2022年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：22圖形的相似（含真題解析）

2022

年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：22

圖形的相似一、單選題1．如圖，點??(0，3)、??(1，0)，將線段????平移得到線段????，若∠??????

=90°，????=2????，則點

D

的坐標(biāo)是（ ）A．(7，2) B．(7，5) C．(5，6) D．(6，5)【答案】D【知識點】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；圖形的平移；用坐標(biāo)表示平移【解析】【解答】如圖過點

C

作??軸垂線，垂足為點

E，∵∠??????=

90°∴∠??????+∠????E=

90°∵∠????E+????E=

90°∴∠??????=

∠????E在????????和??????E中，∠??????=

∠????E∠??????=∠??E??=

90°，∴????????∽

??????E，????

????

????

1∴ = = = ，???? ??E E?? 2則??E

=

2????

=

6

，E??

=

2????

=

2∵點

C

是由點

B

向右平移

6

個單位，向上平移

2

個單位得到，∴點

D

同樣是由點

A

向右平移

6

個單位，向上平移

2

個單位得到，∵點

A

坐標(biāo)為(0，3)，∴點

D

坐標(biāo)為(6，5)，選項

D

符合題意，故答案為：D【分析】過點

C

作

x

軸垂線，垂足為點

E，利用余角的性質(zhì)可證得∠ABO=∠BCE，利用有兩組對應(yīng)角分別相等的兩三角形相似，可證得△ABO∽△BCE，利用相似三角形的性質(zhì)可求出

BE，EC

的長利用點的坐標(biāo)平移規(guī)律可知點

D

同樣是由點

A

向右平移

6

個單位，向上平移

2

個單位得到即可得到點

D

的坐標(biāo).2．在△ABC

中（如圖），點

D、E

分別為

AB、AC

的中點，則

S△ADE：S△ABC＝（ ）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【答案】D【知識點】相似三角形的性質(zhì)；三角形的中位線定理【解析】【解答】解：∵點

D、E

分別為

AB、AC

的中點，∴DE

是△ABC

的中位線，∴DE∥BC，DE=1BC，2∴△ADE∽△ABC，∴??△?????? ????2??△????E

??E2 14＝ =

.故答案為：D.2【分析】根據(jù)中位線定理得出

DE∥BC，DE=1BC，則可證出△ADE∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出??△????E＝??E2，即可解答.??△?????? ????23．如圖所示，在菱形????????中，對角線????與????相交于點??，過點??作??E

∥

????交????的延長線于點E，下列結(jié)論不一定正確的是（ ）12A．????=

??EB．

△

????E是直角三角形2C．????=

1??ED．??E=

??E【答案】D【知識點】平行線的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線【解析】【解答】解：∵在菱形

ABCD

中，對角線

AC

與

BD

相交于點

O，∴????⊥????，????=

????，∴∠??????=

90°，∵??E∥

????，∴∠????E=∠??????=

90°，∴△ACE

是直角三角形，故

B

選項正確；∵∠????E=∠??????=90°，∠????E=

∠??????，∴R??△????E～R??△

??????，????

????

????

1∴ = = =

，??E ??E ???? 21∴????=

??E12 2，????

=

??E，故

A

選項正確；∴BC

為

Rt△ACE

斜邊上的中線，12∴????

=

??E，故

C

選項正確；現(xiàn)有條件不足以證明

BE=CE，故

D

選項錯誤.故答案為：D.【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得

AC⊥BD，AO=OC，由平行線的性質(zhì)可得∠ACE=∠AOB=90°，據(jù)此判斷

B；易證△ACE∽△AOB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可判斷

A；根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可判斷

C.4．如圖，在四邊形

????????

中，∠??=90°

，????=6

，

????∥????

，????

平分∠??????

.設(shè)????=??

，????=??

，則??

關(guān)于??

的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為（ ）A．B．C．D．【答案】D【知識點】反比例函數(shù)的實際應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】∵????

∥

????

，∴∠??????=

∠??????

，∵????平分

∠??????，∴∠??????=∠??????，∴∠??????

=∠??????

，則

????

=????=

??

，即△

??????

為等腰三角形，過

??

點做

??E

⊥????

于點

E

.∴△??????∽△??E??

，????

??E?? 3∴????

=????

，∴6

=??

，∴??=18

，??∵在

△??????

中，

?????????

，∴???6

，故

??

關(guān)于

??

的函數(shù)圖象是

D.故答案為：D.【分析】利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證得∠ACD=∠CAD，利用等角對等邊可證得

CD=AD=y，過點D

作

DE⊥AC于點

E，由等腰三角形的性質(zhì)，可推出

DE

垂直平分

AC，可求出

AE

的長；再證明是△ABC∽△AED，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得到關(guān)于

x，y

的方程，然后將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，可知此函數(shù)是反比例函數(shù)且

x＜6，觀察各選項中的圖象，可得到符合題意的選項.5．在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感.如圖，按此比例設(shè)計一座高度為

2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度約是（ ）（結(jié)果精確到

0.01??

