信號與系統(tǒng)學習及解題指導

信號與系》是高等學校電子工程、通信工程、信息工程等多種電類專業(yè)以及一些非電專業(yè)的一門主要課程, 于培養(yǎng)這些專業(yè)學生的扎實理論基礎(chǔ)具有十分重要的意義。正是由于本課程的這種特殊地位, 幾乎所有設(shè)置電子學與通信類專業(yè)的高等學校, 在招收這些專業(yè)的 時都把信號與系統(tǒng)》列為必試科目對于大學本科二三年級的學生來說,在學習《信號與系》這門理論性強、涉及的概念和方法十分廣泛的專業(yè)基礎(chǔ),如果不及時復習和練習,會感覺有一定的難度。學生在學到這些概念和方法時,需要通過各種典型例題來加深對這些內(nèi)容的理解和掌握。從我們多年的教學實踐中體會到,學生以典型例題引路,再做一定數(shù)量的練習題是掌握和鞏固所學概念和方法的基本,也是本課程理論聯(lián)系實際的一個主要環(huán)節(jié)。正是基于這樣的考慮,我們把自己多年的教學積累加以整理并吸收一些已有的較好的素材編寫成這本信號與系統(tǒng)的輔助,并取名為《信號與系統(tǒng)學習及解題指導》,希望對于學習本課程的大學生或準備參加入學考試的考生們有所幫助,也可供從事教學或科技工作的人員參考。本書在內(nèi)容體系和編排順序上為連續(xù)時間信號與系統(tǒng)及離散時間信號與系統(tǒng)并重、先連續(xù)后離散以及先輸入輸出后狀態(tài)空間分析,這種體系與我校編寫的《信號與系統(tǒng)教科書相同。對于使用國內(nèi)的其他教科書的讀者,本書的全部內(nèi)容對他們具有同樣的指導意義。全書共分九章,每章內(nèi)容均由下述四個環(huán)節(jié)組成:基本要求。用簡潔和明確的文字學習本章應掌握的基本內(nèi)容,使讀者在學習或復習時能有的放矢、胸中有基本概念和方法。用清晰的文字提煉、概括出本章應掌握的基本概念和基本分析、計算方法,使讀者看到的不是一堆的羅列,而是讓讀者閱讀后能加深對本章內(nèi)容的理解,澄清一些模糊概念。例題解答與分析。這部分內(nèi)容是本書的重點,每章精選了十幾個例題對其進行詳解,有的例題同時給出幾種解法并加以分析比較,并從中歸納出相應的規(guī)律和結(jié)論。讀者閱讀并弄通了這部分內(nèi)容,可使他們應用基本概念和方法求解較復雜習題的能力會有顯著提高。練習題。每章最后都選擇十幾個習題供讀者學習本章時進一步練習使用。為使讀者便于判斷自己做題的正確性,在書后給出了全部練習題的答案供參考。本書第一章至第四章由編寫,第六、八、九章由李禎祥編寫,第五、七章由沈庭芝編寫,全書由統(tǒng)編。曾禹村教授審閱了本書初稿,并對編寫工作提出了寶貴意見由于我們的水平有限,加之編寫過程中可能有疏忽或不妥之處誠懇希望讀者提出寶貴意見供今后再版時進一步修改。編者于理工大19975 第一章信號與系統(tǒng)的基本概念?????????????(11. 基本要求?????????????????? (1 基本概念和方法 例題解答與分析

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(1(13練習題第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析????????????

(39(43 基本要求?????????????????? (43 基本概念和方法 例題解答與分析

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(43(54練習題第三章離散時間系統(tǒng)的時域分析????????????

(81(87 基本要求?????????????????? (873. 基本概念和方法3. 例題解答與分析

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(87(94練習題第四章連續(xù)時間信號的頻譜分析????????????

4. 基本要求?????????????????? 4.基本概念和方法???????????????4.例題解答與分析???????????????練習題第五章連續(xù)時間系統(tǒng)頻域分析?????????????5.基本要求??????????????????5.基本概念和方法???????????????5.例題解答與分析???????????????題??????????????????????離散時間信號的頻譜分析及系統(tǒng)的頻域分析????6.基本要求??????????????????6.基本概念和方法???????????????6.例題解答與分析???????????????題??????????????????????拉斯變換連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析7.基本要求??????????????????7.基本概念和方法???????????????7.例題解答與分析???????????????題??????????????????????z變換離散時間系統(tǒng)的復頻域分析8.基本要求??????????????????8.基本概念和方法???????????????8.例題解答與分析???????????????題??????????????????????連續(xù)時間與離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析?????9.基本要求??????????????????9.基本概念和方法???????????????9.例題解答與分析???????????????題??????????????????????案?????????????????????????????????????????????第一章1. 基本要求消息、信息、信號的基本概念。信號分類。信號的時域描述方法及基本運算。基本連續(xù)離散時間信號。復指數(shù)信號及階躍、沖激(抽樣)信號。系統(tǒng)的基本概念和描述。系統(tǒng)互聯(lián)。系統(tǒng)的線性、時不變性、因果性、穩(wěn)定性、可逆性和性等六大特性。 基本概念和方法.消息、信息、信消息(或信息)是借助各種傳遞(系統(tǒng))給人們帶來很多新知識,例如,電報中的電文, 中,電視中的圖像等。其中電報、、電視這些系統(tǒng)就是傳遞,而被傳遞的電文、聲音、圖像是帶給人們的消息或信息。為了達到傳遞信息的目的所采用的基本方法是先把待傳遞的信息送入一個載體,如電壓、電流、壓力、溫度等等,然后借助系統(tǒng)即傳遞對這些載有信息的載體進行必要的加工 如此來實現(xiàn)傳遞信息即通信的目的從上述信息傳遞的過程可以得出信號的定義以及信號與系統(tǒng)的密不可分的關(guān)系這就是信號是反映或曰載有信息的各種物理量,是系統(tǒng)直接進行加工、變換以實現(xiàn)通信的對.信號的描述與運算對信號進行描述(或說表示)的基本形式是用相應的時間函數(shù)來反映信息的變化無論載有信息的是哪種物理量都采用一般化的時間函數(shù)x·)描述它,其中的圓點代表與時間t量綱為秒有關(guān)的宗量,它可以是在(-∞.TIF;E+∞域內(nèi)連續(xù)取值的t,也可以是含有t的某表達式,如t),x2t),x3-(t/2等等。時間函數(shù)的自變量當取為(-∞)域內(nèi)整數(shù)值n無量綱n的表達式,如x[n],x[2nx[3-(n/2等等,則稱這一類信號為離散時間信號或稱序列。與此相對應,則把x(t),x2t等信號稱為連續(xù)時間信號。一個與時間無關(guān)的信號,若寫為x(t)=K(常數(shù)),則是連續(xù)時間信號;若寫為x[n]=K常數(shù)),則是離散序列。x(·)可用一個具體的數(shù)學表達式來描述,也可以用對應的圖形或波形來表示。在頻域內(nèi)還可以用其頻譜表示,頻譜的概念將在第四章給出。對于函數(shù)構(gòu)架已確定的x·),把宗量取為tt的表達式,這二者之間存在確定的波形變換關(guān)系。讀者應切實掌握反轉(zhuǎn)、移位、尺度伸縮等三種變換關(guān)系,即反轉(zhuǎn):在波形上繞縱軸反折180,這相應于函數(shù)x(·)僅對宗量中的t代之以-t移位:在波形上沿橫軸移動t0,這相應于函數(shù)式x僅對宗量中的t代之以t-t0。如t0>0 波形向右移動t0t00,波形向左移動|t0|尺度伸縮 在波形上沿橫軸相對于原點拉伸或壓縮倍 這相應于函數(shù)式x(·)僅對宗量中的t代之以at。||>1 波形壓縮a倍 |a|<1 波形拉伸a倍上述這些變換規(guī)則同樣適用于離散時間信號,但需要注意兩點:①函數(shù)宗量中的t應寫成n,常數(shù)t0寫成整常數(shù)n0。②伸縮倍數(shù)a應寫成整常數(shù)K1/K,拉伸時使宗量中的nnK,這時僅當n/K等于整值時取原序列的對應值,n/K為非整值時則取零值。而當宗量中的nKn,這時會失去原序列的某些值,從而使序列被壓縮。信號的基本運算除了前述三種變換外,還包括信號瞬時將在后面通過解題舉例對其中的某些基本運算進行練習。.基本連續(xù)/離散時間信號復指數(shù)信號。這類信號既是線性時不變系統(tǒng)分析中最常用的信號,也是自然界中用于描述眾多物理現(xiàn)象的基本連續(xù)型:x(t)=ceat, c、a一般取復數(shù)。根據(jù)c、a取值形式不同, 可把該信號分為①實指數(shù)信號:ca都取實數(shù)②單位復指數(shù)信號 c=1,a=③復指數(shù)信號:c=|c|ejθ a=σ+單位復指數(shù)信號是這類信號中最重要的形式 表示x(t)=ejωt=cosωt+j 上式描述的信號是一個周期信號 其基波周期記為T(單為秒),它與振蕩頻ω單位弧度/秒之間滿足ωT=2π(弧度) (12)把式(11)和(12)結(jié)合起來可知,對于給定的ω,每當t的增量達到T,信號x(t)則重復前一個周期的變化規(guī)離散型 x[n]=cαn,cα一般取復數(shù)。根據(jù)c、α取值該信號分為①實指數(shù)序列 ②單位復指數(shù)序列 c=1,α=③復指數(shù)序列 c=|c|ejθ,α=|α|同樣其中單位復指數(shù)序列是其基本形式 寫x[n]=ejΩn=cosΩn+jsinΩn 其中Ω為數(shù)字頻率(單位是弧度,不是弧度/秒),當其與2π之比等于兩個正整數(shù)之比, Ω m,或ΩN m( x[n是一個周期序列,其基波周期為N無量綱,且當Nm互質(zhì)xnxt分別如式11和13),它們之間有相似的一面,如在時域內(nèi)呈周期性;但也有重要的不同,這就x[n具有雙周期性,即x[n在頻域內(nèi)也呈周期性。頻域周期性來源于序列變數(shù)n的整值性,如ej(Ω+2π)n=ejΩn·ej2πn=顯見數(shù)字頻率Ω每當增量達到2π,則使x[n得以重復。在數(shù)字信號處理領(lǐng)域,一般取0～2π為Ω的主值區(qū)間。將單位復指數(shù)序列的雙周期性綜合考慮,可以得出如下重要結(jié)論:若用不同數(shù)字頻率的一組周期復指數(shù)序列構(gòu)造一 m2π個集合eN,則集合中僅有N個分量是獨立的,即在主值區(qū)間m012,N-1。而且在這N個分量中其振蕩速率不是隨m單調(diào)增加,Ω接近π的奇數(shù)倍,振蕩最快;Ω接近π的偶數(shù)倍振蕩最慢,故一般稱Ω=π為折迭頻率。階躍和沖激抽樣信號。這類信號也是線性系統(tǒng)分析中最常用的信號,尤其是沖激(抽樣)信號,掌握它的應用是現(xiàn)代科學工作者必備的基礎(chǔ)。在自然界中可把這類函數(shù)作為一些物理現(xiàn)象的理想化數(shù)學描述。連續(xù)型①單位階躍信號uu(t)②單位沖激信號δ(

