金融工程課后習題答案

第1章

7.該說法是正確的。從圖1.3中可以看出，如果將等式左邊的標的資產(chǎn)多頭移至等式右邊,

整個等式左邊就是看漲期權(quán)空頭，右邊則是看跌期權(quán)空頭和標的資產(chǎn)空頭的組合。

9.10000x於%"4初=]2725.21元

10.每年計一次復利的年利率=(1+0.14/4)-1=14.75%

連續(xù)復利年利率=41n(1+0.14/4)=13.76虬

11.連續(xù)復利年利率=121n(l+0.15/12)=14.9現(xiàn)。

12.12%連續(xù)復利利率等價的每季度支付一次利息的年利率=4(e003-l)=12.18虬

因此每個季度可得的利息=10000X12.8%/4=304.55元。

第2章

1、2007年4月16日，該公司向工行買入半年期美元遠期，意味著其將以764.21人民幣/100

美元的價格在2007年10月18日向工行買入美元。合約到期后，該公司在遠期合約多頭上的

盈虧=10000x(752.63-764.21)=-115,800。

2、收盤時，該投資者的盈虧=(1528.9-1530.0)X250=-275美元;保證金賬戶余額=19,688

-275=19,413美元。若結(jié)算后保證金賬戶的金額低于所需的維持保證金，即

19,688+(S&P500指數(shù)期貨結(jié)算價-1530)x250<15,750時(即S&P500指數(shù)期貨結(jié)算價V

1514.3時)，交易商會收到追繳保證金通知，而必須將保證金賬戶余額補足至19,688美元。

3、他的說法是不對的。首先應該明確，期貨(或遠期)合約并不能保證其投資者未來一定盈

利，但投資者通過期貨(或遠期)合約獲得了確定的未來買賣價格，消除了因價格波動帶來

的風險。本例中，匯率的變動是影響公司跨國貿(mào)易成本的重要因素，是跨國貿(mào)易所面臨的主

要風險之一，匯率的頻繁變動顯然不利于公司的長期穩(wěn)定運營(即使匯率上升與下降的概率

相等)；而通過買賣外匯遠期(期貨)，跨國公司就可以消除因匯率波動而帶來的風險，鎖定

了成本，從而穩(wěn)定了公司的經(jīng)營。

4、這些賦予期貨空方的權(quán)利使得期貨合約對空方更具吸引力，而對多方吸引力減弱。因此，

這種權(quán)利將會降低期貨價格。

5、保證金是投資者向其經(jīng)紀人建立保證金賬戶而存入的一筆資金。當投資者在期貨交易面臨

損失時，保證金就作為該投資者可承擔一定損失的保證。保證金采取每日盯市結(jié)算，如果保

證金賬戶的余額低于交易所規(guī)定的維持保證金，經(jīng)紀公司就會通知交易者限期內(nèi)把保證金水

平補足到初始保證金水平，否則就會被強制平倉。這一制度大大減小了投資者的違約可能性。

另外，同樣的保證金制度建立在經(jīng)紀人與清算所、以及清算會員與清算所之間，這同樣減少

了經(jīng)紀人與清算會員的違約可能。

6、如果交易雙方都是開立一份新的合約，則未平倉數(shù)增加一份；如果交易雙方都是結(jié)清已

有的期貨頭寸，則未平倉數(shù)減少一份；如果一方是開立一份新的合約，而另一方是結(jié)清已有的期

貨頭寸，則未平倉數(shù)不變。

第3章

1.F=Se'bT)=2Ox^olx0-25=20.51

三個月后，對于多頭來說，該遠期合約的價值為(15-20.51)xl00=-551

2.F==20xe°2=20.51<23,在這種情況下，套利者可以按無風險利率10%借入

現(xiàn)金X元三個月，用以購買三單位的股票，同時賣出相應份數(shù)該股票的遠期合約，交

20

割價格為23元。三個月后，該套利者以工單位的股票交割遠期，得到坐元，并歸還

2020

Y

借款本息Xxe。.萬元，從而實現(xiàn)且一Xe°」x025元的無風險利潤。

20

4

3.指數(shù)期貨價格=10000Ji。"％=10236點

4.(1)2個月和5個月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值=e*6x2〃2+e0W5〃2=L97元。

遠期價格=(30-1.97)e。06'。J28.88元。

若交割價格等于遠期價格，則遠期合約的初始價值為0。

(2)在3個月后的這個時點，2個月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值=/06*2"=0.99元。