.參考數(shù)據(jù)： 2≈

1.414

， 3≈

1.732

， 5≈2.236

）A．0.73?? B．1.24?? C．1.37?? D．1.42??【答案】B【知識點】相似三角形的應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)該雕像的下部設(shè)計高度約是

xm，則上部的高度為（2-x）m，∵使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，??∴2―??

=

??2解之：??1

=

5

―1

≈

1.24，??2

=

―

5

―1（舍去）經(jīng)檢驗，x1

是方程的根，故答案為：B.【解答】設(shè)該雕像的下部設(shè)計高度約是

xm，則上部的高度為（2-x）m，根據(jù)雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，建立關(guān)于

x

的方程，解方程求出符合題意的

x

的值.6．如圖，在

△ABC

中，D、E

分別為線段

BC、BA的中點，設(shè)△ABC

的面積為

S1，

△EBD的面積為

S2．則??2

=（ ）??1A．B．C．則??E

垂直平分????，??E=??E=

1????2=3

，∠??E??=

90°，113D．72448∵∠??????=

∠??????，∠??=∠??E??=

90°，【答案】B【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的中位線定理【解析】【解答】解：∵D、E

分別為線段

BC、BA

的中點，∴DE

是△ABC

的中位線，∴DE=1AC，DE∥AC，2∴△BED∽△BAC，∴??1????2??2

=??E2

=241

2=

1，故答案為：B.2【分析】根據(jù)中位線定理得出

DE=1AC，DE∥AC，則可證明△BED∽△BAC，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可解答.????7．若

△??????

～△??E??

，

????=6

，

E??

=4

，則

????

=

（）A．9B．4

94C．23D．32【答案】D【知識點】相似三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵

△

??????

～△

??E??∴????

=

????，E?? ????∵????=6，E??=4

，∴= =????

6

3???? 4 2故答案為：D.【分析】直接根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例進(jìn)行計算即可.8．將一張以

AB

為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片

????????

，其中∠??=90°

，

????=9

，

????=7

，

????

=6

，

????=2

，則剪掉的兩個直角三角形的斜邊長不可能是（ ）A．25

B．452 4【答案】AC．10D．354【知識點】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：如圖

1，∵剪掉的是兩個直角三角形，∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，∴∠FED=∠CBE，∴△FED∽△CBE，∴????

=??E

=

??E??E ????

??E∵矩形

ABEF，∴AB=EF=9，設(shè)

DF=x，則

AF=BE=x+2，CE=y，則

DE=6+y??9

6+

??∴??=7=??+

2解之：??=

274??=

21經(jīng)檢驗??=

2144??=

274

是有原方程組的解4 4∴??E

=

6

+

21

=

45，故

B

不符合題意；427

354??E= +2= ，故

D

不符合題意；如圖

2同理可知△CFD∽△EFB，∴????

=????

=

???????? E?? ??E設(shè)

FC=m，則

BF=7+m，DF=n，則

AF=BE=n+2，9

??

??

∴ =6

=7

+

?? ??+

2解之：??=

8??=

10??=

10經(jīng)檢驗

??

=

8

是原方程組的解，∴DF=10，故

C

不符合題意；BF=7+8=15，故

A

符合題意；故答案為：A.【分析】分情況討論：如圖

1，易證△FED∽△CBE，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得比例式，設(shè)DF=x，則

AF=BE=x+2，CE=y，則

DE=6+y，可得到關(guān)于

x，y

的方程組，解方程組求出

x，y

的值；再求出DE，BE

的長，可對

B，D

作出判斷；如圖

2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得比例式，設(shè)

FC=m，則

BF=7+m，DF=n，則

AF=BE=n+2，可得到關(guān)于

m，n

的方程組，解方程組求出

m，n的值；再求出

DF，BF

的長，可對

A，C

作出判斷.9．如圖，點

E在矩形

????????

的

????

邊上，將

△????E

沿

??E

翻折，點

A

恰好落在

????

邊上的點

F

處，若????

=3????

，??E

=4

，則????

