2022年高考文數(shù)真題試卷（全國甲卷）及解析答案

2022年高考文數(shù)真題試卷（全國甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵，∴.

故選：A

【分析】根據(jù)集合的交集運算即可解出．2．某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B【解析】【解答】解：對于A，講座前中位數(shù)為，所以A錯；

對于B，講座后問卷答題的正確率只有1個是80%，4個85%，剩下全部大于等于90%，所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%，所以B對；

對于C，講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯；

對于D，講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%，

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%，所以D錯.

故選：B.

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項判斷即可得解.3．若．則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：因為z=1+i，所以，所以．

故選：D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念先求得，再由復(fù)數(shù)的求模公式即可求出.4．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【解析】【解答】解：由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積.

故選：B.

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.5．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：由題意知：曲線C為，

又曲線C關(guān)于y軸對稱，則，

解得，

又ω>0，

故當(dāng)k=0時，ω的最小值為.

故選：C.

【分析】先由平移求出曲線C的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出ω的最小值.6．從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：從6張卡片中無放回抽取2張，共有如下15種情況：

(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，

其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6種情況，

故概率為.

故選：C.

【分析】先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.7．函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：由題意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又

所以f(x)為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)時，3x-3-x>0，cosx>0，所以f(x)>0，排除C.

故選：A.

【分析】由函數(shù)的奇偶性排除BD，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除C，即可得解.8．當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（）A．-1 B． C． D．1【答案】B【解析】【解答】因為函數(shù)f(x)定義域為（0，+∞），所以依題可知，f(1)=-2，f'(1)=0，

又，

則，解得，

所以，

由f'(x)>0，得0<x<1，由f'(x)<0，得x>1，

因此函數(shù)f(x)在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，

則當(dāng)x=1時取最大值，滿足題意，即有．

故選：B.

【分析】根據(jù)題意可知f(1)=-2，f'(1)=0，列式即可解得a，b，再根據(jù)f'(x)即可解出．9．在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A．B．AB與平面所成的角為C．D．與平面所成的角為【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示：

不妨設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，B1D與平面ABCD所成角為∠B1DB，

B1D與平面AA1B1B所成角為∠DB1A，

所以，

即b=c，，

解得．

對于A，AB=a，AD=b，AB=AD，A錯誤；

對于B，過B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB與平面AB1C1D所成角為∠BAE，

因為，所以，B錯誤；

對于C，，C錯誤；

對于D，B1D與平面BB1C1C所成角為∠DB1C，又，而0°<∠DB1C<90°，所以∠DB1C=45°．D正確．

故選：D．

【分析】先設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，再由題意得，b=c，最后根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．10．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)母線長為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，

則，

所以r1=2r2，

又，

則，

所以，

所以甲圓錐的高，

乙圓錐的高，

所以.

故選：C.

【分析】設(shè)母線長為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得r1=2r2，再結(jié)合圓心角之和可將r1，r2分別用l表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.11．已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：因為離心率，解得，則b2=a2，

記A1，A2分別為C的左右頂點，則A1（-a，0），A2（a，0），

又B為上頂點，所以B（0，b），

所以，

因為

所以-a2+b2=-1，將b2=a2代入，解得a2=9，b2=8，

故橢圓的方程為.

故選：B.

【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于a2，b2的等量關(guān)系式，即可得解.12．已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：由9m=10可得，

而，

所以，

即m>lg11，

所以a=10m-11>10lg11-11=0．

又，

所以，

即log89>m，

所以．

綜上，a>0>b．

故選：A

【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知m=log910>1，再利用基本不等式，換底公式可得m>lg11，log89>m，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量．若，則．【答案】或-0.75【解析】【解答】由題意知：，解得.

故答案為：.

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.14．設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為．【答案】【解析】【解答】解：∵點M在直線上，

∴設(shè)點M為（a，1-2a），又因為點和均在上，

∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，

∴，

化簡得：a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，

解得a=1，

∴M（1，-1），，

則的方程為.

故答案為：

【分析】設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用點和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.15．記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值．【答案】2（滿足皆可）【解析】【解答】解：因為雙曲線，

所以C的漸近線方程為，

結(jié)合漸近線的特點，只需，即，

可滿足條件“直線y=2x與C無公共點”

所以，

又因為e>1，所以，

故答案為：2（滿足皆可）

【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.16．已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，．【答案】或【解析】【解答】解：設(shè)CD=2BD=2m>0，

則在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m，

在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，

所以當(dāng)取最小值時，，即BD=.

故答案為：.

【分析】設(shè)CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)A24020B21030附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635（1）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點的概率；（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān)？【答案】（1）解：由表中數(shù)據(jù)可知，A共有班次240+20=260次，準(zhǔn)點班次有240次，設(shè)A家公司長途客車準(zhǔn)點事件為M，則；則A家公司長途客車準(zhǔn)點的概率為；B共有班次210+30=240次，準(zhǔn)點班次有210次，設(shè)B家公司長途客車準(zhǔn)點事件為N，則.B家公司長途客車準(zhǔn)點的概率為.（2）解：列聯(lián)表準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)合計A24020260B21030240合計45050500=，根據(jù)臨界值表可知，有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計算K2，再利用臨界值表比較即可得結(jié)論.18．記為數(shù)列的前n項和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】（1）已知，即①，當(dāng)時，②，①-②得，，即，即，所以，且，所以是以1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）中可得，，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時．【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）由（1）及等比中項的性質(zhì)求出a1，即可得到{an}的通項公式與前n項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．19．小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：cm）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．（1）證明：平面；（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．【答案】（1）證明：分別取的中點，連接，因為為全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：分別取中點，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識可知，，，，所以該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍．因為，，點到平面的距離即為點到直線的距離，，所以該幾何體的體積．【解析】【分析】（1）依題意，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得EM⊥平面ABCD，F(xiàn)N⊥平面ABCD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知EM//FN，即可知四邊形EMNF為平行四邊形，可得EF//MN，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）再分別取AD，DC中點K，L，由（1）知，該幾何體的體積等于長方體KMNL-EFGH的體積加上四棱錐B-MNFE體積的4倍，即可解出．20．已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．（1）若，求a：（2）求a的取值范圍．【答案】（1）解：由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點，，則，解得，則，解得；（2）解：，則在點處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01-0+0-0+-1則的值域為，故的取值范圍為.【解析】【分析】（1）先由f(x)上的切點求出切線方程，設(shè)出g(x)上的切點坐標(biāo)，由斜率求出切點坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出a即可；（2）設(shè)出g(x)上的切點坐標(biāo)，分別由f(x)和g(x)及切點表示出切線方程，由切線重合表示出a，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得a的取值范圍.21．設(shè)拋物線的焦點為F，點，過的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，．（1）求C的方程：（2）設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時，求直線AB的方程．【答案】（1）解：拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時，點M的橫坐標(biāo)為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；（2）解：設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.【解析】【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可