剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5

本文格式為Word版，下載可任意編輯——?jiǎng)傮w的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5練習(xí)5剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的概念

5.1正誤判斷,如是錯(cuò)誤的,指出錯(cuò)在哪里。(1)在傳統(tǒng)建筑中關(guān)門(mén)開(kāi)窗,門(mén)窗是平動(dòng);(2)火車(chē)在拐彎時(shí)的運(yùn)動(dòng)是轉(zhuǎn)動(dòng);

(3)地球自西向東自轉(zhuǎn),其自轉(zhuǎn)角速度矢量指向地球北極;(4)剛體繞定軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其線(xiàn)速度不變;

(5)剛體繞z軸作逆時(shí)針減速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其所受力矩M,角速度ω和角速度β均指向z軸正方向;

(6)處理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí),總要取一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)平面S,只有S面上的分力對(duì)軸產(chǎn)生的力矩才能對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有貢獻(xiàn);(7)力對(duì)軸的力矩M的方向與軸平行;[分析與解答]

（1）錯(cuò)誤。建筑物中，推拉門(mén)窗是手動(dòng)，凡用鉸鏈連接的門(mén)窗，開(kāi)關(guān)門(mén)窗時(shí)，門(mén)窗是轉(zhuǎn)動(dòng)。（2）（3）正確。

（4）錯(cuò)誤。剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)元的線(xiàn)速度?=??是不等的。整個(gè)剛體沒(méi)有統(tǒng)一的線(xiàn)速度。

?（5）錯(cuò)誤。按題意，?的方向?yàn)?k?(8)質(zhì)量固定的一個(gè)剛體,可能有大量個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

?方向。因減速轉(zhuǎn)動(dòng)，故?的方向指向?k。

由M=I?，M的方向與?的方向一致。（6）（7）（8）正確。

5.2為什么要用角量來(lái)描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律?某剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng),設(shè)以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?則以下?tīng)顩r下說(shuō)明剛體的轉(zhuǎn)向以及它作加速還是減速轉(zhuǎn)動(dòng)。

(1)ω>0,β0,β>0;(3)ω0。[分析與解答]

由于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)均繞轉(zhuǎn)軸作圓周運(yùn)動(dòng)，因此各點(diǎn)的角量是一致的（如角位移，角速度，角加速度），而線(xiàn)量則是不同的（如位移，速度，加速度），所以要用角量來(lái)描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

（1）?>0，β0，β>0時(shí)，剛體作逆時(shí)針加速轉(zhuǎn)動(dòng)；（3）ω0時(shí)，剛體作順時(shí)針減速轉(zhuǎn)動(dòng)；關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量5.3試探討分析:(1)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的意義。

(2)列出I的表達(dá)式,說(shuō)明I取決于哪些因素?(3)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I與質(zhì)量m的相像點(diǎn)與區(qū)別。

(4)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量嗎?若有,等于多少?[分析與解答]

（1）I是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小的量度。

（2）I=?r2dm，說(shuō)明不僅與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，還取決于轉(zhuǎn)軸的位置和質(zhì)量的分布。

（3）I與m均表示運(yùn)動(dòng)慣性大小。但對(duì)同一剛體而言，只有一個(gè)m，但可能有大量個(gè)I，由于I與轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一剛體沿不同的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，就有不同的I。(4)有。且?r2dm?mr2。

0m5.4從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的概念來(lái)分析判斷:(1)設(shè)想有一根異質(zhì)桿子,一半是鐵,一半是木頭(見(jiàn)圖),長(zhǎng)度、截面均一致,可分別繞a,b,c軸轉(zhuǎn)動(dòng),試問(wèn)對(duì)哪個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I最大?