0,t<1,t>

δ(t)=0,t≠∞

上述兩種信號的定義式中,其自變量t也可代之以宗量“·”它可代表tt的表達式。如此處理和理解就較容易地解決看似很難的問題。我們知道,定義一個普通函數(shù)xt就是對于每一個t值指定一個數(shù)的過程。用這樣的觀點來式(16)定義的δt顯然它有別于普通函數(shù)而且δt的各階導數(shù)也是如此。這種函數(shù)一般稱為奇異函數(shù)或分配函數(shù)。如果用分配函數(shù)的方法定義δ(t)及其各階導數(shù),第一步要構(gòu)造一個試驗數(shù)集{φ(t)},它包括的每一個函數(shù)應具有任意階導數(shù),且當t→∞時它們比t的任意次冪更快地趨于零(定義某些分配數(shù)時,此條件可以放寬)。第二步令待定義的分配函數(shù)為gt則定義gt的過程就是對{φt中每一個函數(shù)φt分配一個數(shù)的過程。例如,單位階躍函數(shù)gt)=ut的分配函數(shù)定義 0 utφt指定的數(shù)是φtt0至∞所覆蓋的面積里試驗函數(shù)φ(t)應滿足前面條件。單位沖激函數(shù)的分配函數(shù)定義:∞- δ(t)為φ(t)指定的數(shù)是φ(t)在t=0的值 這里的試驗函數(shù)φt只要求其在t=0處連續(xù)。作為式1-8的推廣,下式也成立:∞ 類似地δtk導數(shù)定∞∫-∞(k)(t-t0)φ(t)dt=(-1)kφ(k)(t0 ( 其中k=0,1,2,?。k=0即為式(1 9)定義的單位沖激函數(shù), k=1為單位沖激偶(1)(t)的定義等等。用分配函數(shù)的運算規(guī)則可以證明下述關(guān)系①奇偶性(k)(-t)=(-1)kδ(k)(t),k≥ ( 由此得δt是偶函數(shù),(1)t是奇函數(shù)等等②尺度變換(k)(at) ak+

(k)(t),k≥0,a> ( ((③與普通函數(shù)相

(t-t0)

∑k=∑

(-1)k

x(

(t(n(t0

(t-t0其 n n n≥ k!(n-k)

( 由此 x(t)δ(t-t0)=x(t0)δ(t-t0x(t)δ(1)(t-t0)=x(t0)δ(1)(t-t0) x(1)(t0)δ(t-t0④δt與ut的換算關(guān)δ(t)=du(

( tu(t)-δ(τ) ( ∞單位沖激函數(shù)δ(t)還可以用普通函數(shù)的廣義極限來定義,例如,我們?nèi)裟苷业揭粋€普通函數(shù)序列fn(t),對于每一試驗函數(shù)φt),如下形式的極限存在且等于φ(0),即∞

( -則在式(18的意義上把fntn→∞的極限定義為δt)。下面通過一個具體例子來說明。圖11是一個面積為1的矩形脈沖rΔt而且當Δ0時,其面積仍保持為1。我們以rΔt作為式(116)中的普通函數(shù)fnt),并設(shè)試驗函數(shù)φtt=0處連續(xù)。根據(jù)式 16)可寫

圖

Δ→

- Δ→0Δ由φtt0處的連續(xù)性可知,上式右側(cè)的積分當Δ→0時趨于φ(0)Δ,所以有Δ→

rΔ(t)φ(t)dt=φ(0-根據(jù)上述δ(t)的廣義極限定義可limrΔ(t)= ( 應當,不僅面積為1的矩形脈沖在廣義極限下可視為δ(t),一些形狀很不相同的脈沖,如高斯脈沖、三角脈沖、抽樣函數(shù)等都可以在一定條件下趨于δt)。這一論斷在后面的例題中將予以說明。離散型①單位階躍序②單位抽樣序

u[n]δ[n]