的長為（ ）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵矩形

ABCD，∴∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，∵△ADE

沿

DE

翻折，點

A

恰好落在

BC

邊上的點

F

處，∴AE=EF，∠A=∠DFE=90°，∴∠BEF=∠DFC，∴△FCD∽△EBF，∴CD：BF=FC：EB，又∵CD=3BF，∴FC：EB=3：1，∵BE=4，∴FC=12，設(shè)

AE=EF=a，則

AB=CD=a+4，∴BF=??+

43，在

Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2，∴（??+

4）2+42=a2，3整理，解得：a=-4（舍去）或

a=5，∴BF=3，∴AD=BC=BF+FC=3+12=15.故答案為：C.【分析】由矩形性質(zhì)得∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，由折疊得

AE=EF，∠A=∠DFE=90°，可得∠BEF=∠DFC，繼而證出△FCD∽△EBF，由相似三角形對應(yīng)比比例關(guān)系結(jié)合

CD=3BF

求得

FC=12，設(shè)AE=EF=a，則

AB=CD=a+4，從而得

BF=??

+

4，由勾股定理得到

a

的方程（??

+

4）2+42=a2，解得

a=5，求得3 3BF

的長，進(jìn)而求出

AD

的長.10．如圖，將矩形

????????

沿著

??E

、

E??

、

????

翻折，使得點??

、

??

、

??

恰好都落在點

??

處，且點??

、

??

、

??

在同一條直線上，同時點

E

、

??

、

??

在另一條直線上.小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①????∥E??；②????=43????；③??E=6????；④????=22????；⑤△??????∽△??E??

.5其中正確的是（ ）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【答案】B【知識點】平行線的判定；勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵矩形

ABCD

沿著

GE、EC、GF

折疊，使得點

A、B、D

恰好落在點

O

處，∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，∴①符合題意；設(shè)

AD＝2a，AB＝2b，則

DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝3a，在

Rt△AGE

中，由勾股定理得

GE2=AG2+AE2，即

GE2=a2+b2，在

Rt△EBC中，由勾股定理得

CE2=EB2+BC2，即

CE2=b2+（2a）2，在

Rt△CGE中，由勾股定理得

CG2＝GE2+CE2，（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，整理，解得：b＝

2a，∴AB＝

2AD，∴②不符合題意；設(shè)

OF＝DF＝x，則

CF＝2b-x＝2

2a-x，在

Rt△COF中，由勾股定理得

OF2+OC2=CF2，∴x2+（2a）2＝（2

a-x）2，解得：x＝

2a，2∴OF＝DF＝

2a，2∴6DF＝6×

2a＝

3a，2又∵GE2=a2+b2，∴GE=

3a，∴GE=

6DF，∴③符合題意；∵22OF＝22×

2a＝2a，2∴OC=2

2OF，∴④符合題意；∵無法證明∠FCO＝∠GCE，∴無法判斷△COF∽△CEG，∴⑤不符合題意；∴正確的有①③④.故答案為：B.【分析】由矩形性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得

DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，從而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定

GF∥CE；設(shè)

AD＝2a，AB＝2b，則

DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得

CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得

GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得

b＝

2a，從而得

AB＝

2AD；設(shè)

OF＝DF＝x，則

CF＝2b-x＝2

2a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即

x2+（2a）2＝（2a-x）2，解得

x＝

2a，從而得

OF＝DF＝

2a，進(jìn)而求得

GE=

6DF；又

2

22 2OF＝2

2×

2a＝2a，從而可得∴OC=2

2OF；因條件不足，無法證明∠FCO＝∠GCE，因而無法判斷2△COF∽△CEG.據(jù)此逐項分析即可得出正確答案.11．△ABC

的三邊長分別為

2，3，4，另有一個與它相似的三角形

DEF

，其最長邊為

12，則

△DEF

的周長是（ ）A．54 B．36 C．27 D．21【答案】C【知識點】相似三角形的性質(zhì)12 3【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF，相似比=

4

=

1，∴

△

??????的周長

1△

??E??的周長

3=

，∴△DEF

的周長=3（2+3+4）=27.故答案為：C.【分析】先求出△ABC∽△DEF

的相似比=1，從而得出

△

??????的周長=

1，即可得出△DEF的周長=33 △

??E??的周長 3（2+3+4）=27.12．如圖，D，E，F(xiàn)

分別是△ABC三邊上的點，其中

BC＝8，BC

邊上的高為

6，且

DE∥BC，則△DEF

面積的最大值為（ ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形的面積；相似三角形的判定與性質(zhì)；偶次冪的非負(fù)性【解析】【解答】解：如圖，過點

A

作

AM⊥BC

于

M，交

DE

于點

N，則

AN⊥DE，設(shè)

AN＝a，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴??E

=

????????

