名師教案 高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第三冊(cè) 弧度制及其與角度值的換算

7.1.2弧度制及其與角度值的換算教案教學(xué)課時(shí)：1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1、類比1度的概念，理解1弧度的角及弧度的概念；2、掌握角度與弧度之間的換算公式，并能熟練進(jìn)行角度與弧度的換算；3、理解并掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式，并能靈活運(yùn)用；4、學(xué)生在探究弧度制概念及其與角度值的換算公式的過(guò)程中，體會(huì)類比的思想、轉(zhuǎn)化化歸的思想、歸納推理的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：理解弧度制的定義；正確進(jìn)行弧度與角度的換算；弧長(zhǎng)和面積公式及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：弧度制引入的必要性以及定義的合理性.教學(xué)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情境問(wèn)題1：一個(gè)矩形長(zhǎng)1米，寬50厘米，試計(jì)算這個(gè)矩形的面積.【學(xué)生活動(dòng)1】學(xué)生自主完成計(jì)算.【教師活動(dòng)1】教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生計(jì)算結(jié)果.問(wèn)題2：長(zhǎng)度單位既有國(guó)際公制，又有中國(guó)市制，不同的單位制度會(huì)給不同環(huán)境下解決問(wèn)題帶來(lái)方便.除了米以外，還有尺、英尺、碼（約91.4厘米）、海里等，你還能舉出生活中類似的實(shí)例嗎？【學(xué)生活動(dòng)2】由學(xué)生口答.【教師活動(dòng)2】教師補(bǔ)充學(xué)生列舉的實(shí)例，引出角既可以用角度來(lái)度量，也可以用弧度來(lái)度量.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)以上兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生感受到無(wú)論在數(shù)學(xué)中，還是在實(shí)際生活中，同一個(gè)量可以有不同的度量單位，不同背景下可根據(jù)實(shí)際需要選擇不同的度量單位.同時(shí)，在同一個(gè)問(wèn)題中不同的度量單位之間不能直接運(yùn)算，需要進(jìn)行換算成統(tǒng)一單位才能計(jì)算.為弧度制的引入做好鋪墊.二、構(gòu)建概念問(wèn)題3：在初中幾何里，1°的角是怎樣定義的?度、分、秒之間采用什么進(jìn)制？【學(xué)生活動(dòng)3】由學(xué)生回憶并口答.【教師活動(dòng)3】教師點(diǎn)撥：“度”定義中的關(guān)鍵詞—等分，角度制—60進(jìn)制.【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生已經(jīng)知道用角度度量角，這點(diǎn)很重要，它是弧度教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ).60進(jìn)制的角度制給運(yùn)算帶來(lái)不便，考慮給出新的度量角的單位制度.給出弧度制引入的必要性.問(wèn)題4：折扇在打開(kāi)、合攏的過(guò)程中，可以看成是扇形的圓心角在變大、變小.那么在這個(gè)過(guò)程中，哪些量在發(fā)生變化？哪些量沒(méi)變？圓心角的大小與半徑有關(guān)嗎？【學(xué)生活動(dòng)4】學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，觀察GGB演示動(dòng)畫(huà)1，將折扇抽象成扇形，體會(huì)折扇在打開(kāi)、合攏的過(guò)程中，扇形的圓心角的變化情況，并回答：扇形半徑不變，扇形的圓心角隨弧長(zhǎng)的增大而增大，隨弧長(zhǎng)的減小而減小.【教師活動(dòng)4】教師引導(dǎo)學(xué)生觀察GGB演示動(dòng)畫(huà)，對(duì)回答問(wèn)題的學(xué)生及時(shí)鼓勵(lì).問(wèn)題5：在射線上任取兩點(diǎn)A,B，繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到兩段弧.那么，這兩段弧的半徑相等嗎？所對(duì)的圓心角相等嗎？圓心角的大小與半徑有關(guān)系嗎？你能利用學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行解釋嗎？【學(xué)生活動(dòng)5】學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論形成小組意見(jiàn)，最后展示本組討論結(jié)果.