0,n<1,n≥0,n≠1,n=

( ( un和δn都是普通函數(shù)。δnun中的自變量n一般宗量·”代替,以解決某些序列的變換問題。關(guān)于δ[n]的若干關(guān)系式x[n]δ[n]=x[0]δ[ ( x[n]δ[n-n0]=x[n0]δ[n-n0 ( δ[n]=u[n]-u[n-1]=èu[ ( ∑δ[k]=∑δ[n-k]=u[ ( k=- k=.系統(tǒng)的概念與描述系統(tǒng)概念。系統(tǒng)是由一些基本單元(如元件、裝置、事物等等)相互聯(lián)結(jié)在一起而實現(xiàn)某特定功能的整體。系統(tǒng)的這種概念所涉及的范圍很寬, 組成它的單元可以很簡單, 也可以很復雜; 可以是物理實體(硬件), 也可以是非物理實體(軟件)。系統(tǒng)也可以看成是產(chǎn)生信號變換的任一過程,最簡單的系統(tǒng)也應有一個輸入信號和一個輸出信號,系統(tǒng)對輸入信號進行某種變換以后而給出輸出信號。系統(tǒng)的這兩種定義在本質(zhì)上是一回事,只是強調(diào)的重點有所不同前者強調(diào)系統(tǒng)的組成后者強調(diào)系統(tǒng)的變換功能。因此這兩種定義對于理解系統(tǒng)的概念都是有用的。系統(tǒng)描述。系統(tǒng)最基本的描述方法是聯(lián)系其輸出與輸入關(guān)系的微分方程或差分方程,前者用于描述連續(xù)時間系統(tǒng),后者用于描述離散時間系統(tǒng)。應該明確,一個微分或差分方程可視為范疇極其廣闊的物理過程的數(shù)學抽象,因此這些方程是描述了一般化的系統(tǒng)。本課程正是在這個起點上討論系統(tǒng)的各種分析方法以及信號1通過系統(tǒng)引起的變換過程。從這樣的認識出發(fā),我們還可以把系統(tǒng)表示為一個有輸入端口和輸出端口的黑箱,如圖12所示。“黑箱”的意思是其內(nèi)裝的系統(tǒng)看不到,或者說用不著去關(guān)心它,我們只需用一種數(shù)學方法來描述它的端口間的關(guān)系,如前面提到的微分方程或差分方程。學完本書會知道,還有若干其他方法都可用于描述這樣的系統(tǒng)。為了書寫簡潔有時還利用簡單的符號表示系統(tǒng)的輸入———輸出關(guān)系:x( y(t連續(xù)系統(tǒng)x[ yn離散系統(tǒng)與微分/差分方程描述法緊密相關(guān)的另一種表示系統(tǒng)的方法是方框圖表示法。對于連續(xù)時間系統(tǒng), 由于微分方程描述中包括三種運算, 即微分、乘某系數(shù)、相加, 因此在框圖表示中就定義了三種相應的網(wǎng)絡(luò)單元即微分器、系數(shù)倍乘器和加法器, 但由于微分器不易于用硬件實現(xiàn), 故一般改用積分器來代替它。對于離散時間系統(tǒng), 其方框圖表示基本與連續(xù)系統(tǒng)相同, 僅積分器被延時器代替, 引入延時器是為了完成方程中的差分運算。這樣在系統(tǒng)的框圖表示中共用到四種基本網(wǎng)絡(luò)單元: 積分器或延時器、系數(shù)倍乘器、加法器。以這些基本單元為基礎(chǔ), 則根據(jù)微分/差分方程所規(guī)定的算法,可以構(gòu)成不同形式的系統(tǒng)框圖, 如直接Ⅰ型和直接Ⅱ型等。讀者不僅要掌握由方程畫方框圖的過程, 還應能從方框圖得出微分或差分方程。系統(tǒng)互聯(lián)。系統(tǒng)相互聯(lián)結(jié)的概念是一個極為重要的概念因為通過互聯(lián)使我們可以用基本單元構(gòu)造一個系統(tǒng),或從已有的較簡單的系統(tǒng)構(gòu)成新的更復雜的系統(tǒng),這是綜合過程。反之,通過互聯(lián)能把實際存在的系統(tǒng)看作是某些基本單元或基本環(huán)節(jié)互聯(lián)的結(jié)果,這是分析過程。系統(tǒng)互致分為四種形式, 即級聯(lián)、并聯(lián)、串/并聯(lián)、反饋聯(lián)結(jié)。這四種聯(lián)結(jié)的要點如圖1 3所示, 相應系統(tǒng)的分析會逐步展開。.系統(tǒng)的六個基本特性在討論的系統(tǒng)六個基本特性中, 線性和時不變性在信號與系統(tǒng)分析中是最基本的線性或稱疊加性)。若續(xù)時間系統(tǒng)的輸入輸出有下述關(guān)系:x1ty1t),x2ty2t);則一個線性系統(tǒng)應有ax1(t)+bx2(t)→ay1(t)+by2( a、b任意常數(shù)。由上式描述的關(guān)系可得出零輸入產(chǎn)生零輸出這個重要結(jié)論。如果yt中含有與輸無關(guān)的項,例 圖1y(t)=2x(t)+ ( 上式雖是一線性方程, 但違背了零輸入—零輸出性質(zhì)。這種情況發(fā)生在初始狀態(tài)不為零(即非松馳)的線性系統(tǒng)中。遇到這種情況可利用線性系統(tǒng)的另一性質(zhì)即分解性來處理,這就是把式(1 25)的y(t)分成yx(t)=2x(t)和y0(t)=3,然后再使二者求和。其中yx(t)視為一個松弛(初始狀態(tài)為零)線性系統(tǒng)對輸入x(t)的響應—零狀態(tài)響應;y0(t)視為僅與系統(tǒng)初態(tài)有關(guān)的響零輸入響應。如果把初態(tài)也看成一種輸入,那么yx(t)和y0(t)都滿足式(1 24)所描述的線性性質(zhì)。經(jīng)過上述處理,一個非松弛線性系統(tǒng)的輸入—輸出關(guān)系可表示為圖1 4所示的結(jié)構(gòu)。以上討論得出的結(jié)論對離散時間系統(tǒng)同樣時不變性。時不變性表述如下:對于連續(xù)時間系統(tǒng) 若有

圖 (t)→y(t) 則有x(t-t0)→y(t-t0) 對于離散時間系統(tǒng)若有x[n]→y[n] 則有x[n-n0]→y[n-n0]如果系統(tǒng)同時具有線性和時不變性 則稱該系統(tǒng)為L系統(tǒng)。這樣的連續(xù)系統(tǒng)具有微分特性 即若x(t)→y(t),dx(t)→dy(t)。從一階導數(shù)的極限定義出發(fā)很容易證明上述 性質(zhì)。因果性。若一個系統(tǒng)在任意時刻的輸出僅決定于現(xiàn)在及過去的輸入而與未來時刻的輸入無關(guān)這樣的系統(tǒng)就是因果系統(tǒng),或者說該系統(tǒng)具有因果性。在對這類系統(tǒng)進行判斷時,首先要分清什么是現(xiàn)在、過去和未來。例兩個系y[n]=x[n]-x[n+ ( y[n]=x[n]-x[n- ( 若以n為現(xiàn)時刻則n-1代表過去時刻,n+1代表未來時刻,根據(jù)因果性的含義可知式(126表示一個非因果系統(tǒng),式(127)表示一個因果系統(tǒng)。穩(wěn)定性。若一個系統(tǒng)的輸入xt在任何時刻有界系統(tǒng)的輸出yt在任何時刻也有界,則說該系統(tǒng)是穩(wěn)定的,或者說系統(tǒng)具有穩(wěn)定性。前述式(125至(127都是穩(wěn)定系統(tǒng)。如果輸入x[n]=u[n],一個求和器的輸出為ny[n]

∑k=-∑

u[k]=(n+1)u[ ( 顯然這是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)?？赡嫘浴Ｈ粢粋€系統(tǒng)的輸入可從其輸出唯一地來確定,則為可逆系統(tǒng)。說的具體些就是:如果能構(gòu)造一逆系統(tǒng),使其與原系統(tǒng)級聯(lián)后所產(chǎn)生的輸出即為原系統(tǒng)的輸入,則稱原系統(tǒng)是可逆的。例如把式(128)代表的求和器與式(127)代表的差分器相級聯(lián), 級聯(lián)系統(tǒng)的輸出即為它的輸入。所以求和器和差分器互為逆系統(tǒng),同樣積分器和微分器也是一對逆系統(tǒng)。利用系統(tǒng)互聯(lián)中的反饋聯(lián)結(jié),有助于逆系統(tǒng)的設(shè)計。這個問題利用拉氏變換進行分析會變得簡單些。性。若一個系統(tǒng)在任何時刻的輸出僅決定于該時刻的輸入,而與過去時刻的輸入無關(guān),就是無系統(tǒng);否則就是系統(tǒng)。系統(tǒng)中一定包含元件或貯能元件,而一個純電阻網(wǎng)絡(luò)是無系統(tǒng)。系統(tǒng)的上述性質(zhì),都是從其輸入———輸出關(guān)系中來定義的。隨著系統(tǒng)分析的深入,還會提出一些從其它角度進行定義或判斷的方法。 例題解答與分析例 概略繪出下列函數(shù)式所表示信號的波形圖(