??M8∴??E

=

??643∴DE＝ a，2∴△DEF

面積

S＝

1

×DE×MN2 3＝1

×4

a?（6﹣a）3＝﹣2

a2+4a＝﹣2

（a﹣3）2+6，3∴當(dāng)

a＝3

時，S

有最大值，最大值為

6.故答案為：A.【分析】過點

A

作

AM⊥BC于

M，交

DE于點

N，設(shè)

AN＝a，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE=∠B，43∠AED=∠C，證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

DE＝

a，然后根據(jù)三角形的面積公式以及偶次冪的非負(fù)性進(jìn)行解答.13．如圖，正方形

ABCD

與正方形

BEFG

有公共頂點

B，連接

EC、GA，交于點

O，GA

與

BC

交于點

P，連接

OD、OB，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB

平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④【答案】D【知識點】正方形的性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜邊上的中線【解析】【解答】解：∵四邊形

ABCD、四邊形

BEFG

是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠OPC＝90°，∴∠POC＝90°，∴EC⊥AG，故①正確；取

AC

的中點

K，如圖：在

Rt△AOC

中，K

為斜邊

AC

上的中點，∴AK＝CK＝OK，在

Rt△ABC

中，K

為斜邊

AC

上的中點，∴AK＝CK＝BK，∴AK＝CK＝OK＝BK，∴A、B、O、C

四點共圓，∴∠BOA＝∠BCA，∵∠BPO＝∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正確，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∴A、O、C、D

四點共圓，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正確，由已知不能證明

OB

平分∠CBG，故③錯誤，故正確的有：①②④.故答案為：D.【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得

AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，由角的和差關(guān)系可得∠ABG＝∠EBC，證明△ABG≌△CBE，得到∠BAG＝∠BCE，結(jié)合∠BAG+∠APB＝90°可得∠POC＝90°，據(jù)此判斷①；取

AC的中點

K，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得

AK＝CK＝OK，AK＝CK＝BK，推出

A、B、O、C四點共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠BOA＝∠BCA，然后利用相似三角形的判定定理可判斷②；易得

A、O、C、D

四點共圓，根據(jù)等弦所對的圓周角相等可得∠AOD＝∠DOC＝45°，據(jù)此判斷④.????

314．如圖，在△ABC中，點

D、E分別在邊

AB、AC

上，若

DE∥BC，

????

=

2

，DE＝6cm，則

BC的長為（ ）A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm【答案】C【知識點】平行線分線段成比例????

2【解析】【解答】解：∵ = ，???? 3∴????

=

2，???? 5∵DE∥BC，????

????

5∴??E

=????

=

2，5∴BC=DE×

=15cm.2故答案為：C.【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得出????

=

2，然后根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)求出??E

=

????

=

2，則可解答.???? 5 ???? ???? 515．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點

A，B，C

都在橫線上：若線段

AB=3，則線段

BC的長是（ ）A．2

B．13【答案】CC．32D．2【知識點】平行線分線段成比例【解析】【解答】解：過

A

作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線于

D、E，∵AD=2DE，∵BD∥CE，????

????∴ = =

2，???? ??E∵AB=3，∴BC=1AB=3.2 2故答案為：C.【分析】過

A

作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線于

D、E，根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)列比例式，結(jié)合

AB=3，即可求出

BC長.二、填空題16．古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度.如圖，木桿

EF

長

2

米，它的影長

FD是

4

米，同一時刻測得

OA是

268

米，則金字塔的高度

BO

是

米.【答案】134【知識點】相似三角形的應(yīng)用【解析】【解答】解：∵????

∥

E??

，∴∠??????=∠E????

，∵∠??????=∠??E??=90°

，∴△??????∽△??E??

，∴????∶E??=????∶????

，∴????∶2=268∶4

，∴????=134

.故答案為：134.【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAO=∠EDF，易證△ABO∽△DEF，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例就可求出

BO

的值.17．在矩形

ABCD中，????=9，????=12，點

E

在邊

CD

上，且??E

=4，點

P是直線

BC上的一個動點．若△????E是直角三角形，則

BP

的長為

．【答案】31或15或

63 4【知識點】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；四邊形的綜合【解析】【解答】解：在矩形

ABCD

中，????=????

=9，????=????=12，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，如圖，當(dāng)∠APE=90°時，∴∠APB+∠CPE=90°，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠BAP=∠CPE，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，∴????

=

????，即

9 =

????，????

??E

12?????

4解得：BP=6；如圖，當(dāng)∠AEP=90°時，∴∠AED+∠PEC=90°，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠DAE=∠PEC，∵∠C=∠D=90°，∴△ADE∽△ECP，∴????

=

??E，即12

=

9?4，??E ???? 4 ????3解得：????

=

5，31∴????=?????????=3

；如圖，當(dāng)∠PAE=90°時，過點

P

作

PF⊥DA

交

DA

延長線于點

F，根據(jù)題意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，∴四邊形

ABPF

為矩形，∴PF=AB=9，AF=PB，∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，∴∠DAE=∠APF，∵∠F=∠D=90°，∴△APF∽△EAD，??E

????

