孟生旺《金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》參考答案

PAGE1PAGE1孟生旺《金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》參考答案（中國(guó)人民大學(xué)出版社，2015年2月第一版）利息度量,,當(dāng)時(shí),,,,,,,.t=4時(shí)的累積值為：令名義利率為x,則,等額年金1363元279430元26005基金在第30年初的現(xiàn)值為658773.91,如果限期領(lǐng)取20年,每次可以領(lǐng)取57435,如果無限期地領(lǐng)下去,每次可以領(lǐng)取3952631941.68元,21738.97元,46319.35元9年29月末0.11628729.2345281.050.23024.06%假設(shè)最后一次付款的時(shí)間為n,則有：假設(shè)在23年末的非正規(guī)付款額為X,則有設(shè)j為等價(jià)利率,則,以每半年為一個(gè)時(shí)期,每個(gè)時(shí)期的實(shí)際利率為,兩年為一個(gè)時(shí)期的實(shí)際利率為,故,1/30,變額年金=1088.69A的現(xiàn)值為：B的現(xiàn)值為：故11846.66每季度復(fù)利一次的利率為0.0194,所有存款在第八年末的終值為,34332016607現(xiàn)值為5197.50,累積值為9333.98.,終值為23312.11.現(xiàn)值為,在第20年末的終值為10410.46.212.34此項(xiàng)投資在第10年末的終值為：.第20年末的終值為：前5年的現(xiàn)值為77.79,從第6年開始,以后各年付款的現(xiàn)值為：,總現(xiàn)值為335,故.第8年的終值為：第10年末的終值為1024.10.在時(shí)刻5的現(xiàn)值為：時(shí)刻零的現(xiàn)值為：收益率0.14831221.99時(shí)間加權(quán)收益率0.5426,幣值加權(quán)收益率0.5226,兩者之差0.0236.93000?10%0.13277.5%236.250.06195年末投資者共得到56245.5元.設(shè)購(gòu)買價(jià)格為,要得到4%的收益率,有再投資利率為8.73%.投資者B的利息再投資后的積累值為6111.37.3項(xiàng)投資在2015年初的余額為320.46萬元,在2015年末的余額為344.56萬元,故2015年中所獲利息為24.10萬元.貸款償還方法X=704.06設(shè)每年的等額分期付款金額為R,由已知,故在第23年分期付款中利息金額最接近于付款金額的三分之一..支付的利息總金額為1510.6（1）借款人第2年末向償債基金的儲(chǔ)蓄額應(yīng)為4438.42（2）第2年末的余額為9231.91（3）第2年末的貸款凈額為10768.09第5次償還中的利息為66.89萬元.各期還款的積累值為第一筆貸款償還的本金為490.34,第二筆貸款償還的本金為243.93,兩筆貸款的本金之和為734.27.3278.第3次支付的本金金額為784.7,第5次支付的利息金額為51.4.0.1196.64.74.調(diào)整后最后一次的償還額為1239.1.第11年末.調(diào)整后借款人增加的付款為112..11190.11.證券定價(jià)價(jià)格為957.88元,賬面值為973.27元.價(jià)格為974.82元,賬面值為930.26元（理論方法）,929.82（半理論方法）,1015（實(shí)踐方法.7.227%.6.986%.元.債券每年末的息票收入為80元,故有元.應(yīng)用債券定價(jià)的溢價(jià)公式可以建立下述三個(gè)等式：由得：由得：所以有元.t=7/12,理論方法的賬面值為87.35元,實(shí)踐方法的賬面值為87.35元..,,令債券C的價(jià)格為X,則有..償還值的現(xiàn)值為,未來息票收入的現(xiàn)值為,故債券的價(jià)格為940.67元.也可以應(yīng)用Makeham公式計(jì)算,即元.債券每年末的息票收入為60元,修正息票率為60/1050=5.7143%,小于投資者所要求的收益率8%,所以贖回越晚（即到期時(shí)贖回）,債券的價(jià)格越低.由此可得該債券的價(jià)格為元.股票在第六年的紅利為,以后每年增長(zhǎng)10%.應(yīng)用復(fù)遞增永續(xù)年金的公式,該股票的價(jià)格為元.投資者每個(gè)季度的實(shí)際收益率為,應(yīng)用復(fù)遞增永續(xù)年金的公式,投資者購(gòu)買該股票的價(jià)格為元..30元.每股利潤(rùn)為元,保證金為元,保證金所得利息為元,每股紅利為0.1元,賣空收益率為.8.59%利率風(fēng)險(xiǎn),基于名義收益率的修正久期為.年實(shí)際收益率為,基于實(shí)際收益率的修正久期為.