(t)=(2-e-t)u((

(t)=(e-t-e-3t)( x3(t) 1-|2

[u(t+2)-u(t-2)(d)x4(t)=x3(解a)(2-e-t表示常數(shù)2與指數(shù)e-t相減,結(jié)果被ut限定在正時域。x1t的波形繪于圖15(a中(b)(e-t-e-3t)表示兩個衰度不同的指數(shù)函數(shù)相減結(jié)果被ut限定在正時域。x2tt=0有x2t)=0在t>0有一極值點:d(e-t-e-3t)=-e-t+3e-3t=e-t(3e-2t-1)= t 1ln3=022x2(t)t=1 =02x2(t)的波形繪于圖 5(b)中(c) (1-|t|/2)表示常數(shù)1與斜升函數(shù)相減,結(jié)果被寬度為4的門函數(shù)限定。x3(t)在t=0有x3(t)=1,在t<0,x3(t)=(1+t/2)隨|t|減小而上升;在t>0,x3(t)=(1-t/2)隨t增大而下降。上升與下降的斜率均為1/2。x3(t)的波形繪于圖1 5(c)中。d)x3t乘以周期T=1的余弦波,這是一種調(diào)制過程余弦波的包絡(luò)為圖15(c的三角脈沖。x4t的波形繪于圖15(d中。12概略繪出下列函數(shù)式的波形。(a)x1(t)=u(t2-1(b)x2(t)=sgn((c)x3(t)=δ( )x4( d[e-tcostu(t)解: (a)x1(t)是一個單位階躍的函數(shù)構(gòu)架, 宗量為t的表達式: t2-1=(t+1)(t-1)。當t<-1和t>1宗量為正 x1(t)=1 當-1<t<宗量為負 x1(t)=0。所以1,|t|>x1(t)0,|t|<x1t的波形繪于圖16(a(b)x2(t)函數(shù)構(gòu)架為正負號函數(shù),宗量是t的表達式0～T周期內(nèi),當0<t<1sinπt0,則x2t)=1;1<t<2,sinπt<0,則x2(t) 圖1-1。所x2t是周期T2的方波,波形繪于16bc)x3t是單位沖激函數(shù)構(gòu)架,cosπt。cosπt是周T=2的周期函數(shù),在0～T周期內(nèi)當t=1/2、3/2cosπt0,相應x3t出現(xiàn)兩個面積為1的沖激。所以x3t是周期T=1的沖激列,如圖16(c所示。d)e-tcostut求導數(shù)時,應注意利用如下關(guān)系式 du(

x4(t) +=(-e-tcost-e-tsint)u(t)+e-tcos(+4= 2e-tcost-4x4t波形繪于16(d

u(

圖 例 求下列各函數(shù)式的值(a)

(t)=5e-2t-3δ((b)x2(t)=2u(4t-4)δ(t-(c)x3(t) cs(∫t∫(d)x4(t)-

e-)(

δ(t2-4)-解: (a)利用δ(t)與普通函數(shù)相乘的關(guān)系式,即式(113),得x1(t)=(5e-2t-3)δ(t)=(5e-2t-3) t=0δ(t)=5e-3δ(t)(b)仍利用式(1 13), x2(t)=2u(4t-4)δ(t-1)=2u(4t-4)t=1δ(t-1=2u(0)δ(t-1)=δ(t-注意這里u(0取其在t=0的左、右極限平均值即u0)=1/2。cx3t之值有兩種解法[解法一 利用先求導方法x3(t)

cos(cos((這里利用了式 13)的兩種特例x(t)δ(t)=x(0)δ(t)(([解法二 利用后求導方法x3(t)

[cos(t)]=d[δ(t)]=((

t∫e-)∫4(t)-t-

e-

τ=0)τ-

(-e-τ

τ=

=δ(t)+u( δ(t2-4)dt

δ(t+2)dt(e)-

∞∫-∞δ(t-2)dt=圖 例1 已知x(3-2t)的波形如圖1 7所示, 繪出信號x(t)的波形。圖 解: 本例是從x(3-2t)求x(t), 它與從x(t)求x(3-2t)一樣,都需要綜合運用反轉(zhuǎn)、移位、尺度伸縮三種變換。按照三種變換運用順序的不同, 解這類題都有六種不同的解法。這里選擇三種解法求解本題, 其余方法讀者可自己練解法一]按反轉(zhuǎn)—尺度伸縮—移位求解。求解過程示于圖18中。應注意,18b到c是利用尺度伸縮t→(1/2t對波形進行變換這時應根據(jù)式112改變沖激的面積。解法二]按移位—反轉(zhuǎn)—尺度伸縮求解。求解過程示于圖19中。解法三]按尺度伸縮—反轉(zhuǎn)—移位求解。求解過程示于圖110中。15已知信號x1t波形如圖111所示,繪出下列函數(shù)式的波形:(a)x2(t) t

[

(6-2t)(b)x3(t)=∫-∞x(2-τ)解:對于本例題,不必寫出x1t的函數(shù)式,而直接對其波形進行變換和微積分運算。這樣做會使解題過程更直觀、更簡單。a)x2t的波形。先從x1t經(jīng)三種變換得到x1-2t),112b然后對b進行求導,凡b中有階躍存在的地方都會出現(xiàn)相應的沖激,如圖112c)。bx3t的波形。仍從x1tx12-t入手,得到x1(2-t后將其分成兩個區(qū)間進行積分,則可得出x12-圖 的積分波形 如圖 13(c)所示例1 一離散時間信號x[n]如圖1 14,試繪出下列函數(shù)式的圖形。( x[n-2 ( x[4-( x[2 ( x[2n+1( x[n]u[2- ( x[n-1]δ[n-3g g2

x[n]+1(-1)nx[n] (h) x[n2]解 從已知的x[n]圖形出發(fā) 通過相應變換而得到(～(h)各序列的過程及結(jié)果都繪于圖 15中。離散時間圖 列圖形的變換,其要點與連續(xù)時間信號基本相同但在包含尺度壓縮的綜合變換中,應先進行其它變換,如平移、反轉(zhuǎn)最后再進行尺度壓縮變換。這一點不同于連續(xù)時間信號中三種變換的順序可任意排列其原因就在于離散時間序列的定義域只限于取整值。

圖 圖 例 連續(xù)時間信號x(t)=ejω0t其基波頻率為ω0,基波周期為T0=2π/ω0?，F(xiàn)對x(t)進行等間隔抽樣, 抽樣間隔為T,得離散序列x[n]= x(nT)=ejω0nT (1 (a)證明: 當且僅當下述關(guān)系成立T/ p/ pq為正整 ( xn是周期序列(b)設(shè)x[n]是周期的, 求其基波周期和基波頻率(用ω0和T表示)。(c)設(shè)T/T0滿足式 30),求需要多少x(t)周期能得x[n單個周期的所有樣值解 (a)若x[n]是周期的 應圖 圖 ejω0Tn+q)=ejω0Tnq正整數(shù)這意味著下述關(guān)系必須成立:ω0Tqp為正整數(shù)(對上式代ω02π/T0可于是式30)得證。 p/q有理數(shù)圖 應當, 式(1 30)是對連續(xù)時間復指數(shù)信號ejω0t進行等間隔抽樣而得到周期復指數(shù)序列的充要條件 或者說欲使抽樣序列為周期序列 要求抽樣間隔T與e0的基波T0之比為一有理數(shù)。(b)根據(jù)式( 29)和( 31) x[n]的數(shù)字頻Ω=ω0T p(/又因為單位復指數(shù)序列對n呈周期性應滿足式(1 4),所以Ω=

p(有理數(shù) ( qpq互質(zhì)時,q序xn的基波周期。對于p存在公約數(shù)的一般情況 則x[n]的基波周期N =p·2π ( (p,q) (p,q)其中(p,q)是p與q的最大公約數(shù)。x[n]的基波頻率是= = q (p,q)

ω0 (p, ( p( x[n]一個周期應有N個樣值 這相當于連續(xù)時等t NT=pT0/(p, ( 上式表明, 為得到x[n]單個周期的所有樣值,需要x[t]的周期數(shù)m為m=p/(p,q) (136)pq互質(zhì),需要px(t周期才能得到x[n的所有樣18(a)x1t和x2t是周期信號,其基波周期分別為T1和T2。問在什么條件下x1t)+x2t是周期的?基波周期為何?b)設(shè)x1n和x2[n是周期序列,其基波周期分別為N1和N2。問在什么條件下x1[n]+x2[n]是周期的?基波周期為何?c)對于序列x[n]=2cosπn+sinπn-2cosπn+ 證明它是周期的 并求出基波周期解:(a)由于x1t)x2t)為周期信號,所以x1(t+kT1) x1(t),x2(t+lT2) x2(t)( k、l都是整數(shù)。若希望x1t)+x2t是周期信號,它須滿足下述關(guān)系式:x1(t+T)+x2(t+T)=x1(t)+x2( ( 比較式 37)和 38)可T=