遠期價格=(35-0.99)e-=3252元。

此時空頭遠期合約價值=100X(28.88-34.52)e0-06x3/12=-556元。

5.如果在交割期間，期貨價格高于現(xiàn)貨價格。套利者將買入現(xiàn)貨，賣出期貨合約，并立即

交割，賺取價差。如果在交割期間，期貨價格低于現(xiàn)貨價格，將不會存在同樣完美的套

利策略。因為套利者買入期貨合約，但不能要求立即交割現(xiàn)貨，交割現(xiàn)貨的決定是由期

貨空方作出的。

6.由于股價指數(shù)的系統(tǒng)性風險為正，其預期收益率大于無風險利率，因此股價指數(shù)期貨價

格尸=總是低于未來預期指數(shù)值￡(Sr)=。

第4章

1.在以下兩種情況下可運用空頭套期保值：

①公司擁有一項資產(chǎn)并計劃在未來售出這項資產(chǎn)；②公司目前并不擁有這項資產(chǎn)，但在

未來將得到并想出售。

在以下兩種情況下可運用多頭套期保值：

①公司計劃在未來買入一項資產(chǎn)；②公司用于對沖已有的空頭頭寸。

2.當期貨標的資產(chǎn)與需要套期保值的資產(chǎn)不是同一種資產(chǎn)，或者期貨的到期日與需要套期保

值的日期不一致時，會產(chǎn)生基差風險。

題中所述觀點正確。

假設套期保值比率為n,則組合的價值變化為△n=（H「％）+MG「G。）。當不存在基差

風險時，o代入公式（4.5）可得，n=l0

3.這一觀點是不正確的。例如，最小方差套期保值比率為""豆，當夕=0.5、5V時,

〃=1。因為P<1,所以不是完美的套期保值。

4.完美的套期保值是指能夠完全消除價格風險的套期保值。完美的套期保值能比不完美的套

期保值得到更為確定的套期保值收益，但其結(jié)果并不一定會總比不完美的套期保值好。例

如，一家公司對其持有的一項資產(chǎn)進行套期保值，假設資產(chǎn)的價格呈現(xiàn)上升趨勢。止匕時，

完美的套期保值完全抵消了現(xiàn)貨市場上資產(chǎn)價格上升所帶來的收益；而不完美的套期保值

有可能僅僅部分抵消了現(xiàn)貨市場上的收益，所以不完美的套期保值有可能產(chǎn)生更好的結(jié)

果。

5.最優(yōu)套期保值比率為：。is

n=PHG-=0.6x—=1.2

%0.9

應持有的標準普爾500指數(shù)期貨合約空頭的份數(shù)為：工20,000,000.。份

l.Zx---------=ov

250x1080

6.期貨交易為套保者提供了風險規(guī)避的手段，然而.，這種規(guī)避僅僅是對風險進行轉(zhuǎn)移，而無

法消滅風險。正是由于投機者的存在，才為套保者提供了風險轉(zhuǎn)移的載體，才為期貨市場

提供了充分的流動性。一旦市場上沒有了投機者，套保者將很難找到交易對手，風險無法

轉(zhuǎn)嫁，市場的流動性將大打折扣。

7.①投資者所應提交的保證金數(shù)為：1200x300xl0%x2=72,000

②投資者8月9日與8月10日的損益情況見下表。

日期結(jié)算價保證金賬戶余額追加保證金指數(shù)日收益率投資者在期貨頭

格寸上的日收益率

72000+(1195-1200)x300x21195x300x2x10%-690001195-1200(1195—12(X))x300x2

8月9日1195--------------=-4.17%

=69000=2700120072000

=-41.7%

1195x300x2x10%+

8月1011501150x300x2x10%—447001^^777%(1150-1195)x300x2

(1150-1195)x300x2=2430011951195x300x2x10%

日=44700=-37.7%

第五章

1.該公司應賣空的標準普爾500指數(shù)期貨合約份數(shù)為：1.2x10,000,000^

250x1530

2.瑞士法郎期貨的理論價格為：OSgeO'weo'Rgn06857<0.7

投資者可以通過借美元，買瑞士法郎，再賣瑞士法郎期貨來套利。

3.投資者可以利用股指期貨，改變股票投資組合的B系數(shù)。設股票組合的原B系數(shù)為

B,目標B系數(shù)為夕*,則需要交易的股指期貨份數(shù)為一/

4.歐洲美元期貨的報價為88意味著貼現(xiàn)率為12%,60天后三個月期的LIBOR遠期利

率為12%/4=3%

5.第2、3、4、5年的連續(xù)復利遠期利率分別為:

第2年：14.0%第3年：15.現(xiàn)第4年：15.7%第5年：15.7%

6.2003年1月27日到2003年5月5日的時間為98天。2003年1月27日到2003

年7月27日的時間為181天。因此，應計利息為：6、而=3.2486,現(xiàn)金價格為

110.5312+3.2486=113.7798

7.2月4日到7月30日的時間為176天，2月4日到8月4日的時間為181天，債

17A

110+—X6.5=116.32…1八,八

券的現(xiàn)金價格為⑻。以連續(xù)復利計的年利率為21nl.06=0.1165。5天

后將收到一次付息，其現(xiàn)值為6.5e?°.6如儂=6.490。期貨合約的剩余期限為62天，

該期貨現(xiàn)金價格為(116.32-6.490)e°」694*。/⑹=112,02。在交割時有57天的應計利息，

則期貨的報價為：“2。2-如甚="0叫考慮轉(zhuǎn)換因子后，該期貨的報價為：曙=73.34。

10,000,000x7.1=8830

8.該基金經(jīng)理應該賣出的國債期貨合約的份數(shù)為：91,375x8.8心88

第6章

1.互換的主要種類有：利率互換，指雙方同意在未來的一定期限內(nèi)根據(jù)同種貨幣的同

樣名義本金交換現(xiàn)金流，其中一方的現(xiàn)金流根據(jù)事先選定的某一浮動利率計算，而

另一方的現(xiàn)金流則根據(jù)固定利率計算。貨幣互換，在未來約定期限內(nèi)將一種貨幣的

本金和固定利息與另一貨幣的等價本金和固定利息進行交換。同時還有交叉貨幣利

率互換、基點互換、零息互換、后期確定互換、差額互換、遠期互換、股票互換等

等。

2.國際互換市場迅速發(fā)展的主要原因有：一，互換交易在風險管理、降低交易成本、

規(guī)避管制和創(chuàng)造新產(chǎn)品等方面都有著重要的運用。二、在其發(fā)展過程中，互換市場

形成的一些運作機制也在很大程度上促進了該市場的發(fā)展。三、當局的監(jiān)管態(tài)度為

互換交易提供了合法發(fā)展的空間。

3.美國中長期國債的天數(shù)計算慣例是A(Actual)/A(Actual)或A/365,即計息期與

一年均按實際天數(shù)計或者一年固定以365天計。美國公司債和市政債券的天數(shù)計算

慣例是30/360,即一個月按30天計，一年按360天計。美國貨幣市場工具的天數(shù)計

算慣例是A(Actual)/360,即計息期按實際天數(shù)計，一年按360天計。

4.互換頭寸的結(jié)清方式有：一、出售原互換協(xié)議，即在市場上出售未到期的互換協(xié)議,

將原先利息收付的權(quán)利與義務完全轉(zhuǎn)移給購買協(xié)議者。二、對沖原互換協(xié)議，即簽

訂一份與原互換協(xié)議的本金、到期日和互換利率等均相同，但收付利息方向相反的

互換協(xié)議。三、解除原有的互換協(xié)議，即與原先的交易對手協(xié)議提前結(jié)束互換，雙

方的權(quán)利義務同時抵銷。

5.這一說法是錯誤的。如果該對沖交易是與原先的互換交易對手進行的，此種對沖又

被稱為“鏡子互換”，等價于終止了原先的利率互換，抵消了違約風險。如果是與其

他交易對手進行鏡子互換，只能在利息的現(xiàn)金流上實現(xiàn)對沖，但由于交易對手不同，

仍然無法完全抵消對手方違約的風險。

第7章

1.(1)運用債券組合：

從題目中可知左=$40。萬,右=$510萬，因此

=4e-°」*°25+4e?」o5、o75iO4^ollx,-25=$0.9824々壬一

啟+億美兀

%=(100+5.1)6皿*°25=$1.0251億美元

所以此筆利率互換對該金融機構(gòu)的價值為98.4-102.5=-427萬美元

(2)運用FRA組合：

3個月后的那筆交換對金融機構(gòu)的價值是