假設(shè)債券的面值為100,則債券的馬考勒久期可以表示為,其中.變形可得：.對(duì)年金的現(xiàn)值關(guān)于利率i求導(dǎo),應(yīng)用修正久期的定義公式可得.對(duì)于期末付永續(xù)年金,現(xiàn)值為,,所以修正久期為,馬考勒久期為.對(duì)于期初付永續(xù)年金,現(xiàn)值為,,所以修正久期為,馬考勒久期為.,新的債券價(jià)格近似為：,.,債券的新價(jià)格近似為95.59元.修正久期為8.12,凸度為101.24.馬考勒凸度為105.15.負(fù)債的現(xiàn)值為,負(fù)債的馬考勒久期為,負(fù)債的馬考勒凸度為.不妨假設(shè)兩種零息債券的面值均為1000元,則4年期零息債券的價(jià)格為元,10年期零息債券的價(jià)格為元.假設(shè)有的債券投資4年期的零息債券,的債券投資10年期的零息債券,由,有：投資4年期零息債券的金額為10348.28元,投資10年期零息債券的金額2070.15元.債券A的價(jià)格為982.17元,馬考勒久期為1.934,馬考勒凸度為3.8.債券B的價(jià)格為1039.93元,馬考勒久期為4.256,馬考勒凸度為19.85.在債券A上投資11.02%,在債券B上投資88.98%,則債券組合的馬考勒久期等于負(fù)債的馬考勒久期,均為4年,債券組合的馬考勒凸度為18.08,大于負(fù)債的馬考勒凸度16,滿足免疫的條件.各種債券的購(gòu)買數(shù)量分別如下：購(gòu)買5年期債券的數(shù)量80000購(gòu)買4年期債券的數(shù)量300000購(gòu)買2年期債券的數(shù)量600000購(gòu)買1年期零息債券100000購(gòu)買各種債券以后凈負(fù)債的現(xiàn)金流如下（單位：萬元）：年度12345負(fù)債的現(xiàn)金流1794674414431448245年期債券的現(xiàn)金流24242424824凈負(fù)債的現(xiàn)金流17706720120312004年期債券的現(xiàn)金流12012012031200凈負(fù)債的現(xiàn)金流165066000002年期債券的現(xiàn)金流6006600000凈負(fù)債的現(xiàn)金流105000001年期債券的現(xiàn)金流10500000凈負(fù)債的現(xiàn)金流00000利率的期限結(jié)構(gòu)一年期債券的價(jià)格為；兩年期債券的價(jià)格為；三年期債券的價(jià)格為.現(xiàn)金流分別按對(duì)應(yīng)的即期利率折現(xiàn)得債券的價(jià)格為：各年遠(yuǎn)期利率分別為8%、10.1%和12.6%.假設(shè)債券的面值為100元,計(jì)算5年期債券的價(jià)格：每年支付40元的5年期期初付年金按對(duì)應(yīng)的即期利率折現(xiàn)即得其現(xiàn)值為：由遠(yuǎn)期利率計(jì)算的債券價(jià)格為：（元）假設(shè)債券的面值為100元,則有：應(yīng)用即期利率和遠(yuǎn)期利率的關(guān)系,有用表示債券在t年末的現(xiàn)金流入,則有：用遠(yuǎn)期利率計(jì)算年息票率為15%,面值為100元的3年期債券的價(jià)格：用遠(yuǎn)期利率分別計(jì)算3年期和4年期零息債券的價(jià)格可得：，假設(shè)債券的面值為100元,則有：通過收益率計(jì)算的債券價(jià)格為通過即期利率計(jì)算的債券價(jià)格為債券價(jià)格被低估了1.77元,故可以按94.83元的價(jià)格購(gòu)買一個(gè)2年期債券,同時(shí)按即期利率出售一個(gè)1年期的面值為6元的零息票債券和一個(gè)2年期的面值為106元的零息票債券.與遠(yuǎn)期利率一致的債券價(jià)格為債券的市場(chǎng)價(jià)格為100元,說明債券被高估了,因而存在套利機(jī)會(huì).套利者可以按100元的價(jià)格賣出一個(gè)三年期債券,同時(shí)將97.42元按4%的利率投資一年.在第一年末,支付已出售債券的5元利息后,把剩余的資金在第二年按6%的遠(yuǎn)期利率再投資一年.在第二年末,支付已出售債券的5元利息后,把剩余的資金在第三年按8%的遠(yuǎn)期利率進(jìn)行投資.在第三年末的累積值正好用于支付套利者所售債券在第三年末的償還值.完成上述步驟后,套利者即可在當(dāng)前時(shí)刻獲得10097.42=2.58元的無風(fēng)險(xiǎn)收益.遠(yuǎn)期、期貨和互換股票多頭的回收和盈虧如下表所示：1年后的股票價(jià)格多頭的回收多頭的盈虧5050?166060?670704如果1年后的股票價(jià)格為66元時(shí),則股票多頭的回收為66元.購(gòu)買股票的初始費(fèi)用在1年后的累積值為66元,所以盈虧為0元.