理數(shù)高考試題答案及解析-重慶

親愛的同學(xué):

經(jīng)過一番刻苦學(xué)習(xí)，大家一定躍躍欲試地展

示了一下自己的身手吧！那今天就來小試牛刀

吧！注意哦：在答卷的過程中一要認(rèn)真仔細(xì)哦!

不交頭接耳，不東張西望！不緊張！養(yǎng)成良好的

答題習(xí)慣也要取得好成績的關(guān)鍵!

祝取得好成績！一次比一次有進(jìn)步!

A.(D.IDC.ZUU.

【解析】選B

a,=1,/=5=>S5=—；x5-x5=15

2.不等式上L<0的解集為

2x+l

【解析】選A

x-1(2x+l)(x-l)<0

W0o<?--<%<1

2x+l2x+1H02

A.B.2U

3.對任意的實(shí)數(shù)k,直線y=kx+l與圓/+y2=2的位置關(guān)系一定是

A.相離B.相切C.相交但直線不過圓心D.相交且直線過圓心

【解析】選C直線y=Ax+l過圓內(nèi)內(nèi)一定點(diǎn)（0,1）

、8

4.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為

2五,

A.史3535

Dn.--C.——D.105

1684

【解析】選B

方取得次數(shù)為1:1（4:4）,展開式中常數(shù)項(xiàng)為C；X（-）4=—

2y1x28

5、設(shè)1211012!1/?是方程》2-3》+2=0的兩個(gè)根，則tan(a+￡)的值為

(A)-3(B)-1(C)1(D)3

【解析】選A

tana+tan￡=3,tan<2tan/?=2,tan(a+0)=,3"+'n

1-tan<2tan/3

6、設(shè)光,yeR,向量a=(x,l),3=(l,y),c=(2,-4),且aJ,c,3〃c,則a+B=

(A)y/5(B)VlO(C)2V5(D)10

【解析】選B

---(2x—4=0x=2

a_Lc,0//c=〈==>,+q=|(3,-i)|=Vio

2y=-4-2

7、己知/（X）是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f（x）為［0,1］上的增函數(shù)”是

“/（X）為［3,4］上的減函數(shù)”的

（A）既不充分也不必要的條件（B）充分而不必要的條件

（C）必要而不充分的條件（D）充要條件

【解析】選。

由/（x）是定義在R上的偶函數(shù)及［0,1］雙抗的增函數(shù)可知在口⑼減函數(shù)，又2為周期,

所以【3,4】上的減函數(shù)

8、設(shè)函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為了'(X)，且函數(shù)y=(1—幻/'(%)

的圖像如題(8)圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是

(A)函數(shù)/(X)有極大值/(2)和極小值/(I)

(B)函數(shù)/(x)有極大值/(—2)和極小值/⑴

(O函數(shù)/(X)有極大值/(2)和極小值/(-2)

(D)函數(shù)/(x)有極大值/(—2)和極小值/(2)

【解析】選。

龍>1時(shí)，f\x)<0=1<x<2,/'(x)>00x>2

x<l時(shí)，/'(x)<0=-2<x<l,/'(x)>0=x<-2

得：八x)<0=-2<x<2,/'(x)>0=x<-2或x>2

函數(shù)/(x)有極大值/(-2)和極小值/(2)

9、設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,、回和。，且長為。的棱與長為行的棱異

面，則a的取值范圍是

(A)(0,V2)(B)(0,V3)(C)(1,V2)(D)(1,V3)

【解析】選A

取長V2的棱的中點(diǎn)與長為a的端點(diǎn)B,C；則AB=AC='一na=BC<J5

2

(y-x)(y」)？0",8=22

10、設(shè)平面點(diǎn)集A=〈(x,y){(x,y)|(x-l)+(y-l)<l},則

X

Afi8所表示的平面圖形的面積為

334萬

(A)—7T(B)—K(C)—71(D)—

4572

【解析】選。由對稱性：

yAx,y之3,(x-l)2+(y-V1圍成的面積與yVx,yN1,(x-1了+(y—1)?<1

xx

圍成的面積相等得：ACB所表示的平面圖形的面積為yWx,(x-l)2+(y-l)2W1

圍成的面積既,*萬火2=三

22

二填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案分別填寫在答題卡相應(yīng)位置

上

11、若（l+i）（2+i戶a+bi,其中為虛數(shù)單位，則a+b=

【解析】a+b=4

(1+z)(2+1)=1+3，=。+初=〃=1,。=3=>。+。=4

12>lim,-----=----

【解析】lim,—=_____-

'is+5〃一幾5

..1-J-2+5-+/―J1+5//+12

lim/:----=lim-----------------=lim-----------------=—

f5n555

13、設(shè)AA3c的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a/,c,且cosA=±cos5=?,/?=34ijc=

