利用分部積分公式,可求得拉氏變換為6第6頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4、指數(shù)信號(hào)tf(t)10

指數(shù)信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為拉氏變換為7第7頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五5、正弦、余弦信號(hào)

正弦、余弦信號(hào)的拉氏變換可以利用指數(shù)信號(hào)的拉氏變換求得。由復(fù)指數(shù)函數(shù)的拉氏變換，有因?yàn)橛蓺W拉公式8第8頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五分別取上式的實(shí)部和虛部，可得正弦信號(hào)的拉氏變換為有余弦信號(hào)的拉氏變換為9第9頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五常見(jiàn)的時(shí)域信號(hào)的拉氏變換見(jiàn)附錄I(P639)。10第10頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五復(fù)習(xí)3拉氏變換的一些基本定理1、線(xiàn)性定理則

若11第11頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2、延遲定理則信號(hào)f(t)與它在時(shí)間軸上的平移信號(hào)f(t-T)的關(guān)系示意圖ttf(t)f(t-)00

若

該定理說(shuō)明，在時(shí)間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有對(duì)應(yīng)的衰減變換。12第12頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

求如圖所示周期鋸齒波信號(hào)的拉氏變換。解：f(t)t0T該信號(hào)為周期信號(hào)。若已知信號(hào)第一周期的拉氏變換為F1(s)，則應(yīng)用延遲定理，有13第13頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五鋸齒波信號(hào)第一周期的拉氏變換為所以，周期鋸齒波信號(hào)的拉氏變換為14第14頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3、衰減定理則若

該定理說(shuō)明，時(shí)間信號(hào)f(t)在時(shí)間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在復(fù)數(shù)域有對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)平移。15第15頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五解：因?yàn)樗?/p>

試求時(shí)間函數(shù)的拉氏變換。16第16頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4、微分定理且f(t)的各階導(dǎo)數(shù)存在，則f(t)各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為……

若17第17頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五則……當(dāng)所有的初值均為零時(shí)，即18第18頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五5、積分定理

積分定理與微分定理互為逆定理。則

若19第19頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五6、初值定理即時(shí)域函數(shù)的初值，可以由變換域求得。且f(0+)存在，則

若20第20頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

7、終值定理且f(∞)存在，則若即時(shí)域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。21第21頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五8、卷積定理時(shí)域函數(shù)的卷積分為則若22第22頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

為何要將時(shí)域函數(shù)f(t)轉(zhuǎn)換成復(fù)變函數(shù)F(s)？－－時(shí)域中超越函數(shù)在變換域中是有理函數(shù)。－－可以簡(jiǎn)化計(jì)算，如卷積分轉(zhuǎn)變成相乘運(yùn)算。

兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：23第23頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五復(fù)習(xí)4拉氏反變換將復(fù)變函數(shù)F(s)變換為原時(shí)域函數(shù)f(t)的運(yùn)算是拉氏變換的逆運(yùn)算，稱(chēng)為拉氏反變換，公式為這是復(fù)變函數(shù)的積分，計(jì)算復(fù)雜，極少采用。常用方法----部分分式法。理由：工程中常見(jiàn)的時(shí)域信號(hào)f(t)的拉氏變換F(s)都是s的有理函數(shù)。因此，可以將F(s)分解成一系有理分式Fi(s)之和，再利用拉氏變換表求出所有的fi(t)=L-1[Fi(s)]，即可合成時(shí)域函數(shù)f(t)(根據(jù)拉氏變換的線(xiàn)性變換定理)。24第24頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

過(guò)程：其中，B(s)----分子多項(xiàng)式；

A(s)----分母多項(xiàng)式；

a0,a1,…an-1;b0,b1,…bm----常系數(shù)，n≥m。設(shè)拉氏變換F(s)為s的有理分式，即

求出分母多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)A(s)=0的根si(i=1,2,…n）（稱(chēng)之為極點(diǎn)）。于是，有25第25頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五從而可得拉氏反變換為26第26頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

計(jì)算情況：

（1）A(s)＝0全部為單根為復(fù)變函數(shù)F(s)對(duì)于極點(diǎn)s=si的留數(shù)。拉氏反變換為其中F(s)可分解成27第27頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

已知：求拉氏反變換。解：F(s)可分解成其中于是28第28頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(2)A(s)=0有重根其中，與單根s1相對(duì)應(yīng)的系數(shù)C1求法同前;與重根s2相對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)系數(shù)計(jì)算公式如下……

以只有一個(gè)單根為例，即s1為單根，s2為(n-1)重根，則F(s)可分解為29第29頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五因?yàn)樗?，拉氏反變換為30第30頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

已知：求拉氏反變換。解：F(s)可分解為解得31第31頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五于是，有從而32第32頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(3)A(s)=0有共軛復(fù)數(shù)根當(dāng)存在共軛復(fù)數(shù)根時(shí)，可以將共軛復(fù)數(shù)根當(dāng)作單根(互不相同)來(lái)看待。但分解計(jì)算時(shí)，涉及到復(fù)數(shù)運(yùn)算，太繁瑣，可以利用如下變換對(duì)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。33第33頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

已知：求拉氏反變換。解：F(s)可分解為而于是，有34第34頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五復(fù)習(xí)5拉氏變換法求解微分方程

列出控制系統(tǒng)的微分方程之后，就可以求解該微分方程，利用微分方程的解來(lái)分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。微分方程可以采用數(shù)學(xué)分析的方法來(lái)求解，也可以采用拉氏變換法來(lái)求解。采用拉氏變換法求解微分方程是帶初值進(jìn)行運(yùn)算的，許多情況下應(yīng)用更為方便。拉氏變換法求解微分方程步驟如下：

（1）方程兩邊作拉氏變換。（2）將給定的初始條件與輸入信號(hào)代入方程。

（3）寫(xiě)出輸出量的拉氏變換。

（4）作拉氏反變換求出系統(tǒng)輸出的時(shí)間解。35第35頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五RC濾波電路如圖所示，輸入電壓ui(t)=5V，試求：當(dāng)電容初始電壓uc(0)分別為0V和1V時(shí)的時(shí)間解uc(t)。解：RC電路的微分方程為R=10kui=5VucC=10方程兩邊作拉氏變換由拉氏變換的線(xiàn)性定理，有36第36頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由拉氏變換的微分定理，得將R=10k,C=10,Ui(s)=5/s代入，整理得于是，輸出的拉氏變換為37第37頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

（1）uc(0)=0V時(shí)

（2）uc(0