9?4

12∴????

=

????，即

????

=

9

，15

154 4解得：????= ，即????= ；綜上所述，BP

的長為31或15或

6．3 43 4故答案為：31或15或

6【分析】分三種情況：①當(dāng)∠APE=90°時，②當(dāng)∠AEP=90°時，③當(dāng)∠PAE=90°時，過點

P

作

PF⊥DA

交

DA延長線于點

F，分別畫出圖象并利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可。18．如圖，

△

??????中，點E、??分別在邊????、????上，∠1

=

∠2.若????

=

4，????

=

2，????=

3，則E??=

.【答案】85【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：

∵

∠1

=

∠2，∠??

=

∠??，∴△??E??∽△

??????，∴E??

=

????，???? ????∵????=4，????=2，????=

3，E??

2

∴4=2+

3，5∴E??=

8.故答案為：8.5【分析】易證△AEF∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算.19．如圖

1，在△

??????中，∠??

=

36°，動點??從點??出發(fā)，沿折線??→??→??勻速運動至點??停止.若點??的運動速度為1????/??，設(shè)點??的運動時間為??(??)，????的長度為??(????)，??與??的函數(shù)圖象如圖

2

所示.當(dāng)????恰好平分∠??????時??的值為

.【答案】2

5

+2【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；動點問題的函數(shù)圖象；角平分線的定義【解析】【解答】解：如圖，連接

AP，由圖

2

可得????

=

????

=

4????，∵∠??=36°，????=

????，∴∠??????=∠??=

72°，∵

????平分∠??????，∴∠??????=∠??????=∠??=

36°，∴????=????，∠??????=72°=

∠??，∴????=????=

????，∵∠??????=∠??，∠??=

∠??，∴△??????∽△

??????，∴????

=

????，???? ????∴????2=?????????=

4(4?????)，∴

????

=

2

5?2

=

????，(負(fù)值舍去)，∴??=4+25?2

=25

+2.1故答案為：2

5

+2.【分析】連接

AP，由圖

2

可得

AB=BC=4cm，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠C=72°，根據(jù)角平分線的概念可得∠BAP=∠PAC=36°，推出

AP=AC=BP，證明△APC∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

AP，據(jù)此求解.20．九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點E是????的黃金分割點，即??E

≈

0.618????.延長????與????相交于點??，則E??

≈

??E.（精確到

0.001）【答案】0.618【知識點】矩形的判定與性質(zhì)；黃金分割【解析】【解答】解：如圖，設(shè)每個矩形的長為

x，寬為

y，則

DE＝AD－AE＝x－y，由題意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，∴四邊形

EFGM

是矩形，∴EG＝MF＝y(tǒng)，∵??E≈

0.618????，∴x－y≈0.618x，解得

y≈0.382x，???????E

???0.382??∴E??

=

??

≈

0.382??

≈

0.618，∴EG≈0.618DE.故答案為：0.618.【分析】設(shè)每個矩形的長為

x，寬為

y，則

DE＝x-y，易得四邊形

EFGM

是矩形，EG＝MF＝y(tǒng)，根據(jù)??E??―

??DE≈0.618AD

可得

y≈0.382x，然后根據(jù)E??

=

??

進(jìn)行解答.三、綜合題21．如圖

1，拋物線??

=

????2

+2??

+

??經(jīng)過點??(?1，0)、??(0，3)，并交

x

軸于另一點

B，點??(??，??)在第一象限的拋物線上，????交直線????于點

D.（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)點

P

的坐標(biāo)為(1，4)時，求四邊形????????的面積；????（3）點

Q在拋物線上，當(dāng) 的值最大且△

??????是直角三角形時，求點

Q

的橫坐標(biāo)；????【答案】（1）解：∵拋物線??

=

????2

+2??

+

??經(jīng)過點??(?1，0)、??(0，3)，∴

???2+??

=0解得

??=?1??=3 ??=

3∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為??

=

???2

+2??

+

3（2）解：如圖，連接????，令??

=

???2

+2??

+

3

=

0，∴??1=?1，??2=

3.∴??(3，0)∵??(0，3)，??(1，4)，∴????=3，????=3，????=1，????=

4.∴??△??????

=2?????????

=2，??△??????

=1

3

12?????????=

6.∴??四邊形????????

=

??△??????+??△??????

=

152（3）解：如圖，作????

∥

??軸，交直線????于點

F，則△

??????

∽△

??????.∴ =????

????????

????.∵????

=

4是定值，∴當(dāng)????最大時，????

=????最大.???? ????設(shè)??????

=????

+??，∵??(0，3)，??(3，0)，∴??????=???+

3.設(shè)??(??，???2

+2??