(2)兩個(gè)質(zhì)量、直徑一致的飛輪,以一致的ω繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng),一個(gè)是圓盤(pán)形A,一個(gè)圓環(huán)狀B,在一致阻力矩作用下,

誰(shuí)先停下來(lái)?題5.4圖(3)將質(zhì)量一致的一個(gè)生雞蛋和一個(gè)熟雞蛋放在桌面上并使它們旋轉(zhuǎn),如何判定哪個(gè)是生的,哪個(gè)是熟的?[分析與解答]

（1）由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)式I=?r2dm可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅與物體的密度有關(guān)，還與回轉(zhuǎn)半徑有關(guān)，因此密度大的部分其回轉(zhuǎn)半徑也大，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大，所以對(duì)c軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最大，對(duì)a軸次之，對(duì)b軸最小.

(2)圓環(huán)狀B物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=Iβ，在阻力矩M一致的狀況下，A物體的減速角加速度較大，兩者角速度w一致，因而A物體應(yīng)先停下來(lái)。(3)生雞蛋在旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于慣性蛋清會(huì)被甩向蛋殼集聚，使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大，由動(dòng)

2

矩量矩守恒I1?1?I2?2，I2增大?2減小。而熟雞蛋的I不變。則在同樣的阻力矩作用下，生雞蛋先停下來(lái)。

5.5在弄清概念的基礎(chǔ)上,要求能正確查表并填空:(1)半徑為R、質(zhì)量為m的球體,對(duì)過(guò)球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=;(2)質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l的均勻細(xì)棒,對(duì)過(guò)中心、且垂直于棒的c（質(zhì)心）軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=;(3)利用平行軸定理可知,在(2)中對(duì)過(guò)棒的任一位置且平行于c軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=;(4)在(2)中棒的兩端各連一個(gè)質(zhì)量均為m的小球,根據(jù)疊加原理,系統(tǒng)對(duì)c軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=。

[分析與解答]查閱《工科物理教程》表5.1.1，得(1)

25112mR2(2)

ml2

(3)I?Ic?md2(式中，d為轉(zhuǎn)軸到c的距離)(4)棒對(duì)c軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1?2112ml2;兩小球?qū)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

71?l?22mlI2?2?m????ml。則系統(tǒng)對(duì)c軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I?I1?I2?122?2?定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

5.6以下各種表達(dá)中,哪些是正確的?(1)剛體受力作用必有力矩;

(2)剛體受力越大,此力對(duì)剛體定軸的力矩也越大;(3)假使剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng),則一定受到力矩的作用;

(4)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律表述了對(duì)軸的合外力矩與角加速度間的瞬時(shí)關(guān)系;(5)在M=Iβ中,M,I,β必需對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言,否則此式不成立。[分析與解答]

（1）（2）錯(cuò)誤。由于力矩M=rFsin?,若F?0，rsin?=0時(shí)，M=0。同樣F越大，M也不一定越大。

（3）錯(cuò)誤。剛體繞定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合外力矩M=0。（4）（5）正確。

5.7如下圖,兩條質(zhì)量和長(zhǎng)度一致的細(xì)棒A和B,可分別繞通過(guò)中點(diǎn)O和左端O′的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng),設(shè)它們?cè)谟叶硕际艿揭粋€(gè)鉛直力F作用,試比較它們繞各自轉(zhuǎn)軸的角加速度βA與βB的大小。[分析與解答]

3

由于IA?112ml,IB?213ml,M2A?12Fl,MB?Fl

代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=Iβ

得?A?6Fml,?B?3Fml；可見(jiàn)?A??B。

題5.7圖題5.8圖題5.9圖

5.8如下圖,長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)桿左端與墻用鉸鏈A連接,右端用一鉛直細(xì)繩B懸掛,桿處于水恬靜止?fàn)顟B(tài),若繩B被突然燒斷,則桿右端的加速度為多少?[分析與解答]燒斷繩時(shí)，桿將在重力矩M?mgl3g2??轉(zhuǎn)動(dòng)定律有??1I2l2mgl3M112mgl的作用下，繞A軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由

則右端的加速度為??l??32g。

5.9一均質(zhì)細(xì)桿AB長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m。兩端用細(xì)線(xiàn)吊起并保持水平(如圖)?，F(xiàn)將B端的細(xì)線(xiàn)剪斷,試求剪斷瞬間A端細(xì)線(xiàn)中的張力FT.[分析與解答]

