剛體的定軸轉動5

本文格式為Word版，下載可任意編輯——剛體的定軸轉動5練習5剛體的定軸轉動剛體定軸轉動的概念

5.1正誤判斷,如是錯誤的,指出錯在哪里。(1)在傳統(tǒng)建筑中關門開窗,門窗是平動;(2)火車在拐彎時的運動是轉動;

(3)地球自西向東自轉,其自轉角速度矢量指向地球北極;(4)剛體繞定軸作勻速轉動時,其線速度不變;

(5)剛體繞z軸作逆時針減速定軸轉動時,其所受力矩M,角速度ω和角速度β均指向z軸正方向;

(6)處理定軸轉動問題時,總要取一個轉動平面S,只有S面上的分力對軸產(chǎn)生的力矩才能對定軸轉動有貢獻;(7)力對軸的力矩M的方向與軸平行;[分析與解答]

（1）錯誤。建筑物中，推拉門窗是手動，凡用鉸鏈連接的門窗，開關門窗時，門窗是轉動。（2）（3）正確。

（4）錯誤。剛體作定軸轉動時，各質(zhì)元的線速度?=??是不等的。整個剛體沒有統(tǒng)一的線速度。

?（5）錯誤。按題意，?的方向為?k?(8)質(zhì)量固定的一個剛體,可能有大量個轉動慣量。

?方向。因減速轉動，故?的方向指向?k。

由M=I?，M的方向與?的方向一致。（6）（7）（8）正確。

5.2為什么要用角量來描述剛體定軸轉動規(guī)律?某剛體繞z軸轉動,設以逆時針轉向為正,則以下狀況下說明剛體的轉向以及它作加速還是減速轉動。

(1)ω>0,β0,β>0;(3)ω0。[分析與解答]

由于剛體定軸轉動時，剛體上各點均繞轉軸作圓周運動，因此各點的角量是一致的（如角位移，角速度，角加速度），而線量則是不同的（如位移，速度，加速度），所以要用角量來描述剛體的定軸轉動。

（1）?>0，β0，β>0時，剛體作逆時針加速轉動；（3）ω0時，剛體作順時針減速轉動；關于轉動慣量5.3試探討分析:(1)轉動慣量I的意義。

(2)列出I的表達式,說明I取決于哪些因素?(3)轉動慣量I與質(zhì)量m的相像點與區(qū)別。

(4)質(zhì)點作圓周運動時,有轉動慣量嗎?若有,等于多少?[分析與解答]

（1）I是剛體轉動慣量大小的量度。

（2）I=?r2dm，說明不僅與剛體的總質(zhì)量有關，還取決于轉軸的位置和質(zhì)量的分布。

（3）I與m均表示運動慣性大小。但對同一剛體而言，只有一個m，但可能有大量個I，由于I與轉軸有關，同一剛體沿不同的轉軸轉動，就有不同的I。(4)有。且?r2dm?mr2。

0m5.4從轉動慣量I的概念來分析判斷:(1)設想有一根異質(zhì)桿子,一半是鐵,一半是木頭(見圖),長度、截面均一致,可分別繞a,b,c軸轉動,試問對哪個軸的轉動慣量I最大?

(2)兩個質(zhì)量、直徑一致的飛輪,以一致的ω繞中心軸轉動,一個是圓盤形A,一個圓環(huán)狀B,在一致阻力矩作用下,

誰先停下來?題5.4圖(3)將質(zhì)量一致的一個生雞蛋和一個熟雞蛋放在桌面上并使它們旋轉,如何判定哪個是生的,哪個是熟的?[分析與解答]

（1）由轉動慣量表達式I=?r2dm可知，轉動慣量不僅與物體的密度有關，還與回轉半徑有關，因此密度大的部分其回轉半徑也大，其轉動慣量較大，所以對c軸的轉動慣量最大，對a軸次之，對b軸最小.

(2)圓環(huán)狀B物體的轉動慣量較大，由轉動定律M=Iβ，在阻力矩M一致的狀況下，A物體的減速角加速度較大，兩者角速度w一致，因而A物體應先停下來。(3)生雞蛋在旋轉時，由于慣性蛋清會被甩向蛋殼集聚，使轉動慣量增大，由動

2

矩量矩守恒I1?1?I2?2，I2增大?2減小。而熟雞蛋的I不變。則在同樣的阻力矩作用下，生雞蛋先停下來。

5.5在弄清概念的基礎上,要求能正確查表并填空:(1)半徑為R、質(zhì)量為m的球體,對過球心軸的轉動慣量I=;(2)質(zhì)量為m、長度為l的均勻細棒,對過中心、且垂直于棒的c（質(zhì)心）軸的轉動慣量I=;(3)利用平行軸定理可知,在(2)中對過棒的任一位置且平行于c軸的轉動慣量I=;(4)在(2)中棒的兩端各連一個質(zhì)量均為m的小球,根據(jù)疊加原理,系統(tǒng)對c軸的轉動慣量I=。

[分析與解答]查閱《工科物理教程》表5.1.1，得(1)

25112mR2(2)

ml2

(3)I?Ic?md2(式中，d為轉軸到c的距離)(4)棒對c軸的轉動慣量I1?2112ml2;兩小球對c軸的轉動慣量

71?l?22mlI2?2?m????ml。則系統(tǒng)對c軸的轉動慣量為I?I1?I2?122?2?定軸轉動定律

5.6以下各種表達中,哪些是正確的?(1)剛體受力作用必有力矩;