=lT2

l(有理數(shù))( k可見只要兩個周期信號x1tx2t的周期之比為一有理數(shù)則它們的和才是周期信號其基波周期等于兩信號各自周期的最小公倍數(shù)。b)x1nx2n都是周期序列,x1[n+kN1]=x1[n],x2[n+lN2]=x2[( 其中k、l為整數(shù)。若要求和序列為周期信號,應使下述關(guān)系式成立: [n+N + [n+N = [ + [( 比較式 40)和 41)可N=kN =lN =l/k(有理數(shù)( 所以和序列呈周期性的條件是x1[n和x2n的周期之比為一有理數(shù),且和序列的基波周期等于x1[nx2[n各自周期的最小公倍數(shù)。(c)由兩個周期信號求和導出的和信號呈周期性的條件可以推廣到n個信號求和的一般情況。這里是三個周期信號求和的例子。令x[n]=x1[n]+x2[n]+x3[其中x1[n]=2cosπn,N1=4x2[n]=sinπn, =16 [n]=3 πn2

=連比三個信號的基波周期 N1∶N2∶ =8∶16可見N1、N2、N3兩相比都是有理數(shù), 故和序列x[n]是周期序列, 且基波周期N=16。例1 用下列普通函數(shù)的廣義極限來定義單位沖激信號:a)三角脈沖g△(t) △

1-|t△

[u(t+ -u(t-△)( b)雙邊指數(shù)脈g(t) 1e- ( 鐘形脈g(t) 1e- a( 抽樣函數(shù)

( gk(t) ksinc( ( π(a)～(d)各函數(shù)的波形示于圖 16中解 (a)三角脈沖作普通函數(shù)由于圖 16(a)的三角脈沖隨△→0仍保持面積為1所∞

∞

g△(t)dt=φ(△→ - △→ -由此 limg△(t)=δ( ( △→b)雙邊指數(shù)脈沖作普通函數(shù)。由于圖 16(b)的雙邊指數(shù)脈沖的面積等圖 1 1 - -∞gτ(t)dt

τ-∞eτdt ∫eτdt=τ可見該脈沖面積與參數(shù)τ無關(guān)。所以有 - -

由此 ( 脈沖作普通函數(shù)。πa∞由于圖 16(c) 脈沖的面積πa∞

-π

2-∞ga(t)dt a-∞ dt a

dt=可見該脈沖面積與參數(shù)a關(guān)。所∞

ga(t)dt=φ(0

- a→ -由此 limga(t)=δ( ( ( 抽樣函數(shù)作普通函數(shù)。∞由于圖 16(d)的抽樣函數(shù)所覆蓋的面積∞ k ∫gk(t)dt

dt

dt=-

-

可見抽樣函數(shù)的面積與參數(shù)k。所以∞

- -由此 limgk(t)=δ( ( 例1 由延時器、系數(shù)倍乘器和加法器作基本單元構(gòu)成一個離散時間系統(tǒng) 如圖 17所示。設(shè)n<0時y[0,試求下列輸入時系統(tǒng)輸出y[na)x[n]=δ[n](b)x[n]=u[解: 圖1 17是一反饋聯(lián)結(jié)的系統(tǒng) 為了求解給定輸x[n的輸出y[n],首先從框圖列寫聯(lián)x[ny[n的方程

圖 在圖1 17延時器輸入或加法器輸出標出y[n+1], 后圍繞加法器列方程如下y[n+1] x[n]-2y[ y[n+1]+2y[n]=x[n] (151)若將式(151)中各項的序號n減1,其輸入—輸出關(guān)系不變,得y[n]+2y[n-1]=x[n- ( 式 51)是描述圖 17所示離散時間系統(tǒng)的前向差分程 式 52)是描述同一系統(tǒng)的后向差分方程a)當輸入xnδ[n]應用前向差分方程求解: 由式(1 51)寫出遞推(或迭代), y[n+1]=δ[n]-2y[n=-1,y[0]=δ[-1]-2y[-1]=n=0,y[1]=δ[0]-2y[0]=n=1,y[2]=δ[1]-2y[1]=-n=2,y[3]=δ[2]-2y[2]=n=3,y[4]=δ[3]-2y[3]=-y[n的閉式解y[n]=(-2)n-1u[n-1 ( 應用后向差分方程求解 由式( 52)寫出遞推即y[n]=δ[n-1]-2y[n-n=0,y[0]=δ[-1]-2y[-1]=n=1,y[1]=δ[0]-2y[0]=n=2,y[2]=δ[1]-2y[1]=-n=3,y[3]=δ[2]-2y[2]=n=4,y[4]=δ[3]-2y[3]=-由此歸納出y[n]的閉式解同式 53)b)當輸入x[n]=un]應用前向差分方程求解 由式( 51)寫出遞推即y[n+1]=u[n]-2y[n=-1,y[0]=u[-1]-2y[-1]=n=0,y[1]=u[0]-2y[0]=n=1,y[2]=u[1]-2y[1]=-n=2,y[3]=u[2]-2y[2]=n=3,y[4]=u[3]-2y[3]=-應用后向差分方程求解:由式152寫出遞推方程,并從n=0開始迭代,會得出同樣的結(jié)果,具體迭代過程這里省略。對于系統(tǒng)的兩種輸入,分別利用前向和后向差分方程求解結(jié)果是相同的。而且由本例題可以看出對于一階系統(tǒng),采用遞推法求解比較簡便,但是把遞推出的結(jié)果歸納為一個閉式比較,如對x[n]=u[n]情況下的遞推結(jié)果,有興趣的讀者可試著得出其團式解答案是:y[n]=(1/31-(-2n]un-1111(a)對于一個LTI系統(tǒng),若已知其輸入x1t與輸出y1t的波形如圖118(ab所示,試確定系統(tǒng)對于圖118c所示輸入x2t的響應波形。(b)對另一個LTI系統(tǒng),若已知輸入x1(t)=u(t)時系統(tǒng)輸出為y1(t)=e-tu(t)+u(-t-1), 試確定系統(tǒng)對圖118(d)所示x(t)的響應,并畫出其波形。解: (a)為便于利用系統(tǒng)的線性和時不變性, 把圖118(c)的x2(t)表示為兩個矩形脈沖的疊加:x2(t) x1(t+1)+x1(根據(jù)已知x1ty1t關(guān)系可以寫出y2(t)=y1(t+1)+y1(其波形如圖 19(a)所示(b)先把圖 18(d)的x(t)表示為兩階躍函數(shù)的疊加x(t)=u(t-1)-u(t-2圖 根據(jù)給定的x(t)→y(t)關(guān)系,可以寫出圖1 18(d)所示輸入下的系統(tǒng)響應:y(t)=y1(t-1)-y1(t-2=[e-(t-1)u(t-1)+u(-t)][e-(t-2)u(t-2)+u(1-t)=[u(-t)-u(1-t)]+[e-(t-1)u(t-1)e-(t-2)u(t-2)y(t)的波形如圖 19(b)所示對于(b)中解出的y(t),若感到繪其波形有, 可以用分段形式來表示y(t),如寫成y(t)

-e-(t-1e-(t-1 -e-(t-2

,t<,0<t<,1<t<,2<t<據(jù)此再yt波形就比較容易了例 對于下列用輸入—輸出關(guān)系表示的每一圖 系統(tǒng), 判斷是否為線性、時不變、無、因果、穩(wěn)定系統(tǒng)?( y(t)=ex( ( y[n]=x[n]x[n-( y(t)=dx(

( y[n]=x[-( y[n]=x[2 ( y(t)=x(t-1)-x(-n+( y(t)=(sin6t)x(t)( y[n] k=n-3

x[( y[n]=nx[ (j)y(t)-∞x(τ)解 (a)系統(tǒng)y(t)=ex(t)非線性 因為ex1(t)+x2(t)≠ex1(t)+ex2(t)x(t-t時不變 因為 =y(t-t0)無: 因為輸出只決定于當時的輸入。因果: 因為無系統(tǒng)必然是因果的。穩(wěn)定 因為當|x(t)|≤M,必然|y(t)|=|ex(t)|≤e|x(t)≤eM(b)系統(tǒng)y[n]=x[n]x[n-1]為非線性 因為不滿足可加性 (x1[n]+x2[n])(x1[n-1]+x2[n-2]≠x1[n]x1[n-1]+x2[n]x2[n-時不變: 因為x[n-n0]x[n-n0-1]=y[n-n0]。: 因為輸出不僅決定于當時的輸入。因果 因為輸出僅與當時和過去的輸入有關(guān)穩(wěn)定 因為當x[n]有界,x[n-1]也就有界,從而y[必有界c)系統(tǒng)yt)=dxt線性 因為滿足可加性和齊次性時不變 因為