0.5x100x(0.08-0.102)6"卜切=一107萬美元

0.105x0.75-0.10x0.25_01075

由于3個月到9個月的遠期利率為0.5一,

10.75%的連續(xù)復利對應的每半年計一次復利的利率為(1)=0.11044

所以9個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值為

0.5x100x(0.08-0.11044)eRJ°5*°<=_141萬美元

同理可計算得從現(xiàn)在開始9個月到15個月的遠期利率為11.75%,對應的每半年計一

次復利的利率為12.102%0

所以15個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值為

0.5x100x(0.08-0.12102)e-°"x,-25=-179萬美元

所以此筆利率互換對該金融機構(gòu)的價值為-107-141-179=-427萬美元

2.協(xié)議簽訂后的利率互換定價，是根據(jù)協(xié)議內(nèi)容與市場利率水平確定利率互換合約的

價值。對于利率互換協(xié)議的持有者來說，該價值可能是正的，也可能是負的。而協(xié)

議簽訂時的互換定價方法，是在協(xié)議簽訂時讓互換多空雙方的互換價值相等，即選

擇一個使得互換的初始價值為零的固定利率。

3.(1)運用債券組合：

如果以美元為本幣，那么

BD=O.8e-oo9xl+。注工0^+10.8"°網(wǎng)3=964.4萬美元

004x2

Br=60U°4必+60e+=123,055萬日元

需一9644=叩萬美元

所以此筆貨幣互換對該金融機構(gòu)的價值為

(2)運用遠期外匯組合：

即期匯率為1美元=110日元，或者是1日元=0.009091美元。因為美元和日元的

年利差為5%,根據(jù)尸=Se一年期、兩年期和三年期的遠期匯率分別為

0.00909le°05x1=0.009557

0.00909le°05x2=0.010047

0.00909le°05x3=0.010562

與利息交換等價的三份遠期合約的價值分別為

(0.8—60x0.009557)pgi=20.71萬美元

(0.8-60x0.010047)e-009x2=16.47萬美元

(0.8-60x0.010562)12.69萬美元

與最終的本金交換等價的遠期合約的價值為

(10-1200x0.010562)°必=1.46萬美元

_2Q

因為該金融機構(gòu)收入日元付出美元，所以此筆貨幣互換對該金融機構(gòu)的價值為

201.46-12.69-16.47-12.69=154.3萬美元

4.與互換相聯(lián)系的風險主要包括：(1)信用風險。由于互換是交易對手之間私下達成

的場外協(xié)議，因此包含著信用風險，也就是交易對手違約的風險。當利率或匯率等

市場價格的變動使得互換對交易者而言價值為正時，互換實際上是該交易者的--項

資產(chǎn)，同時是協(xié)議另一方的負債，該交易者就面臨著協(xié)議另一方不履行互換協(xié)議的

信用風險。對利率互換的交易雙方來說，由于交換的僅是利息差額，其真正面臨的

信用風險暴露遠比互換的名義本金要少得多；而貨幣互換由于進行本金的交換，其

交易雙方面臨的信用風險顯然比利率互換要大一些。(2)市場風險。對于利率互換

來說，主要的市場風險是利率風險；而對于貨幣互換而言，市場風險包括利率風險

和匯率風險。值得注意的是，當利率和匯率的變動對于交易者是有利的時候，交易

者往往面臨著信用風險。市場風險可以用對沖交易來規(guī)避，信用風險則通常通過信

用增強的方法來加以規(guī)避。

第8章

1.從表中可以看出，A公司的借款利率均比B公司低；但是在固定利率市場上A比B低

1.2%,在浮動利率市場上A僅比B低0.5虬因此A公司在兩個市場上均具有絕對優(yōu)