513

14

【解析】c=—

5

cosA=-,cosB=一,/?=3=>sinC=sin(A+B)=—

51365

bchsinC14

------=-------c-----------二—

sinBsinCsinB5

75

14、過拋物線/=2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,5兩點(diǎn),^\AB\=^,\AF\<\BF\,則

網(wǎng)=---------------

【解析】|AF|=-

25

\AF\=m,\BF\=n,Z.AFx=m+i1=—

12

設(shè)

=p+mcos0,n=p-ncos8(p=1)=>=*

m

6

15、某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課個(gè)1

節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答）.

3

【解析】概率為-

5

語文、數(shù)學(xué)、英語三門文化課間隔一節(jié)藝術(shù)課，排列有種排法，語文、數(shù)學(xué)、英語三門文化

課相鄰有用用種排法，語文、數(shù)學(xué)、英語三門文化課兩門相鄰有用種排法。

故所有的排法種數(shù)有在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為13

5

三解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16、(本小題滿分13分，(I)小問6分，(II)小問7分.)

13

設(shè)/(x)=alnx+——+—x+1,其中aeR,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線垂

2x2

直于y軸.

(I)求a的值；

(II)求函數(shù)/(幻的極值.

17、(本小題滿分13分，(I)小問5分，(II)小問8分.)

甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，.約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲

勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為！，乙每次投籃投中的概率

3

為,，且各次投籃互不影響.

2

(I)求甲獲勝的概率；

(II)求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)J的分布列與期望

18、(本小題滿分13分(I)小問8分(II)小問5分)

設(shè)/(x)=4cos(fi?x——)sina)x-cos(2cox+7t),其中㈤>0.

6

(I)求函數(shù)y=/(x)的值域

(ID若/(x)在區(qū)間-蕓，］上為增函數(shù)，求。的最大值。

19、(本小題滿分12分(I)小問4分(II)小問8分)

如圖，在直三棱柱A8C-A4G中，AB=4,AC=BC=3,D為AB

的中點(diǎn)

(I)求點(diǎn)C到平面4A的距離；

(n)若A。，求二面角4一co—G的平面角的余弦值。

20、（本小題滿分12分（I）小問5分（II）小問7分）

如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)0,長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A,左右焦點(diǎn)分別為月,工，線段

。耳,。鳥的中點(diǎn)分別為耳，區(qū)，且用坊是面積為4的直角三角形。

（I）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

（11）過用做直線/交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，使P&LQB2,求直線/的方程

21、（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分。）

設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”滿足Sn+i=a2Sn+q,

其中%甲0。

（I）求證：｛%｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；

n

（II）若。2>-1，求證：S“45（q+Q〃），并給出

等號成立的充要條件。

2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)

數(shù)學(xué)(理)試題答案

(試題與答案全word版，全面校對)

參考答案

一、選擇題

12345678910

BACBABDDAD

—?、填空題

21453

11、412、-13、14、-15、-

565

:、~~二、解答題：

16：解：（1）因/（x）=alnx+，3、a13

+^x+l，故/'（X）=-------+一

2xx2x22

由于曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0,即/'(1)=0,

13

從而。一一+—=0,解得。=一1

22

13

(2)由(1)知ffx)=—InX4----1—>0)9

2x2

令/'(X)=O,解得玉=1,%2=-；(因無2=—；不在定義域內(nèi)，舍去)，

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，/")<0,故“X)在(0,1)上為減函數(shù)；

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，八力>0,故/(x)在(1,+8)上為增函數(shù)；

故/(x)在x=l處取得極小值"1)=3。

17、解：設(shè)A*,々分別表示甲、乙在第4次投籃投中，則

「(4)=；,P⑻卷0(1,2,3)

（1）記“甲獲勝”為事件C,由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概

率計(jì)算公式知，P（C）=P（A）+P（無瓦4）+P（A瓦可瓦a）

=P（A）+P（X）P（瓦）P（4）+P（QP（瓦）P（4）P（瓦）P（A）

」+2/x邛"1

x-

3323UJ⑶3

11113

=--1—i-----=

392727

（2）J的所有可能為：1,2,3

由獨(dú)立性知：P(^=l)=P(A)+/,(M)=|+|x|=|

P?=2)=P(福&)+咽瓦哥2)=2

22

2

P4=3)=P=

I9

綜上知，J有分布列

123

4

P22

399

22I13

從而，E^=lx-+2x-+3x-=—(次)