(2)剛體受力越大,此力對剛體定軸的力矩也越大;(3)假使剛體繞定軸轉動,則一定受到力矩的作用;

(4)剛體繞定軸的轉動定律表述了對軸的合外力矩與角加速度間的瞬時關系;(5)在M=Iβ中,M,I,β必需對同一轉軸而言,否則此式不成立。[分析與解答]

（1）（2）錯誤。由于力矩M=rFsin?,若F?0，rsin?=0時，M=0。同樣F越大，M也不一定越大。

（3）錯誤。剛體繞定軸勻速轉動時，合外力矩M=0。（4）（5）正確。

5.7如下圖,兩條質(zhì)量和長度一致的細棒A和B,可分別繞通過中點O和左端O′的水平軸轉動,設它們在右端都受到一個鉛直力F作用,試比較它們繞各自轉軸的角加速度βA與βB的大小。[分析與解答]

3

由于IA?112ml,IB?213ml,M2A?12Fl,MB?Fl

代入轉動定律M=Iβ

得?A?6Fml,?B?3Fml；可見?A??B。

題5.7圖題5.8圖題5.9圖

5.8如下圖,長為l的均質(zhì)細桿左端與墻用鉸鏈A連接,右端用一鉛直細繩B懸掛,桿處于水恬靜止狀態(tài),若繩B被突然燒斷,則桿右端的加速度為多少?[分析與解答]燒斷繩時，桿將在重力矩M?mgl3g2??轉動定律有??1I2l2mgl3M112mgl的作用下，繞A軸轉動。由

則右端的加速度為??l??32g。

5.9一均質(zhì)細桿AB長為l,質(zhì)量為m。兩端用細線吊起并保持水平(如圖)?，F(xiàn)將B端的細線剪斷,試求剪斷瞬間A端細線中的張力FT.[分析與解答]

B端細線被剪斷后，細桿將在重力矩mgl作用下，繞A軸轉動，其角加速度為β，

21同時其質(zhì)心的加速度為?c。根據(jù)轉動定律，有mgl2?IA??13ml?2①

又根據(jù)質(zhì)心運動定律，有mg?FT?m?c②由于?c????l2?③

聯(lián)立式①，式②，式③求解得，此時A端細繩的張力為FT?mg?34mg?14mg

5.10一細繩繞在半徑為r的定滑輪邊緣,滑輪對轉軸O的轉動慣量為I,滑輪與軸承間的摩擦不計,今用恒力F拉繩的下端(見圖(a))或懸掛一重量P=F的物體

4

(見圖(b)),使滑輪自靜止開始轉動。分別求滑輪在這兩種狀況下的角加速度。[分析與解答]如圖（a）狀況下，繩子的張力FT?F。按轉動定律有

FT??I?1故?1?FT?I

在圖（b）狀況下，有

F?FT?Fga?Fg??2解得?2?FT??I?2F?FI??g

2

題5.10圖題5.11圖

5.11一個組合輪軸由兩個同軸的圓柱體固結而成,可繞光滑的水平對稱軸OO′轉動。設大小圓柱體的半徑分別為R和r,質(zhì)量分別為M和m,繞在兩圓柱體的上細繩分別與質(zhì)量為m1和m2(m1>m2)的物體A、B相連(如圖)。試求:(1)兩物體的加速度;(2)繩子的張力;(3)輪軸的角加速度。

[分析與解答]分別對物體A，B和輪軸作受力分析（見圖b），根據(jù)牛頓運動定律和轉動定律，有

對A：m1g?T1?m1a1①對B：T2?m2g?m2a2②對輪軸：T1R?T2r?I?③I=MR2?2112mr2④

?1?R?⑤?2?r?⑥解式①~⑥方程組得

5

5.21質(zhì)量為m’,半徑為R的圓盤,可繞一垂直通過盤心的光滑水平軸轉動,盤上繞有輕繩,一端懸掛質(zhì)量為m的物體(如圖)。試問:(1)物體由靜止下落高度h時,其速度v的大小是多少?(2)若物體自由下落h高,其速度v’為多少?說明兩種速度有差異的原因。[分析與解答]

??（1）物體受重力P和繩子張力FT，有mg?FT?ma①

滑輪變張力矩，有FTR?I??12m'R.2aR②

?2?2ah③

聯(lián)立①②③解得??2mgh1m?m'2（2）由自由落體規(guī)律?'?2gh5.22長為l、質(zhì)量為m′的桿可繞支點O自由轉動,一質(zhì)量為m、速率為v0的子彈射入桿內(nèi)距支點為a處,使桿的偏轉角為θ=30°(如圖)。試求:(1)子彈的速率v0;(2)欲子彈以此v0穿過此桿,此時桿的偏轉角θ′=?(3)在求解過程中,怎樣分析動量矩和機械能守恒的條件及如何考慮桿的重力勢能?[分析與解答]

（1）取子彈和桿為系統(tǒng)，子彈射入前后，滿足動量矩守恒條件，有：

mv0a?(ma2?13m?l)?①

2在子彈射入桿中兩者擺至θ=30°的過程中，取子彈，桿和地球為系統(tǒng)，并取O點為重力勢能零點，系統(tǒng)滿足機械能守恒條件，有

1?1l22?2m??m'l??mga?m'g??2?32???mgacos??m'gl2cos?②

由式②求出ω，代入式①，得?0?1mag?2?63??m'l?2ma??m'l2?3ma2?

（2）（略）應