[x(t-

)]=yt-t0): 因為yt)=

xt)-x(tΔt不僅與當時的輸xt有關(guān)因果: 因為若輸入δ(t),其輸出y(t)=δ(1)(t)=0,當t<0時。不穩(wěn)定 當輸入x(t)=u(t),其輸出y(t)=δ(t)是的(d)系統(tǒng)y[n]=x[-n線性 因為滿足可加性和齊次性時變 因為當x[n]右移,如x[n-n0],其輸出不是隨n0而是向左移n0x[-n-n0]: 因為若令n=1,有y[1]=x[-1], 表明輸出與過去輸入有關(guān)。非因果: 因為y[-1]=x[1]表明輸出與未來輸入有關(guān)。穩(wěn)定: 因為當x[n]有界時,x[-n]也有界,故y[n]必有界e)系統(tǒng)y[n]=x2n線性 因為滿足可加性和齊次性時變 因為當輸入為x[n-n0]時,其輸出應是x[n-n0的偶序值它顯然不等于y[n-n0]: 因為y[-1]=x[-2表明輸出與過去的輸入有關(guān)非因果因為y[1]=x2表明輸出與未來的輸入有關(guān)。穩(wěn)定:因為x[n有界時,x[2n也有界y[n必有界。(f)系統(tǒng)yt)=xt-1)-x(-t為線性:因為滿足可加性和齊次性時變:yt)=y1t)+y2t其中y1t)=xt-1時不變的y2t)=-x(1-t是時變的: 因為y(0)=x(-1)-x(1), 表明輸出與過去的及未來的輸入都有關(guān)。非因果 因為y2(t)=-x(1-t)是非因果的穩(wěn)定 因為當x(t)有界時,x(t-1)和x(1-t)都有界故yt必有界。g)yt)=(sin6t)xt線性 因為滿足可加性和齊次性時變: 因為(sin6t)x(t-t0)≠[sin6(t-t0)]x(t-t0)。無: 因為y(t)只與當時的輸入有關(guān)。因果 因為無系統(tǒng)一定是因果的穩(wěn)定 因為sin6t有界,故當x(t)有界時y(t)必有界n+(h)系統(tǒng)y[n] k=n-

x[k線性 因為滿足可加性和齊次性n+時不變 因為n=n-

(n-n0)+x[n-n0] m=(n-n0)-

x[m]=y[nn0]關(guān)

4 因為y[0] k=-

x[k 輸出不僅與當時輸入非因果: 因為y[n]與x[n+1]x[n+2]等未來值有關(guān)。穩(wěn)定 因為當x[n]有界時,其有限項和必收斂,即y[必有界。i)系統(tǒng)y[n]=nx[n線性 因為滿足可加性和齊次性時變 因為nx(n-n0]≠[n-n0]x[n-n0]=y[n-n0無: 因為y[n]僅與當時的輸入有關(guān)。因果: 因為無系統(tǒng)一定是因果的。不穩(wěn)定 因為雖x[n]有界,但當n→∞,y[n]→∞)∞線性 因為滿足可加性和齊次性 3(t-t0時變: 因∫-∞x(τ-t0)-∞ x(τ)dτ=y(t-t0)。: 因為y(t)與輸入的過去值有關(guān)。非因果 因為t時刻輸出y(t)與t至3t的未來輸入關(guān)不穩(wěn)定 因為當x(t)=u(t)時,y(t)在t→∞時發(fā)散例 下列各系統(tǒng)是否可逆 若是則求其逆系統(tǒng)若不是則給出兩個使系統(tǒng)具有同樣輸出的輸入信號(a)y(t) x(t- (b)y(t)=cos[x(t)t(c)y[n]=nx[ (d)y(t)=∫-∞x(τ)x[n-1],n≥(e)y[n] x[

,n=,n≤-(f)y[n]=x[n]x[n-1 (g)y[n]=x[1-t(h)y(t)e-a(t(h)y(t)n n-n

dx((i)y[n]

=-

x[ (j)y(t) (k)y(t) x(x(m)y[n]

n,n2 ,n奇解 對于可逆系統(tǒng) 設(shè)其逆系統(tǒng)為y(t)→z(t),或y[zn](a)系統(tǒng)y(t)=x(t-4)是可逆的 逆系統(tǒng)為z(t)yt+4)(b)系統(tǒng)y(t)=cos[x(t)]是不可逆的 因為x(t)[xt)+2πk都給出相同的輸出。(c)系統(tǒng)y[n]=nx[n]是不可逆的, 因為輸入x[n]等于δ[n]或2δ[n]都給出相同的輸出y[n]=0。tz(

( 系統(tǒng)y(t)=∫-∞x(τ)dτ是可逆的 其逆系統(tǒng)=dyt

x[n-1],n≥(e)系統(tǒng)y[n] x[

,n=,n≤-

是不可逆的 因當輸入序列x[0取不同值時yn都相同。(f)系統(tǒng)y[n]=x[n]x[n-1]是不可逆的 或δn-1作輸xn都給出相同的輸出yn0(g)系統(tǒng)y[n]=x[1-n]是可逆的 其逆系統(tǒng)為z[=y1-n]t(h)yte-a(t-τ)x(τ)(h)yt-zt)=ayt)+dyt。證明如下由dy(

td-(- d ∫eat ∫eatτx(τ)dτ e dt-t

-t=-ae- - dt-=-

-所以有

=-ay(t)+x(z(t)=ay(t)+dy(

=ay(t)-ay(t)+x(t)=x(( 逆系統(tǒng)的輸入—輸出關(guān)系得證。本題實際上是從e-tu(t)*x(t)的結(jié)果y(t)求反卷積以得出x(t)的過程,得到的規(guī)則就是式 54)所表示的對y(n求一階導數(shù)再加aytn1

n-∑i)y[n]∑

k=-

x[k]是可逆的 其逆系z[n]=y[n]-2

y[n-1]。證明如下由于求和的逆運算是求差分 故可寫y[n]-y[n-1]

=-

n-2

x[k]∑1n-∑1k=-

n-1-n-

x[n- x[n]

k=-

x[ -2

n-∑1k=- ∑1

n-

x[顯然若取y[n]-2

y[n-1其結(jié)果恰好得到系統(tǒng)輸入xn于是逆系統(tǒng)的輸入———輸出關(guān)系得本例題實際上是anu[n]*x[n的結(jié)果y[n求反卷積以得出x[n]的過程,計算的規(guī)則是y[n]-ay[n-1]=x[ ( j)系統(tǒng)yt)=dx

是不可逆的 因為x(t)等于數(shù)時yt)=0(k)系統(tǒng)y(t) x(2t)是可逆的 其逆系統(tǒng)為z(t)(m 系統(tǒng)y[n]

xn/2,n偶 ,n奇

是不可逆的 為只要x1[n]和x2[n]的偶序值相同 就會得到相同的輸出練習題畫出下列各函數(shù)的波形:1)x1(t)=u(-3t+2)x2(t)=u(-3t+2)-u(-3t-3x3(t)=u(cosx4(t)

畫出下列各函數(shù)的波形x1(t)=sgn(t2-9x2(t)=sin[πtsgn(t)x3(t)=δ(sin2πttx4(t)0-δ(sin)x5(t)=sinπtu(t)+sinπ(t-1)u(t-11. x1t)=cosπtx2t)=δt)+δt-2試求積分2t-x1(τx2(τdτ,1. 求下列各積分的值∞(

x(t0-t)δ(t-t0-π( ∞(1-cost)δt - ((

(1+t)δ(cost)∞(∞1. 下列函數(shù)中哪些是周期信號,若是,求出它的周期。x1(t)=asint+bsinx2(t)=asin5t+bcosx3(t)=4cos2t+5sinx4(t)=Acost+Bsin2x5(t)=(Asint)1. 判斷下列函數(shù)是不是周期的,若是,求出它的基波周期。nx1[n]=cos8π+n7 n-x2[n]=enx3[n]=cos∞

cos4x4[n]

∑{δ[n-3m]-δ[n-1-3m]m=-x5[n]=2cosπn+sinπn-2cosπn+ 1. 已知連續(xù)時間信號如圖p1.7,畫出下列每個函數(shù)的波形圖x(1- (2)x(2t+22 [x(t)+x(2-t)]u(1-x(