3999

(垂)j、

18、解：(1)/(%)=4—?cos(ox+—sina)xsin0x+cos2<wx

、22,

=2百sinoxcos5+2sin26yx+cos?ox-sin?cox

=百sin2cox+1

因—l〈sin20x〈l,所以函數(shù)>=〃x)的值域?yàn)閇1一6』+6]

jrTT

(2)因y=sinx在每個(gè)閉區(qū)間2?一,,2版?+§(ZeZ)上為增函數(shù)，故

/(x)=J^sin2fyx+l(0>0)在每個(gè)閉區(qū)間+(ZeZ)上為增函數(shù)。

,t.口k*,3%7Uk兀7Ck7t,u.....,、，,.cT□

依題顯知----,—c-----------,—+——對某個(gè)ZeZ成m,此時(shí)必有人=0,于是

_22J[694004(?

3%〉兀

<24",解得。<_L,故。的最大值為工。

乃<"66

.5一?

19、解：（1）由AC=BC,。為A3的中點(diǎn)，得CDJ_AB,又CDJ.A4-故COJ_面4484,

所以點(diǎn)C到平面AABB,的距離為CD=^BC2-BD2=V5

⑵如圖，取R為44的中點(diǎn)，連結(jié),則。A〃44,〃CG,又由（1）知CD_L面4ABB],

故CD_L4。CO_L,所以NADR為所求的二面角A,-CD-C,的平面角。

因A。為4c在面AA34上的射影，又已知A4J.4。，由三垂線定理的逆定理得

AB,1A,D,從而N4Aq,NAD4都與NqAB互余，因此N4A⑸=/4加，所以

RtOA.ADORGB^A,因此，曲=",即=A0aAg=8,得A41=2返。

AD⑨

從而40=J/VV+AD?=26,所以,在RZDAQR中，cos^^=—=—=—

A。A。3

22

20、解：設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+方=l（a>/?>0）,右焦點(diǎn)為6（c,0）。

因危是直角三角形，又|A團(tuán)=故N4A與為直角，因此|0川=|0因,

得人=￡。

2

C2r-

結(jié)合02=/一/得4/=/一/,故/=5匕2?2=4從，所以離心率e=±=士石。

a5

在於出刊片與中，。4_1_31層，故

$叱=就聞例=|。因qoA|=|?=/

由題設(shè)條件S=4,得6=4,從而。2=5〃=20。

UnD\D2

因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

22

龍+）’=1

204

（2）由（1）知用（—2,0）,B（2,0）,由題意知直線/的傾斜角不為0,故可設(shè)直線/的方程為:

x-my-2,代入橢圓方程得+5）＞2-4加y-16=0,

設(shè)尸（王，％）,。（々，必），則y,%是上面方程的兩根，因此

4〃z16

X+J口%=一一

m+5m+5

又瓦A=（%—2，X）,瓦0=（/—2,必），所以

B2P\JB2Q=（玉一2）（々-2）+X%

=（啊1—4）（陽2-4）+%必

=（"'+1）y必-4〃z（y+%）+16

16畫+1）i6；n2

=——-----一一—+16

m~+5m~+5

16m2-64

m2+5

由尸與，Q4,得瓦麗瓦至=0,即16/—64=0,解得加=±2,

所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為：x+2y+2=0和x-2y+2=0

21>（1）證明：由52=。2$|+。1，得4+%=+。1，即。2=%%。

因出。0,故q=l，得”=%，

q

又由題設(shè)條件知Sn+2-a2s“+i+q，S“+I=a2Sn+a,

兩式相減得S〃+2-S向=%（S用一S〃），即a〃+2=%4川，

由生。0,知〃〃+］。0,因此‘生W=。2

綜上，與乜=出對所有〃€^^成立，從而｛《,｝是首項(xiàng)為1,公比為出的等比數(shù)列。

17

（2）當(dāng)〃=1或2時(shí)，顯然S〃=5（4+a〃），等號成立。

設(shè)。2>一1且%。0，由（1）知，4=1,〃〃=%〃1所以要證的不等式化

為：

]++------1~?03（1+?"23）

即證：1++^2+…+^2—■"2~（1+%"）（〃22）

當(dāng)4=1時(shí)，上面不等式的等號成立。

當(dāng)一1<。2<1時(shí)，1與1，（〃=1,2,3,—1）同為負(fù)；

當(dāng)4>1時(shí)，。2〃一1與％”「一1，（r=l,2,3,-??,?-1）同為正；

因此當(dāng)。2>-1且。2工1時(shí)，總有（%,一1）（%"一,一1）>0,即

。二+?“'<1+，（r=1,2,3,…，〃-1）0

上面不等式對廠從1至IJ〃一1求和得，2（生+生2+…+a/r）<（〃-1）（1+%〃）

由此得1+凡++…+。/<———（1+七”）

n

綜上，當(dāng)外>—1且a2Ho時(shí)，有S“W]（4+%）,當(dāng)且僅當(dāng)〃=1,2或％=1時(shí)等號成立。

怎樣調(diào)整好考試心態(tài)