勢，但A在固定利率市場上具有比較優(yōu)勢，B在浮動利率市場上具有比較優(yōu)勢。所以，

A可以在其具有比較優(yōu)勢的固定利率市場上以10.8%的固定利率借入100萬美元，B

在其具有比較優(yōu)勢的浮動利率市場上以LIB0R+0.75%的浮動利率借入100萬美元，然

后運用利率互換進行信用套利以達到降低籌資成本的目的。由于本金相同，雙方不

必交換本金，只交換利息現(xiàn)金流，即A向B支付浮動利息，B向A支付固定利息。

2.(1)運用利率互換轉(zhuǎn)換資產(chǎn)的利率屬性。如果交易者原先擁有一筆固定利率資產(chǎn)，

她可以通過進入利率互換的多頭，所支付的固定利率與資產(chǎn)中的固定利率收入相抵

消，同時收到浮動利率，從而轉(zhuǎn)換為浮動利率資產(chǎn)；反之亦然。(2)運用利率互換

轉(zhuǎn)換負債的利率屬性。如果交易者原先擁有一筆浮動利率負債，她可以通過進入利

率互換的多頭，所收到的浮動利率與負債中的浮動利率支付相抵消，同時支付固定

利率，從而轉(zhuǎn)換為固定利率負債；反之亦然。(3)運用利率互換進行利率風險管理。

作為利率敏感性資產(chǎn)，利率互換與利率遠期、利率期貨一樣，經(jīng)常被用于進行久期

套期保值，管理利率風險。

3.由于A公司認為美元相對于英鎊會走強，因此A公司可以利用貨幣互換轉(zhuǎn)換資產(chǎn)的貨

幣屬性，通過貨幣互換將其英鎊投資轉(zhuǎn)換為美元投資。假設其交易對手為擁有一筆5

年期的年收益率為8%、本金為150萬美元投資的B公司，具體互換過程如下圖所示:

_______11%的英鎊利息-------

A公司.>B公司

8%的美元利息

第9章

1.因為美式期權(quán)和歐式期權(quán)相比具有提前執(zhí)行的優(yōu)勢，所以美式期權(quán)價格不可能比同等條件

下歐式期權(quán)的價格低。

2.因為期權(quán)的買方在購買了期權(quán)后就只享有權(quán)利，而沒有任何義務，因此買方?jīng)]有違約風險。

而期權(quán)的賣方承擔著履約的義務，而這種義務往往是對期權(quán)的賣方不利的，因此賣方有違

約風險，必須繳納保證金。

3.無擔保期權(quán)的保證金為以下兩者的較大者

A.出售期權(quán)的期權(quán)費收入加上期權(quán)標的資產(chǎn)價值的20%減去期權(quán)處于虛值狀態(tài)的數(shù)額(如果

有這一項的話);保證金A=(3.5+57X0.2-(60-57))X5X100=11.9X500=5950元

B.出售期權(quán)的期權(quán)費收入加上標的資產(chǎn)價值的10%；

保證金B(yǎng)=(3.5+57X0.1)X5X100=4600元

由于用A算出來的保證金較大，因此必須繳納5950美元作為保證金。

4.4月10日交易的期權(quán)包括4、5、8和11月到期的。5月31日交易的期權(quán)包括6、7、8、

11月到期的。

5.股本權(quán)證與備兌權(quán)證的差別主要在于：有無發(fā)行環(huán)節(jié)；有無數(shù)量限制；是否影響總股本。

股票期權(quán)與股本權(quán)證的區(qū)別主要在于：有無發(fā)行環(huán)節(jié)；有無數(shù)量限制。

第10章

1、該投資者最終的回報為:

max(S-X,0)+min(ST-X,0)=ST-X

可見，這相當于協(xié)議價格為X的遠期合約多頭。

本習題說明了如下問題：

(1)歐式看漲期權(quán)多頭和歐式看跌期權(quán)空頭可以組成遠期合約多頭；歐式看漲期權(quán)

空頭和歐式看跌期權(quán)多頭可以組成遠期合約空頭。

(2)遠期合約多頭可以拆分成歐式看漲期權(quán)多頭和歐式看跌期權(quán)空頭；遠期合約空

頭可以拆分成歐式看漲期權(quán)空頭和歐式看跌期權(quán)多頭。

(3)當X等于遠期價格時，遠期合約的價值為0o此時看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值相等。

2、他在5月份收入200元，9月份付出500元(=(25-20)X100)。

3、下限為：30—27葭“優(yōu)'。25=3.40元。

4、看跌期權(quán)價格為：

rT()5X0O81667X0084167X0(,8

p=c+Xe+D-So=2+25e--+0.5e^+0.5e°--24=3.00元。

5、(1)假設公司價值為V,到期債務總額為D,則股東在1年后的結(jié)果為：max(V-D,0)

這是協(xié)議價格為D,標的資產(chǎn)為V的歐式看漲期權(quán)的結(jié)果。

(2)債權(quán)人的結(jié)果為：min(V,D)=D-max(D-V,0)

