拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

2.4.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：（一）學(xué)習(xí)知識(shí)目標(biāo)1．掌握拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程。2．理解拋物線的幾何性質(zhì)。3.初步運(yùn)用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的幾何性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題。（二）能力訓(xùn)練目標(biāo)1.訓(xùn)練化簡(jiǎn)方程的運(yùn)算能力,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想.2.要求學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對(duì)比、概括、轉(zhuǎn)化等方面的能力．(三)德育滲透目標(biāo)通過(guò)復(fù)習(xí)舊知識(shí)，學(xué)生通過(guò)看教師的演示畫圖探究，引出拋物線的定義，對(duì)學(xué)生進(jìn)行理論來(lái)源于實(shí)踐的辯證唯物主義思想教育．教學(xué)重點(diǎn)：拋物線的定義和它的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的定義的運(yùn)用教學(xué)方法：獨(dú)立思考，合作交流，自主探索，啟發(fā)引導(dǎo)一、溫故而知新橢圓和雙曲線的有共同的幾何特征：都可以看作是，在平面內(nèi)與一定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。（其中定點(diǎn)不在直線上）當(dāng)時(shí)，軌跡是橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡是雙曲線。二、活動(dòng)探究(一)探究一：拋物線的定義問(wèn)題：當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)與一定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)＝1的點(diǎn)的軌跡是什么？同學(xué)們自己動(dòng)手畫l（1）平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)F和一條不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F的定直線（2）在直線上任取點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作·F（3）作線段的垂直平分線，交于探究思考：當(dāng)點(diǎn)H在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的大小關(guān)系？當(dāng)點(diǎn)H在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有___________()，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離和到定直線的距離____(相等)（5）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是__________(一條拋物線)(二)拋物線的定義1、定義:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F的定直線的距離_____(相等)的點(diǎn)的軌跡叫做_______(拋物線)定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線2、定義深化:(1)定直線不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F(2)定點(diǎn)F到定直線的距離記為（>0）3、注意兩個(gè)距離相等,可互相轉(zhuǎn)換(三)探究二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題1：坐標(biāo)系應(yīng)如何建立：以定直線為軸，過(guò)做定直線的垂線為軸；過(guò)做定直線的垂線為軸，以拋物線與軸交點(diǎn)為原點(diǎn)，再畫出軸分析上兩方案哪一個(gè)更好些？問(wèn)題2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：如圖所示，取經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直的直線為軸，垂足為。以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系系，設(shè)||=（>0）,那么焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，設(shè)拋物線上的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件是則有化簡(jiǎn)方程得方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程它表示的拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（,0），它的準(zhǔn)線方程是。（四）數(shù)形結(jié)合思考：在方程中，因?yàn)橐淮雾?xiàng)系數(shù)為_(kāi)____，可以得到焦點(diǎn)坐標(biāo)_________，可以說(shuō)：一次項(xiàng)系數(shù)是，則交點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于一次項(xiàng)的系數(shù)的四分之一，同時(shí)也可以得到準(zhǔn)線方程___________。反之，如果已知焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（,0），可以寫出，拋物線方程____________；同理，如果已知準(zhǔn)線方程是，也可以寫出，拋物線方程____________。三、實(shí)踐感知例1（1）（口答）已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為解：（1）p＝3，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，0）準(zhǔn)線方程是x＝－．即學(xué)即練1（2）（口答）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是。解：焦點(diǎn)在軸的正半軸上，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）所以＝2，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．即學(xué)即練2(3)（口答）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是。解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程是x＝－,所以焦點(diǎn)在軸的正半軸上，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是所以＝2，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．即學(xué)即練3(4)點(diǎn)與點(diǎn)（4,0）的距離和它到直線的距離相等，求點(diǎn)的軌跡方程（）(5)點(diǎn)與點(diǎn)（4,0）的距離比它到直線的距離小1，求點(diǎn)的軌跡方程解法一：可知原條件M點(diǎn)到F（4，0）和到x＝－4距離相等，由拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以F（4，0）為焦點(diǎn)，x＝－4為準(zhǔn)線的拋物線．∴所求方程是解法二:用直接法求點(diǎn)的軌跡方程四、探究三：拋物線的幾何性質(zhì)1、范圍因?yàn)?，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式，所以這條拋物線在軸的右側(cè)；當(dāng)?shù)闹翟龃髸r(shí)，||也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。2、對(duì)稱性以－代，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸。3、頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．在方程中，當(dāng)時(shí)，，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)．4、離心率拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用表示．由拋物線的定義可知，。五、實(shí)踐感知例2（1）拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是解:(2)拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是規(guī)納總結(jié)：定義：拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的連線段，叫做拋物線的焦半徑拋物線焦半徑公式是：(3)斜率為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)。 分析：利用根與系數(shù)關(guān)系及拋物線的定義來(lái)解之。解：如圖，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)所以直線的方程為即①將方程①代入拋物線方程，得化簡(jiǎn)得由拋物線的定義可知，||等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離||，而||=＋1．同理||＝||=＋1，于是得||=||＋||=＋＋2。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系＋＝6。||=6＋2=8。規(guī)納總結(jié)：拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式||=＋＋小結(jié)歸納：引申探究：（4）求經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程解：（點(diǎn)差法）設(shè)，，中點(diǎn)，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以有①，②，①－②得，化簡(jiǎn)整理得，，，為所求的直線的方程。六．作業(yè):完成學(xué)案；課本P7