【教師活動(dòng)5】教師演示GGB動(dòng)畫(huà)2，并參與到學(xué)生的討論中，鼓勵(lì)學(xué)生借助初中的弧長(zhǎng)公式展開(kāi)討論.師生共同得到討論結(jié)果：扇形的圓心角與半徑無(wú)關(guān)，與弧長(zhǎng)和半徑的比值成正比，即.問(wèn)題6：通常，我們把叫做角的弧度數(shù).那么如何定義1弧度的角呢？你能給出弧度制的概念嗎?【學(xué)生活動(dòng)6】由學(xué)生自主給出1弧度和弧度制的定義，提高學(xué)生概括歸納能力.【教師活動(dòng)6】教師評(píng)價(jià)學(xué)生回答的問(wèn)題.追問(wèn)：弧度制下的扇形弧長(zhǎng)公式是什么？教師板書(shū)：弧度制（這只是本節(jié)課課題的前半部分）.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，解釋引入弧度制的合理性.通過(guò)問(wèn)題4、問(wèn)題5，學(xué)生發(fā)現(xiàn)扇形的圓心角的大小與半徑無(wú)關(guān)，引起學(xué)生的思維沖突，大膽猜測(cè)與弧長(zhǎng)和半徑的比值有關(guān)系.不論是定性、定量還是幾何直觀，得出共同的結(jié)論：同一個(gè)圓心角所對(duì)的弧與它所在圓的半徑的比值是一個(gè)常數(shù)，與圓半徑的大小無(wú)關(guān).（弧度制的唯一確定性，即合理性）問(wèn)題7：請(qǐng)你用尺規(guī)作圖，測(cè)量1弧度的角等于的角嗎?你能說(shuō)出角度制和弧度制的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)嗎？【學(xué)生活動(dòng)7】學(xué)生自己利用圓規(guī)畫(huà)出1弧度的角，用量角器測(cè)量后，發(fā)現(xiàn)1弧度的角大約是，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的角.對(duì)于角度值與弧度制的聯(lián)系和區(qū)別，小組間展開(kāi)討論，并展示討論結(jié)果：1.角度制是“等分”出來(lái)的，而弧度制“用圓的半徑作單位去度量弧”來(lái)刻畫(huà)的，即圓心角的弧度數(shù)就是弧長(zhǎng)與半徑的比值.2.角度制是六十進(jìn)制，而弧度制是十進(jìn)制，弧度是實(shí)數(shù).3.角度制的單位是，而弧度制的單位是1弧度.【教師活動(dòng)7】教師根據(jù)學(xué)生的回答，進(jìn)行補(bǔ)充完善.弧度單位rad可以省略不寫(xiě).不論是以“弧度”還是以“度”為單位，角的大小都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值.【設(shè)計(jì)意圖】角度制與弧度制的區(qū)別、聯(lián)系、變化，新舊概念的辯證統(tǒng)一.問(wèn)題8：請(qǐng)獨(dú)立填寫(xiě)下列表格.并回答：角度制、弧度制之間如何換算？

【學(xué)生活動(dòng)8】如圖,半徑為r的圓的圓心與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的正半軸重合,交圓于點(diǎn)A,終邊與圓交于點(diǎn)B.【教師活動(dòng)8】追問(wèn)：如果把角的旋轉(zhuǎn)方向變?yōu)轫槙r(shí)針，你能得到怎樣的結(jié)論？教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般來(lái)探究弧度制與角度制之間的換算公式.同時(shí)教師板書(shū)課題的另一部分：及其與角度值的換算.追問(wèn)：特殊地，1弧度近似為多少度？1度近似為多少弧度？【設(shè)計(jì)意圖】總結(jié)角度與弧度的互化，明確核心公式，以及弧度制與角度制之間的換算公式.三、例題講解例1（課本10頁(yè)）把化為弧度（用表示），并在平面直角坐標(biāo)系下作出它們的終邊.例2（課本10頁(yè)）把化為角度.變式練習(xí)：請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表【設(shè)計(jì)意圖】角的概念推廣以后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:即每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）與它對(duì)應(yīng).學(xué)生能熟練套用公式解決問(wèn)題.要求學(xué)生熟練掌握特殊角角度與弧度的換算.例3（課本10頁(yè)）利用弧度制推導(dǎo)扇形的面積公式，其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，r是扇形的半徑.練習(xí)：1.推導(dǎo)扇形的面積公式，其中是扇形的圓心角，r是扇形的半徑.2.已知扇形圓心角為，半徑為2cm，求扇形的面積.【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生獨(dú)立完成，展示交流，教師在學(xué)生解題思路和規(guī)范性方面進(jìn)行指導(dǎo).要求學(xué)生熟練掌握弧度制的扇形面積公