+

3)，則??(??2?2??，???2

+2??

+

3).(???2

)4∴????=???(??2?2??)=???2+3??

=? 3

2+

9.2 4∴當(dāng)??

=

3時，????取得最大值9，此時??(

， )2 43

15

.設(shè)點??(??，???2

+2??

+

3)，若△

??????是直角三角形，則點

Q

不能與點

P、A

重合，∴??≠3

??

≠

?1，下面分三類情況討論：，2①若∠??????

=

90°，如圖，過點

P

作????2

⊥

??軸于點??2，作????1

⊥

??2??交??2??的延長線于點??1，則△

????1??∽△

????2??.????1 ????2????1

????2∴ = .∴23

???15

=3

4???2+2??+

3?

4 2+

115.32∵??≠

，???

122

1

∴ =

3.∴??=

7.6②若∠??????

=90°，如圖，過點

P作直線????1

⊥??軸于點??1，過點

Q

作????2

⊥

??軸于點??2，

△??????1

∽△??????2.∴????1

????22????1=????

.1523

+

1 ??2?2???3∴

4

=

??+1

.∵??≠

?1，3

1

2 ???3∴

= .∴??

=113.③若∠??????

=90°，如圖，過點

Q

作????1

⊥??軸于點??1，作????2

⊥??1??交??1??的延長線于點??2，則△

??????2

∽△??????1.???? ????????2 ????1∴

2

=

1.∴3???

2415

?(???2+2??+

3)??+

1=???2+2??+

3.32∵??≠，??≠

?1，∴

2

2???1=

3???.∴??122=1，??=

5.綜上所述，當(dāng)????的值最大且△??????是直角三角形時，點

Q

的橫坐標(biāo)為7，11，5，1.???? 6 3 2【知識點】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】（1）將

A（-1，0）、C（0，3）代入

y=ax2+2x+c

中可求出

a、c

的值，進(jìn)而可得拋物線的解析式；（2）連接

OP，令

y=0，求出

x

的值，可得點

B

的坐標(biāo)，然后根據(jù)

S=S +S四邊形

BOCP △POC △BOP結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行解答；（3）作

PF∥x軸，交直線

BC

于點

F，則△PFD∽△ABD，可得：當(dāng)

PF最大時，????

=

????最大，利用待定系數(shù)???? ????法求出直線

BC的解析式，設(shè)

P（m，-m2+2m+3），則

F（m2-2m，-m2+2m+3），表示出

PF，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得

PF

的最大值以及對應(yīng)的點

P的坐標(biāo)，設(shè)

Q（t，-t2+2t+3），①若∠APQ=90°，過點

P作

PP2⊥x

軸于點P2，作

QP1⊥P2P

交

P2P

的延長線于點

P1，則△PP1Q∽△AP2P，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

t；②若∠PAQ=90°，如圖，過點

P作直線

PA1⊥x

軸于點

A1，過點

Q作

QA2⊥x軸于點

A2，則△APA1∽△QAA2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

t；③若∠AQP=90°，過點

Q

作

QQ1⊥x軸于點

Q1，作

PQ2⊥Q1Q交

q1q

的延長線于點q2，則△PQQ2∽△QAQ1，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

t.22．某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究

y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖

1

所示，該類型圖

1

1

4?? 4??象上任意一點

M到定點F（0， ）的距離

MF，始終等于它到定直線

l：y＝﹣ 上的距離

MN（該結(jié)論不需

1

4??要證明），他們稱：定點

F為圖象的焦點，定直線

l為圖象的準(zhǔn)線，y＝﹣ 叫做拋物線的準(zhǔn)線方程.其中原點O

為

FH

的中點，F(xiàn)H=2OF=

1

，例如，拋物線

y＝1x2，其焦點坐標(biāo)為

F（0，1），準(zhǔn)線方程為

l：y＝﹣1.其中2?? 2 2 2MF=MN，F(xiàn)H=2OH=1.（1）【基礎(chǔ)訓(xùn)練】請分別直接寫出拋物線

y＝2x2的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線

l的方程：

，

.（2）【技能訓(xùn)練】8如圖

2

所示，已知拋物線

y＝1x2

上一點

P

到準(zhǔn)線

l

的距離為

6，求點

P

的坐標(biāo)；（3）【能力提升】如圖

3

所示，已知過拋物線

y＝ax2（a＞0）的焦點

F

的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線

l

于點

A、B、C.若

BC＝2BF，AF＝4，求

a

的值；（4）【拓展升華】古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點

C

將一條線段

AB

分????

