數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念第1頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五例1

設(shè)X,Y是兩個相互獨(dú)立的且均服從正態(tài)分布，……

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已知的分布律為例2求第2頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五例3測試我校全體男生的身高，成績；某地區(qū)的人口分布；某路口的交通流量等等。

研究某批燈泡的質(zhì)量…考察國產(chǎn)轎車的質(zhì)量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五什么是數(shù)理統(tǒng)計(jì)？數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科.它是研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出推斷和預(yù)測.客觀上，只允許我們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗(yàn)，我們只能獲得局部觀察資料.數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法具有“部分推斷整體”的特征.第4頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五由于觀測和試驗(yàn)是隨機(jī)現(xiàn)象，依據(jù)有限個觀測或試驗(yàn)對整體所作出的推論不可能絕對準(zhǔn)確，多少總含有一定程度的不確定性，而不確定性用概率的大小來表示是最恰當(dāng)?shù)?。什么是?shù)理統(tǒng)計(jì)概率大，推斷就比較可靠；概率小，推斷就比較不可靠。

第5頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一個基本問題就是依據(jù)觀測或試驗(yàn)所取得的有限信息對整體如何推斷的問題，每個推斷必須伴隨一定的概率一表明推斷的可靠程度。這種伴隨有一定概率的推斷稱為統(tǒng)計(jì)推斷。什么是數(shù)理統(tǒng)計(jì)第6頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分類數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分類描述統(tǒng)計(jì)學(xué)

對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀察、試驗(yàn)，以取得有代表性的觀測值.推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)

對已取得的觀測值進(jìn)行整理、分析，作出推斷和決策，找出研究對象的規(guī)律.第7頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五推斷數(shù)理統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)估計(jì)（第6章）

假設(shè)檢驗(yàn)（第7章）方差分析（第8章）

回歸分析（第8章）第8頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.1母體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)一、總體、個體研究對象全體稱為總體（或母體）.總體中每個研究對象(元素)稱為個體.總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量.研究某批燈泡的質(zhì)量總體…考察國產(chǎn)轎車的質(zhì)量總體第9頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五總體有限總體：一個廠某個月生產(chǎn)燈泡的個數(shù)的全體.無限總體：一個廠生產(chǎn)燈泡的個數(shù)的全體.5.1總體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

我們關(guān)心的是總體中的個體的某項(xiàng)指標(biāo)(如人的身高、燈泡的壽命,汽車的耗油量…).

由于每個個體的出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機(jī)性.從而可以把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個隨機(jī)變量，因此隨機(jī)變量的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布.第10頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五例如:研究某批燈泡的壽命時，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.某批燈泡的壽命總體

壽命

可用一概率（指數(shù)）分布來刻劃鑒于此，常用隨機(jī)變量的記號或用其分布函數(shù)表示總體.如說總體

或總體F(x).5.1總體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)第11頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五

類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用和分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機(jī)變量或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示.統(tǒng)計(jì)中，總體這個概念的要旨是：總體就是一個概率分布.5.1母體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)第12頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五二、樣本樣本：在總體中抽取若干個有代表性的個體。樣本容量：樣本中所含個體的數(shù)目n。①代表性：樣本的每個分量與總體有相同的分布函數(shù)；5.1母體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)第13頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五②獨(dú)立性：為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，滿足以上條件的樣本稱為來自總體的容量為n的一個簡單隨機(jī)樣本（簡稱樣本）。樣本的一次具體實(shí)現(xiàn)稱為樣本值。5.1母體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)第14頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五例5.1.設(shè)一批產(chǎn)品包含N個，內(nèi)有廢品M，M未知.需要進(jìn)行抽樣以了解不合格率p.放回抽樣；（是否簡單抽樣？）不放回抽樣；（是否簡單抽樣？）5.1母體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)N較大時，是簡單抽樣.(n/N<=0.1)第15頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五

簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形.今后，若不特別說明，就指簡單隨機(jī)樣本.=F(x1)F(x2)…F(xn)

若總體的分布函數(shù)為F(x)、概率密度函數(shù)為p(x),則其簡單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為其簡單隨機(jī)樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為=p(x1)p(x2)…p(xn)

5.1母體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)第16頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五三、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)（或子樣分布函數(shù)）5.1母體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)第17頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五

