數(shù)值分析第講矩陣的三角分解法

數(shù)值分析第講矩陣的三角分解法第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五第四講

矩陣的三角分解法第二章線性方程組的解法第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五InScientificComputing↓LargeLinearSystemsAx=bassub-problems/asintermediatestepsGauss-Seidel

methodJacobi

methodSOR

methodConjugateGradientmethodforsymmetricsystemsGaussianeliminationLUfactorizationCholesky

factorizationGMRESGCRBi-CGCGSBi-CGSTABBi-CGSTAB2GPBi-CGBi-CGSTAB(L)第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五回顧高斯消去法Gauss消元法的第k步：從矩陣理論來看，相當(dāng)于左乘矩陣指標為k的初等下三角陣第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五因此，整個Gauss消元法相當(dāng)于左乘了一個單位下三角陣所以有L為單位下三角陣，U為上三角陣第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五矩陣的直接三角分解(LU分解)對解線性方程組有什么幫助？三角方程組，易于求解第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五1、Doolittle分解L為單位下三角，U為上三角比較第1行：比較第1列：第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五比較第2行：比較第2列：第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五比較第k行：比較第k列：K-1次K-1＋1次第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五分解過程完畢，加上兩次反代過程總運算量為：第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五存儲在矩陣的原來位置，且不影響計算第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五L為下三角，U為單位上三角第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五兩次反代過程比較第k列：比較第k行：第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五定理2.4若矩陣A非奇異，則存在置換矩陣Q，使得QA可以作Doolittle分解

QA=LU其中L是單位下三角矩陣，U是上三角矩陣。第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五選主元直接三角分解法當(dāng)需選主元時，PA=LU.設(shè)第r-1步已完成,就有第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五選主元三角分解算法：第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五求解Ly=Pb及Ux=y的算法：第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五三對角陣的追趕法（A的前n-1個順序主子式非零）

在數(shù)值求解常微分方程邊值問題、熱傳導(dǎo)方程和建立三次樣條函數(shù)時，都會要解三對角方程組：AX=b第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五所以，有計算過程如下：說明:

穩(wěn)定性（對角占優(yōu)）；運算量5n-4次乘除法；存貯（一維數(shù)組）.第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五平方根法應(yīng)用有限元法解結(jié)構(gòu)力學(xué)問題時，最后歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組，系數(shù)矩陣往往對稱正定。平方根法是一種對稱正定矩陣的三角分解法，廣泛用于求解系數(shù)矩陣為對稱正定的線性代數(shù)方程組。設(shè)A為對稱矩陣,且順序主子式不為零，則第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五若A為對稱正定矩陣,則第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五解AX=b的平方根法:…稱為平方根法，因為帶了開方運算，因此不常用第28頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五CramerruleGausseliminationLUfactorizationGauss-JordaneliminationSquareroot/improvedsquareroot追趕法(n+1)!n3/3n3/3n3/2n3/65n-4Row/column/completePivotingOnlyeliminatingelementsinacolumnbelowthediagonaloneNopivotingDirectlyfactorizationcolumnpivotingEliminatingelementsinarowexceptforthediagonalelementAsymmetricandpositivedefiniteNopivotingA三對角，弱對角占優(yōu)Summary第29頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五直接法內(nèi)容總結(jié)1：用LU分解（Doolittle）求解線性代數(shù)方程組等價于順序Gauss消元法：Ax＝b?LUx＝b?Ux＝y(tǒng)，Ly＝b；2：用選主元LU分解（Doolittle）求解線性代數(shù)方程組等價于選列主元Gauss消元法：Ax＝b?L