????2為兩段

AC和

CB，使得其中較長一段

AC是全線段

AB

與另一段

CB

的比例中項，即滿足：????＝????＝

5?1.后人把

5?1這個數(shù)稱為“黃金分割”把點

C

稱為線段

AB

的黃金分割點.24如圖

4

所示，拋物線

y＝1x2

的焦點

F（0，1），準(zhǔn)線

l

與

y

軸交于點

H（0，﹣1），E

為線段

HF

的黃金分割M??M??點，點

M為

y軸左側(cè)的拋物線上一點.當(dāng) ＝

2時，請直接寫出△HME

的面積值.【答案】（1）（0，1）；??

=

?1，8 8（2）解：由題意得拋物線

y＝1x2

的準(zhǔn)線方程為??

=

?

1

=

?2，8 4??∵點

P

到準(zhǔn)線

l

的距離為

6，∴點

P

的縱坐標(biāo)為

4，1

2∴當(dāng)??

=

4時，

??

=

4，8解得??

=±

4

2，∴點

P

的坐標(biāo)為（4

2，4）或（?4

2，4

）（3）解：如圖所示，過點

B

作

BD⊥y軸于

D，過點

A

作

AE⊥y軸于

E，4??

1

1

4??由題意得點

F的坐標(biāo)為

F（0， ）直線

l的解析式為：y＝﹣ ，2??∴????∥??E∥????，????=

1

，∴△FDB∽△FHC，∴????

=????

=

????，???? ???? ????∵BC=2BF，∴CF=3BF，∴????

=????

=????

=

1，???? ???? ???? 36??∴????=

1

，12??∴????=?????????=

1

，12??∴點

B

的縱坐標(biāo)為

1

，

1

∴ =

????2，12??解得??

=

3

（負(fù)值舍去），6??∴????=

3

，6??∵??E∥

????，∴△AEF∽△BDF，E?? ????∴??E

=????

=3，∴??E=

3E??，∵??E2+E??2=

????2，∴4E??2=????2=

16，∴EF=2，∴??E=2

3，4??∴點

A

的坐標(biāo)為（?2

3，2

+

1

），∴2+

1

=12??，4??∴48??2?8???1=

0，∴(12??+1)(4???1)=

0，解得??

=

1（負(fù)值舍去）4（4）解：??△??ME

=

2

5?2或??△??ME

=

3?

5【知識點】黃金分割；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；等腰直角三角形；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用【解析】【解答】解：（1）由題意得拋物線

y＝2x2

的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線

l

的方程分別為（0，1），??

=

?1，8 8故答案為：（0，1），??

=?1，8 8（4）如圖，當(dāng)

E

為靠近點

F

的黃金分割點的時候，過點

M

作

MN⊥l

于

N，則

MN=MF，M??

M??2∵在

Rt△MNH

中，sin∠M????

=M??

=

M??

=

2，∴∠MHN=45°，∴△MNH

是等腰直角三角形，∴NH=MN，142設(shè)點

M

的坐標(biāo)為（m，

??

），12∴M??=??+1=???=

????，4∴??=

?2，∴HN=2，∵點

E

是靠近點

F

的黃金分割點，∴??E=

5?1????=

5?1，2∴??△??ME

=12??E?????=

5?1；同理當(dāng)

E

時靠近

H

的黃金分割點點，E??

=

5?1????

=

5?1，2∴??E=2?5+1=3?

5，∴??△??ME

=12??E?????=3?

5，綜上所述，??△??ME

=

2

5?2或??△??ME

=

3?

5【分析】（1）根據(jù)

y=2x2

可得

a=2，則焦點坐標(biāo)為（0，

1

），準(zhǔn)線

l

的方程為

y=-

1

，據(jù)此解答；4?? 4??（2）由題意得拋物線

y＝1x2

的準(zhǔn)線方程為

y=-

1

=-2，結(jié)合點

P

到準(zhǔn)線

l

的距離為

6

可得點

P

的縱坐標(biāo)為

4，8 4??令

y=4，求出

x的值，據(jù)此可得點

P的坐標(biāo)；（3）過點

B

作

BD⊥y軸于

D，過點

A

作

AE⊥y軸于

E，由題意得

F（0，

1

），直線

l的解析式為：y＝-

1

，4?? 4??

1

1

1

6?? 12 12易證△FDB∽△FHC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

CF=3BF，F(xiàn)D= ，OD= a，令

y= a，求出

x，據(jù)此可得BD，證明△AEF∽△BDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

AE=

3EF，結(jié)合勾股定理求出

EF，進(jìn)而可得

AE，然后表示出點

A

的坐標(biāo)，據(jù)此求出

a

的值；（4）當(dāng)

E

為靠近點

F

的黃金分割點的時候，過點

M

作

MN⊥l于

N，則

MN=MF，求出

sin∠MHN

的值，可得14∠MHN=45°，推出△MNH

是等腰直角三角形，設(shè)

M（m，

m2），根據(jù)

MN=HN可得

m

的值，根據(jù)黃金分割點△HME的特征求出

HE，利用三角形的面積公式求出

S ，同理可求出當(dāng)

E

時靠近

H

的黃金分割點時△HME

的面積.23．如圖，

△??????和

△????E的頂點??重合，∠??????=∠????E

=90°，∠??????=∠????E

=

30°，????=3，??E=2.??E（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖

1，當(dāng)點??，E分別在????，????上時，可以得出結(jié)論：????