心態(tài)就是一個(gè)人的心情。心情的好壞，會直接地影響

我們工作、學(xué)習(xí)的效果。你也能看到，在體育比賽中，由于

心理狀態(tài)的起伏，參賽選手的發(fā)揮會跟著有較大的起伏。同

樣的道理，心理狀態(tài)的正常與否對參加考試的同學(xué)來說也至

關(guān)重要。心理方面的任何失衡都會使你手忙腳亂，得分率降

低，平時(shí)掌握的內(nèi)容也有可能發(fā)揮不出來；相反，保持良好

的心態(tài)，則會使你如虎添翼，發(fā)揮出最佳水平。

加強(qiáng)心理調(diào)整，保持考前狀態(tài)

考試中的心理偏差有兩種：一是過于放松，難以集中

注意力，總是想起別的東西；二是過于緊張，心跳加快，

手心出汗，有頭暈的感覺。那么如何進(jìn)行考前的心理狀態(tài)

調(diào)整呢？考前應(yīng)該按照一定的時(shí)間順序進(jìn)行自身的心理狀

態(tài)調(diào)整。

在考前10天：每個(gè)學(xué)生的實(shí)力已經(jīng)定型，一般無論怎

么用功，水平也不會有顯著地提高。所以，考生在這個(gè)時(shí)段

主要應(yīng)該進(jìn)行一些提綱挈領(lǐng)的復(fù)習(xí)，即考前復(fù)習(xí)要有所側(cè)

重，特別是檢查一下重點(diǎn)內(nèi)容的掌握情況，如老師明確指定

和反復(fù)強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)內(nèi)容，自己最薄弱的、經(jīng)常出錯(cuò)的地方。

所以，考前10天考生宜看書而不宜做題。通過看書可以溫

習(xí)已有的知識，增強(qiáng)自信心，而做題則不同，一旦題目太難,

就會挫傷自信心。另外，考試前人的精神往往高度集中，理

解力和記憶力在短期內(nèi)急劇提高，因此在這個(gè)時(shí)段內(nèi)應(yīng)該加

強(qiáng)記憶方面的知識，如歷史、地理、政治、英語等，但是也

不可過度緊張而耗費(fèi)考試時(shí)的精力。

在考前3天：這個(gè)時(shí)間很多學(xué)生認(rèn)為萬事大吉，完全不

沾書本，這是十分錯(cuò)誤的。重要內(nèi)容雖然已經(jīng)掌握了，但還

是要適當(dāng)瀏覽一下，如歷史、地理、政冶的基本知識、語文

的文學(xué)常識、英語的單詞、數(shù)學(xué)的公式等。對自己已經(jīng)考過

的試題應(yīng)該看一看，把經(jīng)常出錯(cuò)的地方再強(qiáng)化一下，適當(dāng)?shù)?/p>

做一點(diǎn)“熱身題”。所以，在考前3天還要適當(dāng)?shù)胤喴幌?/p>

書本，這樣做不僅使這些重點(diǎn)內(nèi)容始終在大腦中處于待提取

的激活狀態(tài)，而且可以使自己心里踏實(shí)。

在這3天，應(yīng)該調(diào)整自己的心理狀態(tài)，切不要把弦繃得

太緊，應(yīng)該適當(dāng)?shù)胤潘勺约?，如通過散步、和家人聊天、聽

音樂等方式調(diào)整自己的心態(tài)。此外，還應(yīng)該做好考試的物質(zhì)

準(zhǔn)備，如文具、準(zhǔn)考證、換冼的衣物、考試中提神的香水等。

在考前1天：考試前1天仍然有許多準(zhǔn)備要做，不要認(rèn)

為“萬事俱備，只欠東風(fēng)”，也不要“破罐子破摔”，聽天由

命。在這天應(yīng)注意以下問題，第一，注意自己的飲食，考前

1天應(yīng)該遵循自己平時(shí)的飲食習(xí)慣，可以多加幾個(gè)菜，適當(dāng)