由于max(D-V,O)是協(xié)議價格為D、標的資產(chǎn)為V的歐式看跌期權(quán)的結(jié)果。因此該債

權(quán)可以分拆成期末值為D的無風險貸款，加上歐式看跌期權(quán)空頭。

(3)股東可以通過提高V或V的波動率來提高股權(quán)的價值。第一種辦法對股東和債權(quán)人

都有利。第二種辦法則有利于股東而不利于債權(quán)人。進行風險投資顯然屬于第二種辦法。

6、(1)當p=2.25時，c+XeTi=32.26,p+S=33.25,所以正確套利方法為買入看漲期權(quán)，賣

空看跌期權(quán)和股票，將凈現(xiàn)金收入30.25元進行3個月的無風險投資，到期時將獲得

31.02元。如果到期時股票價格高于30元，將執(zhí)行看漲期權(quán)，如果低于30元，看跌期

權(quán)將被執(zhí)行，因此無論如何，投資者均將按照30元購買股票，正好用于平倉賣空的股

票，因此將獲得凈收益1.02。

(1)當P=1時,c+Xe-)=32.26,P+S=32,所以正確套利方法為賣出看漲期權(quán),買入看

跌期權(quán)和股票，需要的現(xiàn)金以無風險利率借入，到期時需償付的現(xiàn)金流將為29.73,

如果到期時股票價格高于30元，看漲期權(quán)將被執(zhí)行，如果低于30元，投資者將執(zhí)

行看跌期權(quán)，因此無論如何，投資者均將按照30元出售已經(jīng)持有的股票，因此將獲

得凈收益0.27o

第11章

1由于~(TVA7)

在本題中，S=50,口=0.16,0=0.30,At=l/365=0.00274.因此，

AS/50-(()(0.16x0.00274,0.3x0.00274巧=(|)(0.0004,0.0157)

AS?0(0.022,0.785)

因此，第二天預期股價為50.022元，標準差為0.785元，在95%的置信水平上第2天

股價會落在50.022-1.96x0.785至50.022+1.96x0.785,即48.48元至51.56元之間。

2、(1)假設Xi和X?的初始值分別為④和a2o經(jīng)過一段時間T后，X.的概率分布為：

0(4近')

X2的概率分布為：廳)

根據(jù)獨立的正態(tài)分布變量之和的性質(zhì)，可求X1和X2的概率分布為：

。(％++a2+/J^T,+＜r；T)

=%+生+(M+外)T，J(cr；+cr；)T)

這表明，X1和X2遵循漂移率為4+4，方差率為出+嵋的普通布朗運動。

(2)在這種情況下，Xi和X?在短時間間隔At之內(nèi)的變化的概率分布為：

血(〃1+〃2)4,J+無+2pO\%)△”

如果從、外、?、叼和「都是常數(shù)，則&和X2在較長時間間隔T之內(nèi)的變化的概率分

布為：

陽M+〃2)/，＜9；+8+20叩＞]

這表明，X1和X,遵循漂移率為從+〃2,方差率為出+8+207區(qū)的普通布朗運

動。

3、在本題中，S=50,X=50,r=0.1,0=0.3,T=0.25,

ln(50/50)+(0J+0.09/2)x0.25

因此，d,=0.2417

O3x,0.25

d2=rf,-0.3x^0.25=0.0917

這樣，歐式看跌期權(quán)價格為，P=5()N(_().O9⑺V_5()N(T).2417)

=50x0.4634^-01x025-50x0.4045=2.37

rT

4、根據(jù)布萊克-舒爾斯看跌期權(quán)定價公式有：P+S=Xe-N(-d2)-SN(-di)+5

由于N(-d.)=1-N(d),上式變?yōu)椋簆+S=Xe-"N(—d2)+SN(dJ

，r

c+Xe=SN(di)-Xe-"N(d2)+Xe”

同樣，根據(jù)布萊克―舒爾斯看漲期權(quán)定價公式有：由于Md,)=l-N(Y,),上式變?yōu)椋?/p>

c+Xe"=Xe-"N(-d2)-SN(4)