δt+

-δt x

t

圖p1.1.8 用單位抽樣函數(shù)表示下列各信號,并畫其圖形:1)x1[n]=èu[n]>u[n]-u[n-1]x2[n]=è2u[n] u[n]-2u[n-1]+u[n-x3[n]=è3u[>u[n]-3u[n-1]+3u[n-2]-u[n-3x4[n]=u[n+3]-u[n-2x5[n]=(n+1){u[n]-u[n-4]1. 畫出圖p1.9所示各信號的偶部和奇部圖p1.xt偶部表為xet)=1[xt)+x(-t2奇部表為x0(t)=1xt)-x(-t21. 1)證明N-n=

N1-1-

當α=當α為不等于1的復數(shù)jk ,當α= (2)一個線性系統(tǒng)tk的響應是coskt,試求它對xt)=1+t101t2的響應yt)11圖p1.11(1)的線性時不變系統(tǒng)已知其x1t)=u(t時的響y1tu(t)-2ut-1)+ut-2。圖p1.112是由圖p1.111中的S級聯(lián)而成求該系統(tǒng)當x2t)=ut)-ut-2時的響應y2t)。圖p1.第二章 基本要求從電路模型入手, 應用基本電路定律建立電系統(tǒng)的微分方程。微分方程的經(jīng)典解法。零輸入響應和零狀態(tài)響應。自然響應和受迫響應。系統(tǒng)邊界條件從0-0+的跳變。單位階躍響應和單位沖激響應。卷積積分、物理意義和性質(zhì)卷積積分的幾種計算解法。利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。連續(xù)時間系統(tǒng)的模擬。直接Ⅰ型和直接Ⅱ型實現(xiàn)。 基本概念和方法線性常系數(shù)微分方程本課程的主要任務是闡述線性時不變(LT)系統(tǒng)的性質(zhì)及分析這種系統(tǒng)的方法。對于連續(xù)時間系統(tǒng),分析的出發(fā)點是用以描述其輸入———輸出關(guān)系的線性常系數(shù)微分方程。其中一、二階微分方程所描述的LTI系統(tǒng)是我們討論的基礎(chǔ)如τdy(

+y(t)=x( d2 dy( +2αdt+ω0y(t)=ω0x(

2其中τ為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)其倒數(shù)ωc1/τ為系統(tǒng)的截止頻率;α為二階系統(tǒng)的阻尼系數(shù),ω0為二階系統(tǒng)的無阻尼自然頻率。一、二階微分方程的這些自由參數(shù)決定于構(gòu)成系統(tǒng)的元件取值及元件間的拓樸關(guān)系,而與系統(tǒng)輸入無關(guān)。對于二階系統(tǒng)有時也采用參數(shù)ξ阻尼比Q品質(zhì)因數(shù)表示系統(tǒng)的自然特性,它們與、ω0的關(guān)系是ξ=/Q=1/2ξ=ω0/微分方程的建立對于不同領(lǐng)域內(nèi)的系統(tǒng)和現(xiàn)象可根據(jù)該領(lǐng)域內(nèi)特有的規(guī)則和定律來進行。例如電系統(tǒng)可從電路模型入手KCLKVL及其它有關(guān)法則就可以建立微分方程。應,在全部時間范圍即(-∞,∞)域內(nèi),所分析的系統(tǒng)都可以用此微分方程來描述。微分方程的經(jīng)典解法求解一個線性常系數(shù)微分方程,主要工作是求出其齊次解和特解。齊次解是系統(tǒng)在零輸入條件下的解,其模式為Nyh(t)=∑cie i=其中i是系統(tǒng)的自然頻率即微分方程特征方程的根,它僅決定于系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù),與輸入無關(guān)。如果特征根為重根或共軛復根,齊次解的模式將有所不同。特解ypt是系統(tǒng)在輸入函數(shù)的強迫下得到的解,其模式僅決定于輸入信號的形式。得到微分方程的齊次解及特解后,就可以求解微分方程所描述系統(tǒng)的自然響應和受迫響應、零輸入響應和零狀態(tài)響應,分述如下。 零輸入響應yot)。條件是輸入xt)=0,其模式與式(25的yt相同,解中系數(shù)c由系統(tǒng)起始狀態(tài)y(k)(0-來決定,其中k=0,1?(N-1) 零狀態(tài)響應

t)。條件是起始狀態(tài)y(k)0-)=0其模式是齊次解加特解 Nyx(t)=yh(t)+yp(t)=∑cii=

+yp( ( 式 6)中的系數(shù)ci不能用y )=0來確定 必須考由于輸入信號x(tt=0施于系統(tǒng)而引起的邊界條件的跳變,也就是應從y(k)(0-)=0導出y(k)0+并將后者代入 6來確定常數(shù)ci全響yt)。全響應yt等于零輸入響應加零狀態(tài)響應,也等于齊次解解即全解,其模式同式(26的零狀態(tài)響應模式。但確定其系數(shù)ci時要考慮不全為零的起始狀態(tài)yk)(0-和在t=0作用于系統(tǒng)的輸入x(t的共同影自然響應與受迫響應。自然響應也具有齊次解的模式, 受迫響應具有與特解相同的模式。自然響應和受迫響應共存于微分方程的全解中, 這個全解可以是系統(tǒng)當起始狀態(tài)為零時的零狀態(tài)響應, 也可以是起始狀態(tài)不為零的全響應。需要注意的是, 這里的自然響應與零輸入響應雖然都有齊次解的模式, 但自然響應與系統(tǒng)的輸入有關(guān)聯(lián), 如當系統(tǒng)的起始狀態(tài)y(k)(0-)=0, 這時零輸入響應為零, 而自然響應并不等于零。邊界條件從0-0+的跳變在連續(xù)時間系統(tǒng)的分析中常遇到的情況是 一在全時(-∞內(nèi)系統(tǒng)用一個微分方程描述。二是輸入信號在0施于系統(tǒng)。三是求解t>0的響應y(t)。為了確定t>0范圍內(nèi)的yt),需要一組t=0+時刻的邊界條件來確定解中的常數(shù)ci。而實際系統(tǒng)的起始狀態(tài)往往是在輸入x(t作用系統(tǒng)前的一瞬間t=0-給出的,因此便出現(xiàn)了從t=0-邊界條件導出t0+邊界條件的問題。為后面表述簡便,我們稱t=0-邊界條件為起始條件或起始狀態(tài)),t=0+的邊界條件為初始條件(或初始狀態(tài))。有一種情況不用考慮邊界條件的跳變問題,當求系統(tǒng)的零輸入響應時,其初始條件必然等于起始條件,故可直接用y(k)(0-去確定解中常數(shù)ci。解決系統(tǒng)邊界條件的跳變問題可用下述方法:①利用物理概念分析電路模型的方法;②利用δ函數(shù)匹配方法;③利用系統(tǒng)微分特性的方法。為了對上述方法有個具體理解,舉一簡單例子說明之。21所示的RC電路et)=ut

(0-)=0, 圖 響應it)。描述激勵———響應關(guān)系的微分方程也示于圖21中。顯然作為響應變量it)的起始條件i(0-)=0,為從i0-)導出i(0+),現(xiàn)在分別利用前述三種方法求解。①物理概念法。當t0,et)=u(t以躍升形式接入電路,這時電容上電壓不會突變,即電容c相當短路,于是it)=ut)/R,i(0+)=1/R。②δ函數(shù)匹配法。對微分方程代入etutdi(t) 1i(t) R 在t=0-～0+這段極短暫的時間內(nèi),為保持方程平衡,式(27左側(cè)最高階導數(shù)項dit)/dt=δt)/R。由此得it)=utR,這表明且僅表明iti0-)=0開始有一幅度為1/R的躍升,達到i0+)=1/R。③微分特性法。我們先避開式(27右側(cè)的δt),改求下述方程的解:d(

