基本不等式的證明測模擬試題

基本不等式的證明【知識網(wǎng)絡(luò)】1、重要的基本不等式，不等式等號成立的條件；2、證明不等式的方法及應(yīng)用。【典型例題】例1：（1）設(shè)，已知命題；命題，則是成立的（） A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B。解析：是等號成立的條件。（2）若為△ABC的三條邊，且，則（） A． B．C．D．答案:D．解析：，又∵∴。（3）設(shè)x>0,y>0,,，a與b的大小關(guān)系 （） A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<b C．a(chǎn)b D．a(chǎn)b答案：B。解析：。（4）b克鹽水中，有a克鹽（），若再添加m克鹽（m>0）則鹽水就變咸了，試根據(jù)這一事實提煉一個不等式.答案：．解析:由鹽的濃度變大得．（5）設(shè)．答案：。解析：。例2：已知a,b都是正數(shù)，并且ab，求證：a5+b5>a2b3+a3b2答案：證：(a5+b5)(a2b3+a3b2)=(a5a3b2)+(b5=a3(a2b2)b3(a2b2)=(a2b2)(a3b3)=(a+b)(ab)2(a2+ab+b2) ∵a,b都是正數(shù)，∴a+b,a2+ab+b2>0 又∵ab，∴(ab)2>0∴(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)>0 即：a5+b5>a2b3+a3b2例3設(shè)，當(dāng)時，求證：。解析：，∴。例4：（1）已知是正常數(shù)，，，求證：，指出等號成立的條件；（2）利用（1）的結(jié)論求函數(shù)（）的最小值，指出取最小值時的值．答案：，

故．當(dāng)且僅當(dāng)，即時上式取等號；

⑵由⑴得．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時上式取最小值，即．【課內(nèi)練習(xí)】1．設(shè)x、y是正實數(shù)，且x+y=5,則lgx+lgy的最大值是_______________________.答案：2-4lg2。解析：∵x>0,y>0,5=x+y≥2,∴xy≤()2.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時等號成立.故lgx+lgy=lgxy≤lg()2=2-4lg2.2．若a,b均為大于1的正數(shù)，且ab＝100，則lga·lgb的最大值是()A.0B.1C.2D.答案：B.解析：。3．在三個結(jié)論：=1\*GB3①，=2\*GB3②=3\*GB3③，其中正確的個數(shù)是 （） A．0 B．1 C．2 D．3答案：D。解析：可以證明3個不等式都成立。4．對一切正整數(shù)，不等式恒成立，則B的范圍是（）答案：。解析：，即b>1或。5．已知方程的三根可作為一個三角形的三邊長，那么m的取值范圍是。答案：。解析：，又，即。6．已知a、b為不等的正數(shù)，且，試將四個數(shù)按從小到大的順序排列。答案：（1）當(dāng)時，，得，且，此時（2）當(dāng)時，，得，且，此時（3）當(dāng)時，與題設(shè)矛盾7．比較下列兩個數(shù)的大小：（1）（2）；（3）從以上兩小項的結(jié)論中，你否得出更一般的結(jié)論？并加以證明答案：（1）,（2）（3）一般結(jié)論：若成立證明欲證成立只需證也就是（）從而（*）成立，故8．已知，求證：≥．答案:∵，∴≥，兩邊同加上得，≥．又≥，兩邊同加上得，≥≥，∴≥．9．設(shè)a>0,b>0，且a+b=1，求證：．答案：∵∴∴ ∴ 10．已知函數(shù)（1）設(shè)為常數(shù)，若在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍（2）設(shè)集合，若，求實數(shù)的取值范圍。答案：（1）在上是增函數(shù)。，即（2）由得：，即當(dāng)時，恒成立。又時，【作業(yè)本】A組1．設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（） A． B． C． D．答案：C．因為，所以（A）恒成立，在B兩側(cè)同時乘以得所以B恒成立；在C中，當(dāng)a>b時，恒成立，a<b時，不成立；在D中，分子有理化得恒成立，故選C．2．若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是 （） A． B． C． D．答案：D。解析：。3．設(shè)且，則（）A． B．C． D．答案：A。解析：。4．若，則的取值范圍是 答案：。解析：或，解得。5．若關(guān)于x的不等式x2－ax－6a＜0有解且解的區(qū)間長不超過5，則a的取值范圍是答案：－25≤a＜－24或0＜a≤1。解析：，∴或。6．已知a、b是不等正數(shù)，且a3－b3=a2－b2求證：1<a+b<．證明: 7．設(shè)求證：答案：．。8．設(shè)二次函數(shù),方程的兩個根滿足.(1)當(dāng)時,證明:;(2)設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱,證明:.答案：證明:(1),當(dāng)時,∵∴,∴,∴.又.∵,∴,,∴,即,∴.(2)∵為的兩個根,∴,,只要證,即證明,此式顯然成立,∴.B組1．函數(shù)y=(x>-1)的圖象最低點坐標(biāo)是()A.(1,2)B.(1,-2)C.(1,1)D.(0,2)答案：D解析：y==(x+1)+≥2.此時x=0.2．甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點 （） A．甲 B．乙 C．甲乙同時到達(dá) D．無法判斷乙甲答案：A。解析：t甲=t乙，∴t乙=，=，乙甲∴t甲<t乙。3．設(shè)f(x)是奇函數(shù)，對任意的實數(shù)x、y，有 則f(x)在區(qū)間[a,b]上 （） A．有最大值f(a) B．有最小值f(a) C．有最大值 D．有最小值答案：A。解析：為減函數(shù)。4．設(shè)M=,且a+b+c=1，(a、b、c∈R+)，則M的取值范圍是 答案：[8,+∞）。解析：。5．若x，y＞0，求的最大值。答案：。解析：。6．已知,證明:方程的兩實根滿足.答案：證明:由題設(shè)得，∴∵,∴,,又,∴,∴.7．設(shè)（1）證明：A>;（2）答案：（1）A=（2）．∴8．設(shè)f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1