B端細(xì)線(xiàn)被剪斷后，細(xì)桿將在重力矩mgl作用下，繞A軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角加速度為β，

21同時(shí)其質(zhì)心的加速度為?c。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有mgl2?IA??13ml?2①

又根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律，有mg?FT?m?c②由于?c????l2?③

聯(lián)立式①，式②，式③求解得，此時(shí)A端細(xì)繩的張力為FT?mg?34mg?14mg

5.10一細(xì)繩繞在半徑為r的定滑輪邊緣,滑輪對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,滑輪與軸承間的摩擦不計(jì),今用恒力F拉繩的下端(見(jiàn)圖(a))或懸掛一重量P=F的物體

4

(見(jiàn)圖(b)),使滑輪自靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)。分別求滑輪在這兩種狀況下的角加速度。[分析與解答]如圖（a）狀況下，繩子的張力FT?F。按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有

FT??I?1故?1?FT?I

在圖（b）狀況下，有

F?FT?Fga?Fg??2解得?2?FT??I?2F?FI??g

2

題5.10圖題5.11圖

5.11一個(gè)組合輪軸由兩個(gè)同軸的圓柱體固結(jié)而成,可繞光滑的水平對(duì)稱(chēng)軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)大小圓柱體的半徑分別為R和r,質(zhì)量分別為M和m,繞在兩圓柱體的上細(xì)繩分別與質(zhì)量為m1和m2(m1>m2)的物體A、B相連(如圖)。試求:(1)兩物體的加速度;(2)繩子的張力;(3)輪軸的角加速度。

[分析與解答]分別對(duì)物體A，B和輪軸作受力分析（見(jiàn)圖b），根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有

對(duì)A：m1g?T1?m1a1①對(duì)B：T2?m2g?m2a2②對(duì)輪軸：T1R?T2r?I?③I=MR2?2112mr2④

?1?R?⑤?2?r?⑥解式①~⑥方程組得

5

5.21質(zhì)量為m’,半徑為R的圓盤(pán),可繞一垂直通過(guò)盤(pán)心的光滑水平軸轉(zhuǎn)動(dòng),盤(pán)上繞有輕繩,一端懸掛質(zhì)量為m的物體(如圖)。試問(wèn):(1)物體由靜止下落高度h時(shí),其速度v的大小是多少?(2)若物體自由下落h高,其速度v’為多少?說(shuō)明兩種速度有差異的原因。[分析與解答]

??（1）物體受重力P和繩子張力FT，有mg?FT?ma①

滑輪變張力矩，有FTR?I??12m'R.2aR②

?2?2ah③

聯(lián)立①②③解得??2mgh1m?m'2（2）由自由落體規(guī)律?'?2gh5.22長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m′的桿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng),一質(zhì)量為m、速率為v0的子彈射入桿內(nèi)距支點(diǎn)為a處,使桿的偏轉(zhuǎn)角為θ=30°(如圖)。試求:(1)子彈的速率v0;(2)欲子彈以此v0穿過(guò)此桿,此時(shí)桿的偏轉(zhuǎn)角θ′=?(3)在求解過(guò)程中,怎樣分析動(dòng)量矩和機(jī)械能守恒的條件及如何考慮桿的重力勢(shì)能?[分析與解答]

（1）取子彈和桿為系統(tǒng)，子彈射入前后，滿(mǎn)足動(dòng)量矩守恒條件，有：

mv0a?(ma2?13m?l)?①

2在子彈射入桿中兩者擺至θ=30°的過(guò)程中，取子彈，桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)，并取O點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)滿(mǎn)足機(jī)械能守恒條件，有

1?1l22?2m??m'l??mga?m'g??2?32???mgacos??m'gl2cos?②

由式②求出ω，代入式①，得?0?1mag?2?63??m'l?2ma??m'l2?3ma2?

（2）（略）應(yīng)