+1^i(t)=u( 方程右側(cè)ut的作用不會引起i0-)i0+的跳變,有i0+)=i0-。這個結(jié)論可推廣到N階系統(tǒng),即只要微分方程右側(cè)不包括δt或δt)的導數(shù)項,其邊界條件滿足y(k)(0+)=y(k)(0-),k=0,1,?,(N- 從式 8)及邊界條件i(0+)=0求出^i(t) 然后再完成1d^it則得到我們所要求的解。R在解決邊界條件跳變問題的三種方法中,第法對二階以上系統(tǒng)會過繁以至不再適用第二、三種方法適用范圍廣,但第三種方法中分兩步求解,有時會顯得繁瑣。單位階躍響應和單位沖激響應TI系統(tǒng)所以能夠被深入分析的主要原因在于這種系統(tǒng)具有疊加性質(zhì)。由此出發(fā),如果我們能把系統(tǒng)的輸入用一組基本信號來表示,則可根據(jù)該系統(tǒng)對這些基本信號的響應,利用疊加性質(zhì)而求得系統(tǒng)的輸出。在連續(xù)時間系統(tǒng)分析中,單位階躍、單位沖激以及復指數(shù)信號都已們選作基本信號其中前兩種作為時域分析中廣泛應用的基本信號而復指數(shù)信號在系統(tǒng)的變換域分析中被選為基本信號。LTI系統(tǒng)對δ(t)u(t)的零狀態(tài)響應就是在系統(tǒng)分析中起著十分重要作用的單位沖激響應和單位階躍響應。單位階躍響應s(t)的求解方法與前面討論的一般零狀態(tài)響應的經(jīng)典解法無什么不同,當然也可以從單位沖激響應h(t)的積分來求得。單位沖激響應h(t)的解法由于δ(t)的奇異性而表現(xiàn)出若干特點,主要體現(xiàn)在δt對系統(tǒng)的激勵作用只發(fā)生在t=0-0+的一瞬間,t>0的全部正時域,系統(tǒng)處于零輸入條件之下。因此h(t)模式與微分方程的解相同,也正因為如此ht表示的是系統(tǒng)的自然特性。集中到一點,沖激信號對系統(tǒng)的作用在于它使系統(tǒng)從零起始狀態(tài)變成非零初始狀態(tài),我們正是利用這些非零初始狀態(tài)來確定解中常數(shù)ci的。至于如何確定δt作用下系統(tǒng)邊界條件的跳變,所用方法不外乎前面提到的三種方法,其中尤以第二種方法最方便。如果已知系統(tǒng)的單位階躍響應stst求一階導數(shù)就是h(t)。卷積積分已知描述系統(tǒng)的微分方程,就可求得單位沖激響應h(t)。通過把任意輸入x(t)表示為移位δ(t)的和,根據(jù)系統(tǒng)的線性與時不變性則可求出系統(tǒng)在xt作用下的零狀態(tài)響應,即為htxt的卷積積分∞ ( 從卷積的推導過程應明確兩點:一是式210中變量τ表移位沖激δtτ作用于系統(tǒng)的時刻而參變量t則表示觀察系統(tǒng)響應yt的時刻。以此來考慮下述常見情況下的式(210)積分上下限應如何確定:輸入x(t)=0 t<0(有始輸入)。代入式( 10)顯然其積分下限是零,∞y(t)0x(τ)h(t-τ)dτ 2 (2沖激響應h(t)=0,t0因果系統(tǒng))。代入式210),顯然其積分上限t,ty(t)=∫-∞x(τ)h(t-τ)dτ 2 3)有始輸入作用于因果系統(tǒng)。這時卷積積分應為下述形t0 ( 二是在應用式(210至(213求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應時要切記其前提條件:所分析的系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)。如果是非線性系統(tǒng)因其不具有疊加性質(zhì)自然就不存在卷積這種分析方法。如果是線性時變系統(tǒng),雖然還存在卷積的分析方法,但其形式應寫成t- ( 由于系統(tǒng)的時變性移位沖激信號δtτ在不同τ作用于系統(tǒng)其沖激響應的函數(shù)形式會發(fā)生變化不再是簡單的移位形式htτ而應寫成htτ),即沖激響應成為兩個獨立變量(觀察時刻t和沖激作用時刻τ)的函數(shù)。卷積積分具有下述性質(zhì)yt)=xt)*ht)=ht)*x (交換律②y(t)=x(t)*[h1(t)+h2(t)=xt)*h1t)+xt)*h2 (分配律ytxt)*h1t)]*h2t)=xt)*[h1t)*h2t結(jié)合律)從上述卷積三定律可引出兩個很有意義的結(jié)論:一是級聯(lián)系統(tǒng)的h(t)等于各子系統(tǒng)沖激響應的卷積,且子系統(tǒng)的級聯(lián)順序改變不影響h(t)。二是并聯(lián)系統(tǒng)的h(t等于各子系統(tǒng)沖激響應之和。④d[x(t)*h(t)] x(t) dh( dx(t

*h(t-∞[x(λ)*h(λ)]dλ=x(t)*∫-∞h(λ)t=∫-∞x(λ)dλ*h(yt)= x(-1)(t)*h1)t)= x1)t)*h(-1)t且由此得ty(t)0-)s(t-τ)0 0-)s(t)τ0+)s(t-τ)t即y(t)=x(0+)s(t)+∫0+)s(t-τ) ( 15式(215稱為杜阿美爾積分,它是用系統(tǒng)的單位階躍響應s(t)求零狀態(tài)響應的法,尤其適用于矩形脈沖或階梯信號作輸入的情況。⑦y(t)=x(t)*δ(t)=x((y(t)=x(t)*δ(t-t0)=x(t-t0(式(2 17)表明δ(t-t0)與任意信號進行卷積運算,起到了使任意信號移位的作用, 所以稱式(2 17)為移位性質(zhì)。應注意此式與式(1 9)的區(qū)別,后者稱為δ(t)的抽樣性質(zhì)或篩選性質(zhì)。卷積積分的計算方法卷積運算是本課中常用的基本方法,熟練掌握卷積的有關(guān)概念和計算方法,無論怎樣強調(diào)也不過分。式(210)至(213)是一些常見情況下的卷積計算式,當信號中存在不連續(xù)點或者是時限信號(信號僅在某限定時域內(nèi)不為零),其積分上下限還需依x(th(t的具體波形以及兩波形的相對位置而定。在這種情況下,借助卷積圖解完成卷積運算中的反轉(zhuǎn)、平移、相乘、積分等四個步驟,樣做往往會使計算過程更直觀、明了和簡潔。關(guān)于計算過程中的一些技巧, 我們結(jié)合例題予以說明。卷積積分還可以利用近似的數(shù)值計算方法求解,而且這種方法便于應用計算機來實現(xiàn)。h(t)的意義和對奇異函數(shù)的再認識h(t)的意義。式(210包含了一個十分重要的結(jié)論:既然續(xù)時間LTI系統(tǒng)對任意輸入x(t)的響應可以用單位沖激響應ht來完全表示,這就說明LTI系統(tǒng)的ht完全描述了系統(tǒng)的特性。例如,第一章討論的系統(tǒng)六個基本特性中,線性和時不變性是導出卷積積分的依據(jù),或者說是h(t)能夠描述系統(tǒng)特性的前提,而其余四個特性都可用h(t)來表示,即①因果性條件 h(t)=0 t< ( ∞②穩(wěn)定性條件

|h(t)|dt< ( -③可逆性條件:h(t)*h1(t)=δ( (2其中h1(t)是原系統(tǒng)之逆系統(tǒng)的單位沖激響應④性條件:h(t)≠kδ(t)(k為任意常數(shù))(221)對奇異函數(shù)的再認識。在第一章已經(jīng)給出了奇異函數(shù)的三種定義方式,這里還可從系統(tǒng)分析的角度再認識一下奇異函數(shù)。對單位沖激函數(shù)來說,重要的不是它在每一時刻t取什么值而在于在卷積的意義上它起了什么作用。因此單位沖激函數(shù)δ(t定義為這樣的信號,它使x(t)*δ(t)=x( ( 從系統(tǒng)分析的角度來看,若xt為輸入,δt就是一恒等系統(tǒng)的單位沖激響應。按照這個定義 同樣可以得到(t)的全部性質(zhì)。下面舉兩個例子①令x(t)=1 則∞- ( 證明了δt函數(shù)下的面1②任意函數(shù)x(t) 反轉(zhuǎn)后與δ(t)卷∞xt)=x(-t)*δt)=∫-∞x(τ-t)δ(τdτ當令t=0則有∞ ( 證明了單位沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)對于單位沖激函數(shù)的導數(shù), 也可以在卷積的意義上進行定義, x(t)*(1)(t)=x(1) ( x(t)*(2?

(?

=x(2)( ( 從系統(tǒng)分析的角度上觀察,若x(t為系統(tǒng)輸入,(1)t)是一階微分器的單位沖激響應(2)t是二階微分器的單位沖激響應等等。而且從下式的分析可以看出:二階微分器相當于兩個一階微分器的級聯(lián)等等。=d2 =

dx(

d[x(t)*(1)(t)]

dx(

*(1)(

或?qū)?(2)(t)=(1)(t)*(1)( ( 應用式(2 25)也可以得到單位沖激偶(1)(t)的有關(guān)性質(zhì), 例如①令x(t)=1 dx( (1- (1-

=x(t)*δ(t)

δ(τ)dτ= (