增加肉蛋類食品，但不要為了補(bǔ)充能量而暴飲暴食，以免消

化不良，直接影響第二天的考試；第二，不要參加劇烈的運(yùn)

動，以免體能消耗過大或發(fā)生其他的意外，從而影響第二天

的考試。也不要長時(shí)間地玩棋牌、上網(wǎng)打游戲，以免過度興

奮。適當(dāng)?shù)姆潘珊托菹?yīng)該是最后一天的主旋律；第三，熟

悉考場，應(yīng)該仔細(xì)考察通往考場所在地的交通線路，選擇路

程最短、干擾最少、平時(shí)最熟悉的路線，還應(yīng)該考慮如果發(fā)

生交通堵塞后的應(yīng)對措施。對考場所在學(xué)校、樓層、教室、

廁所以及你的座位位置都要親自查看，做到心中有數(shù)，以防

止不測事件的發(fā)生；第四，要認(rèn)真檢查考試時(shí)所使用的準(zhǔn)考

證、文具等，并把它們?nèi)糠旁谖木吆袃?nèi)，以保證第二天不

出現(xiàn)慌忙現(xiàn)象；第五，如果有的同學(xué)不看書心里就不踏實(shí)，

還要臨陣磨槍，那就不妨把第二天所考科目的課本隨意

翻閱一遍，但不可太動腦筋。如果有的同學(xué)不愿再看書，那

就聽一些輕松歡快的音樂，以放松一下自己；第六，嚴(yán)格按

照平時(shí)的作息時(shí)間上床睡覺，不應(yīng)太晚，也不宜太早，以免

成太早或太晚上床而又不能及時(shí)入睡。睡前可用溫水洗腳，

以幫助自己睡眠，如數(shù)數(shù)、深呼吸等。切不要服用安眠藥，

因?yàn)榘裁咚帟种迫说拇竽X，導(dǎo)致第二天考試不夠興奮。

要增強(qiáng)自信心

要獲取好成績，一定要有自信心。這如同體育運(yùn)動員

一樣，要在比賽中獲取好的名次，應(yīng)該具有良好的競技狀態(tài),

以保證自己能夠發(fā)揮出最好的水平?？忌谶M(jìn)入考場之前，

多想一些有把握獲取好成績的條件，如“自己已經(jīng)全面和系

統(tǒng)地復(fù)習(xí)了"，“考試就像平時(shí)測驗(yàn)，無非在這里多做幾道題

而已”，盡量回憶和憧憬一些美好的事情，設(shè)法使大腦皮層

產(chǎn)生興奮中心，產(chǎn)生一種積極的情緒。

自我放松，緩和緊張的心理狀態(tài)

常用的自我放松訓(xùn)練有以下幾種：

呼吸松弛訓(xùn)練。坐在座位上，雙目微閉，兩腳著地，

雙手自然放在膝上，腳與肩同寬。然后進(jìn)行腹式呼吸3~4次。

吸氣時(shí)用鼻慢慢地吸，先擴(kuò)張到腹部，在擴(kuò)張到胸部，吸足

氣后屏一屏氣，然后用鼻和嘴將氣慢慢地吐出，這個(gè)過程連

續(xù)多次就可以達(dá)到平靜的心理狀態(tài)，消除緊張和憂慮的效

果。

肌肉松弛訓(xùn)練?？荚嚂r(shí)，坐姿要放松，一旦雙手發(fā)生

顫抖或有緊張情緒，可迅速拉緊所有的肌肉，然后立即解除

緊張、也可馬上做深呼吸，反復(fù)兩三次，這時(shí)全身肌肉必會

放松，就可避免生理、心理緊張加劇而引起的惡性循環(huán)。

轉(zhuǎn)移想象訓(xùn)練。轉(zhuǎn)移也是保持良好心境的一種方式。如

涂抹一點(diǎn)清涼油，聽聽音樂，從事散散步、游泳等不劇烈的

體育運(yùn)動，使心態(tài)平衡，頭腦清醒，緊張緩解。

自我暗示訓(xùn)練。要善于利用自我暗示語的強(qiáng)化作用。如可以

暗示自己“今天精神很好”，“考出好成績是有把握的”等等。

自我暗示語要簡短、具體和肯定，要默默或小聲對自己說（不

讓他人聽見，不影響他人答題），這樣，可以通過聽覺說話

運(yùn)動覺等渠道，反饋給大腦皮層的相應(yīng)區(qū)域，形成一個(gè)多渠

道強(qiáng)化的興