注1°

1）非減2）右連續(xù)3）注2°

對固定x，

5.1母體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)第18頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五注3°格里汶科定理：5.1母體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)第19頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五(a)205.1母體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)20(a)第20頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五(b)200圖5-25.1母體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)(b)200第21頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布一、統(tǒng)計(jì)量的概念由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進(jìn)行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來。這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。它是完全由樣本決定的量。第22頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布1、定義

必須是一個不含總體未知參數(shù)的實(shí)值函數(shù)。第23頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五例如總體是一個樣本。則均為統(tǒng)計(jì)量。5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第24頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五2、幾個常用的統(tǒng)計(jì)量1）樣本均值設(shè)是來自總體

的一個樣本。它反映了總體

取值的平均值的信息。常用來估計(jì)E

5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第25頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五2）樣本方差5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布樣本修正方差第26頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布

樣本修正標(biāo)準(zhǔn)差第27頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五4）樣本k階原點(diǎn)矩5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布5）樣本k階中心矩第28頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五3、統(tǒng)計(jì)量的觀察值5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第29頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五記為定義設(shè)相互獨(dú)立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機(jī)變量：所服從的分布為自由度為n的分布。(一)分布5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布二、統(tǒng)計(jì)量的分布1、統(tǒng)計(jì)三大抽樣分布第30頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第31頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五且

相互獨(dú)立，(1)可加性性質(zhì)

則E(

)=n,D(

)=2n(2)證明5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布

則利用可加性，即證。第32頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五

c2分布的分位點(diǎn)稱滿足條件定義：對于給定的正數(shù)的點(diǎn)為的上分位點(diǎn)。5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第33頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五記為T～t(n)。所服從的分布為自由度為n的t分布。定義:設(shè)

～N(0,1),～則稱變量,且與相互獨(dú)立，（二）t分布T的密度函數(shù)為：5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第34頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五t分布的密度函數(shù)關(guān)于x=0對稱當(dāng)n充分大時，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形。5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第35頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五

t分布的分位點(diǎn)稱滿足條件定義：對于給定的正數(shù)的點(diǎn)為的上分位點(diǎn)。性質(zhì)：同理，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn)的點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。例5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第36頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五定義:設(shè)與

相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為（三）F分布n1及n2的F分布。記作F~F(n1,n2)。5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第37頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五(1)由定義可見，~F(n2,n1)性質(zhì)(2)F分布的分位點(diǎn)5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第38頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度n1(3)X的數(shù)學(xué)期望為:若n2>2若n2>45.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第39頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五例1、例2、5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第40頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五統(tǒng)計(jì)三大分布的定義、基本性質(zhì)在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要牢記！！5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第41頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五2、幾個重要的抽樣分布定理5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第42頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第43頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布注:第44頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第45頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布證：令第46頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第47頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第48頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第49頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五例1解5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第50頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五例2解5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第51頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第52頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五例3

設(shè)總體X

服從正態(tài)分布，其樣本為解

由已知得所以標(biāo)準(zhǔn)化得5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第53頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五又因?yàn)楣?.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第54頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五例45.2統(tǒng)計(jì)量及其分布解第55頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布第56頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五三、小結(jié)在這一節(jié)中我們學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)量的概念,幾個重要的統(tǒng)計(jì)量及其分布,即抽樣分布.要求大家熟練地掌握它們.5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布一、統(tǒng)計(jì)量概念和幾個常用統(tǒng)計(jì)量二、3個常用的抽樣分布和抽樣分布定理第57頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.3次序統(tǒng)計(jì)量及其分布一、次序統(tǒng)計(jì)量的定義定義1

第58頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.3次序統(tǒng)計(jì)量及其分布一、次序統(tǒng)計(jì)量的定義注：

----最小次序統(tǒng)計(jì)量----最大次序統(tǒng)計(jì)量----極差----中位數(shù)第59頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.3次序統(tǒng)計(jì)量及其分布二、次序統(tǒng)計(jì)量的分布定理1設(shè)總體有密度函數(shù)（這里可設(shè)）并且為取自總體的一個子樣，則第k個次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)為第60頁，共71頁，2023年，2月20日，星期五5.3次序統(tǒng)計(jì)量及其分布第