=

，直線????與直線??E的位置關(guān)系是

；（2）探究證明：如圖

2，將圖

1

中的△

????E繞點??順時針旋轉(zhuǎn)，使點??恰好落在線段????上，連接E??，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展運用：如圖

3，將圖

1

中的△

????E繞點??順時針旋轉(zhuǎn)??(19°

?

??

?60°)，連接????、E??，它們的延長線交于點??，當(dāng)????

=

??E時，求??????(60°???)的值.【答案】（1）

3；垂直（2）解：結(jié)論成立.理由：∵∠??????

=

∠????E

=

90°，∴∠??????=

∠????E，∵????=3????，????=

3??E，????

????∴ = ，???? E??∴

△??????∽△????E，E?? ????∴????

=????

=3，∠??????=

∠??E??，∵∠??????+∠??????=

180°，∴∠??????+∠??E??=

180°，∴∠????E+∠????E=

180°，∵∠????E=

90°，∴∠????E=

90°，∴????⊥

E??（3）解：如圖

3

中，過點??作????

⊥

????于點??，設(shè)????交????于點??，過點??作????

⊥

????于點??.∵∠??????=90°，∠??????=

30°，∴∠??????=

60°，∴∠??????=

60°???.∵????=3

3，13

3292 2∴????=

????

= ，????=3????=

，當(dāng)????

=

??E時，四邊形??E????是矩形，∴∠??????=90°，????=????2?????2

=(33)2?(23)2

=15，設(shè)????

=

??，則????

=

3??，????=

2??，∵∠??????=∠??????=

90°，????

????∴tan??=????

=

????，????

??

152

3∴ = ，∴????=2

5??，5∴3??+25??=33，5∴??=45?6

15，11∴????=2??=90?12

15，1192∴????=?????????=

?90?12

1511=24

15?8122，????∴??????(60°???)=????

=85?9

311【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】解：（1）在R??

△??????中，∠??=90°，????=3，∠??=30°，∴????=3????=33，在R??

△

????E中，∠????E

=

30°，??E

=

2，∴????=3??E=2

3，∴E??=1，????=

3，E??∴????

=3，此時????

⊥

E??.故答案為：

3，垂直；【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的概念可得

AB=

3BC=3

3，BD=

3BE=2

3，易得

EC=BC-BE=1，AD=AB-BD=3，據(jù)此求解；（2）根據(jù)同角的余角相等可得∠ABD=∠CBE，證明△ABD∽△CBE，由相似三角形的性質(zhì)可得????

????E?? ????= =

3，∠ADB=∠BEC，由鄰補角的性質(zhì)可得∠ADB+∠CDB=180°，結(jié)合∠DBE=90°可得∠DCE=90°，據(jù)此解答；（3）過

B作

BJ⊥AC

于點

J，設(shè)

BD交

AK

于點

K，過

K作

KT⊥AC

于點

K，易得∠ABJ=60°，∠KBJ=60°-α，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得

BJ、AJ，當(dāng)

DF=BE

時，四邊形

BEFD

是矩形，利用勾股定理可得

AD，設(shè)

KT=m，則

AT=

3m，AK=2m，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得

BT，由

AB=AT+BT可得

m，然后求出

AK、KJ，再根據(jù)三角函數(shù)的概念計算即可.24．回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考（1）如圖

1，在△ABC

中，AB＝AC．①BD，CE

是△ABC

的角平分線．求證：BD＝CE．②點

D，E

分別是邊

AC，AB

的中點，連接

BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）（2）猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC

中，AB＝AC，D

為邊

AC

上一動點（不與點

A，C

重合）．對于點

D

在邊

AC

上的任意位置，在另一邊

AB

上總能找到一個與其對應(yīng)的點

E，使得

BD＝CE．進(jìn)而提出問題：若點

D，E

分別運動到邊

AC，AB

的延長線上，BD

與

CE

還相等嗎？請解決下面的問題：如圖

2，在△ABC

中，AB＝AC，點

D，E

分別在邊

AC，AB

的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的字母），使得

BD＝CE，并證明．（3）探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)如圖

3，在△ABC

中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E

為邊

AB

上任意一點（不與點

A，B

重合），