可見，p+S=c+Xe-rT,看漲期權(quán)和看跌期權(quán)平價公式成立。

5、D1=D,=1,t.=0,25,T=0.6667,r=0,1,X=65,X[l-e->]=65(l-e-)=1.07

X[1-e-WF)]=65(1-e?2)=1.60

可見，

R<X[1-廠"叫

顯然，該美式期權(quán)是不應提早執(zhí)行的。

紅利的現(xiàn)值為：

e?25*o」+e-o.5om=i9265

該期權(quán)可以用歐式期權(quán)定價公式定價：

S=70-l.9265=68.0735,X=65,T=0.6667,r=0.1,o=0.32

dln(68.0735/65)+(0.1+0.32?/2)x0.6667

,-0.32x5/0.6667

4=4-0.32xj0.6667=0.3013

N(di)=O.7131,N(d2)=0.6184

1x06667

因此，看漲期權(quán)價格為：68.0735x0.7131-65xe-0x0.6184=10.94

6、構(gòu)造一個組合，由一份該看漲期權(quán)空頭和△股股票構(gòu)成。如果股票價格升到42元，該組

合價值就是42A-3。如果股票價格跌到38△元，該組合價值就等于38A。令：

42△-3=38△

得：△=0.75元。也就是說，如果該組合中股票得股數(shù)等于0.75,則無論1個月后股

票價格是升到42元還是跌到38元，該組合的價值到時都等于28.5元。因此，該組合的現(xiàn)值

應該等于：

28.5產(chǎn)。"=2&31元。

這意味著：-c+40A=28.31,c=40X0.75-28.31=1.69元。

7.證明：(1)

c=SN(d1)-Xe…TT'N(J2)

AN(心)?！?/p>

dd2dS

其中，現(xiàn)L=d(i2=且*二方屋)，因此

MsdS"dS小”

=N(d,)+-~^==

Sa7T-t

=N(</,)+---------*—,-—SI

v7Sa<T-tV2V

=N(</,)+---------；-JS\

SaVT-tV2T[

=N(J,)+---------\--------s<

v7SaVr-t>/2T

將dl代入最后一項，可得

-IL-HLc

=N(4/,)+--------:—,Se2-Xe2y-=W(</,)

v7SaV'/'-tVTT

⑵在風險中性世界中，股票價格服從InS.~如nS,+(rq)(T-f),￡m這樣ST大于X的概

率就是In%>InX的概率:

=N=N(4)

第12章

1.二叉樹圖模型的基本原理是：在風險中性世界中，假設資產(chǎn)價格的運動是由大量的小幅度

二值運動構(gòu)成，用離散的模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運動，利用均值和方差匹配來確定相關(guān)

參數(shù)，然后從二叉樹圖的末端開始倒推可以計算出期權(quán)價格。當二叉樹模型相繼兩步之間

的時間長度趨于零的時候，該模型將會收斂到連續(xù)的對數(shù)正態(tài)分布模型，即布萊克―舒爾

斯定價偏微分方程。

看跌期權(quán)公

△tUdp1-p

0.08331.09050.91700.52660.47342.71

下圖為時間間隔為一個月的二叉樹樹圖

運用二叉樹方法得到歐式看跌期權(quán)力為2.62美元，由布萊克-舒爾斯公式計算可得

人=2.38,因此美式看跌期權(quán)的更優(yōu)估計值為fA=fA+fE-fE-2.47美元。

3.蒙特卡羅方法是通過多次隨機抽取標的資產(chǎn)價格的路徑，并據(jù)此計算每條路徑下的期權(quán)回

報，然后把期權(quán)平均回報貼現(xiàn)得到期權(quán)價格。蒙特卡羅模擬的主要優(yōu)點包括：易于應用；適

用廣泛，尤其適用于復雜隨機過程和復雜終值的計算，如路徑依賴期權(quán)，多個標的變量的期

權(quán)等。同時，在運算過程中蒙特卡羅模擬還能給出估計值的標準差。蒙特卡羅模擬的缺點主

要是：不能為美式期權(quán)定價，難以處理提前執(zhí)行的情形；為了達到一定的精確度，一般需要

大量的模擬運算。

4.使用的公式為s（f+&）=s（f）exp］-q.［卜+.疝］，注意從Excel軟件中有抽取。到

1之間的均勻分布隨機數(shù)的程序?！昕梢酝ㄟ^下式獲得：

i=l

其中4412）是相互獨立的0到1均勻分布的隨機數(shù)。

5.有限差分方法和樹圖方法是相當類似的。實際上很多人認為樹圖方法就是解出一個偏微分

方程的一種數(shù)值方法，而有限差分方法其實是這個概念的一個擴展和一般化。這兩種方法都

用離散的模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運動，主要差異在于樹圖方法中包含了資產(chǎn)價格的擴散和

波動率情形，而有限差分方法中的格點則是固定均勻的，相應地參數(shù)進行了相應的變化，以

反映改變了的擴散情形。其中三叉樹方法和顯性有限差分法就非常類似。

6.根據(jù)題意

r=0.10,Ar=0.0833,AS=4,cr=0.30,S=20,X=21,T-f=0.3333,運用顯性有限差分法為

該期權(quán)定價的結(jié)果如下表所示。

股票價格到期時間

（美元）43210

"^o67oo676o676oo76oo.oo

360.000.000.000.000.00

320.010.000.000.000.00

280.070.040.020.000.00

240.380.300.210.110.00

201.561.441.311.171.00

165.005.005.005.005.00

129.009.009.009.009.00

813.0013.0013.0013.0013.00

417.0017.0017.0017.0017.00

021.0021.0021.0021.0021.00

第13章

1.一份看漲期權(quán)多頭和一份執(zhí)行價格和到期期限都相同的看跌期權(quán)空頭組合的收益

等于一份標的資產(chǎn)的多頭。用期權(quán)組合盈虧圖的算法也可以得出，看漲期權(quán)多頭(0,+1)

加上看跌期權(quán)空頭(+1,0)等于(+1,+1)即標的資產(chǎn)多頭。

2.看漲期權(quán)的反向差期組合

一份看漲期權(quán)多頭與一份期限較長的看漲期權(quán)空頭的組合，稱看漲期權(quán)的反向差期組合。

看跌期權(quán)的反向差期組合

一份看跌期權(quán)多頭與一份期限較長的看跌期權(quán)空頭的組合，稱看跌期權(quán)的反向差期組合。

3.牛市差價組合可以由一份看漲期權(quán)多頭與--份同一期限較高協(xié)議價格的看漲期權(quán)空

頭組成，也可以由一份看跌期權(quán)多頭與一份同一期限、較高協(xié)議價格的看跌期權(quán)空頭組成。

由于協(xié)議價格越高，看漲期權(quán)價格越低，看跌期權(quán)價格越高，因此用看漲期權(quán)構(gòu)造的牛市差

價組合期初現(xiàn)金流為正，而用看跌期權(quán)構(gòu)造的牛市差價組合期初現(xiàn)金流為負。

設執(zhí)行價格為X和/,x2>x,0則兩者的最終收益差距如下表:

ST的范圍看漲期權(quán)牛市價差看跌期權(quán)牛市價差收益差異

組合組合

ST>X2X2—X、+C2-CjPl~/乙X2-X、+。2-C]—〃2+P]

=X2-X]+(c2-p2)-(ct-pt)

nr

=X2-Xl+(S0-X2e-)-(S0-Xte-')

n

=(X2-X,)(l-e-)>0

、

X]<ST<X2S-p—X+c2—CjST-X2+p2-P]同上

ST<X]Xj-X2+p2-同上

可見，前者的最終收益大于后者。

4.由看漲期權(quán)構(gòu)造的蝶式差價組合初始投資為2c2-4-3,由看跌期權(quán)構(gòu)造的蝶式差價組

合的初始投資為2%-乃-03。兩者初始投資之差等于2（0-%）_（4-化）-心-外）由看跌看漲期權(quán)

平價公式可知，c「p,=S-X，m,i=l23,而2X?=X1+X3,因此兩者初始投資是相等的。兩者

的最終收益差距如下表：

ST的范圍看漲期權(quán)構(gòu)造的看跌期權(quán)構(gòu)造的收益差異

蝶式差價組合蝶式差價組合

2c2-C[-C3

2P2-Pl-P32c2一6一。3-(2。2-P「P3)

=2(。2-P2)一@-Pi+C3-P3)

nrt-rt

=2(X2e--S)-(Xie--S+X3e-S)

rt

=e-(2X2-Xl-X3)

=0

X]<sr<x2Sf—X?+2C*2—Cj—qS7-X]+2〃2_P]_P3同上

—

x—cx,X3一+2c2—C]Xy—ST+2c,-Cj-C3同上

2c2-c「C3

ST>X332P2-p,-Pi同上

可見，兩者最終收益都相同。

5.在預期股票價格下跌時，投資者為了獲利可以投資看跌期權(quán)、看漲期權(quán)空頭、熊市差

價組合、看漲期權(quán)的熊市反向?qū)墙M合、看漲期權(quán)的熊市正向?qū)墙M合、看跌期權(quán)的熊市反

向?qū)墙M合、看跌期權(quán)的熊市正向?qū)墙M合等。

第14章

1.Delta值為0.7意味著此時該看漲期權(quán)的標的股票每上漲1元錢，該看漲期權(quán)的價格就應

該上漲0.7元錢。若每個期權(quán)的Delta值均為0.7,要使一個1000個看漲期權(quán)的空頭變

成Delta中性，則必須買入700份股票，或者進入標的為700份該股票的遠期的多頭。