股票空頭的回收和盈虧如下表所示,與多頭的回收和盈虧正好相反.1年后的股票價(jià)格空頭的回收空頭的盈虧50?501660?60670?70?4如果1年后股票的價(jià)格是66元時(shí),則空頭的回收為?66元.初始所得在1年后的累積值為66元,所以盈虧為0元.（元）日股利為元.若在年初持有一單位股票,年末將持有單位.若要在年末持有一單位股股票,年初應(yīng)持有單位,故投資額為元.（1）元.（2）.無套利的遠(yuǎn)期價(jià)格為（元）（1）遠(yuǎn)期價(jià)格115>108.20,所以投資者可以先簽出一份遠(yuǎn)期合約,約定在6個(gè)月末以115元的價(jià)格賣出股票.同時(shí)借入105元購(gòu)買股票,承諾在6個(gè)月末還款.到6個(gè)月末,以115元賣出手中的股票,同時(shí)償還借款108.20元,最終無風(fēng)險(xiǎn)獲利6.80元.（2）遠(yuǎn)期價(jià)格107<108.20,所以投資者可以先簽訂一份遠(yuǎn)期合約,約定在6個(gè)月末以107元購(gòu)買股票.同時(shí)將手中持有的股票賣出,獲得105元,將這105元投資于5%的零息債券,6個(gè)月末可以獲得108.20元.6個(gè)月末利用遠(yuǎn)期合約買入股票,最終獲得無風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)1.20元.（1）（2）四個(gè)時(shí)期的浮動(dòng)利率分別為0.06、0.07、0.08和0.09.互換利率為0.0745.應(yīng)用債券組合的定價(jià)方法：期權(quán)遠(yuǎn)期多頭的回收分別為?10元、?5元、0元、5元和10元,空頭的回收是其相反數(shù).看漲期權(quán)多頭的回收分別為0元、0元、0元、5元和10元.看跌期權(quán)的回收分別為10元、5元、0元、0元和0元.回收分別為0元、0元和5元.盈虧分別為?6.01元、?6.01元和?1.01元.看跌期權(quán)的回收分別為5元、0元和0元.盈虧分別為3.96元、?1.04元和?1.04元.組合的回收分別為105元、105元、110元和115元.組合的盈虧分別為?7.56元、?7.56元、?2.56元和2.44元.組合的回收分別為?105元、?105元、?110元和?115元.組合的盈虧分別為12.81元、12.81元、7.81元和2.81元.多頭的盈虧為0.95元,盈虧平衡點(diǎn)為42.05元.多頭的盈虧為3.47元,盈虧平衡點(diǎn)為28.53元.看跌期權(quán)的期權(quán)費(fèi)是3.13元.,.根據(jù)Black?Scholes公式,歐式看漲期權(quán)價(jià)格為：根據(jù)平價(jià)公式,歐式看跌期權(quán)價(jià)格為,,歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為2.62,相應(yīng)的二叉樹如下：美式看跌期權(quán)的價(jià)值為2.71,相應(yīng)的二叉樹如下：,,歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為19.63,相應(yīng)的二叉樹如下：回收和盈虧如下表：股票價(jià)格看跌期權(quán)回收總回收成本及其利息盈虧90595?105.98?10.981000100?105.98?5.98回收和盈虧如下表：股票價(jià)格看漲期權(quán)回收股票空頭回收總回收凈收入及其利息盈虧900?90?9094.034.031005?100?9594.03?0.97回收和盈虧如下表：股票價(jià)格看漲期權(quán)回收空頭回收總回收凈收入及其利息盈虧1000?100?10097.44?2.561105?110?10597.44?7.56回收和盈虧如下表：股票價(jià)格看漲期權(quán)回收看跌期權(quán)回收貸出資金回收總回收凈成本及其利息盈虧900?59590?105?151005095100?105?5回收和盈虧如下表：股票價(jià)格看漲期權(quán)回收看跌期權(quán)回收借入資金的回收總回收凈收入及其利息盈虧10005?105?1001055110?50?105?110105?5通過下表可以看到兩種交易的盈虧相同：股票價(jià)格買進(jìn)看漲期權(quán)的回收賣出看漲期權(quán)的回收總回收凈成本及其利息盈虧90000?2.46?2.5100505?2.462.54通過下表可以看到兩種交易的盈虧相同：股票價(jià)格買進(jìn)看漲期權(quán)的回收賣出看漲期權(quán)的回收總回收凈成本及其利息盈虧900003.413.411000?5?53.41?1.59隨機(jī)利率A10的完整分布如下：概率A10(A10)20.201.632.650.402.104.410.402.918.48(1)十年末累積值的期望為2330.05元.(2)十年末累積值的方差為255027.66,標(biāo)準(zhǔn)差為505.期望累積值為2593.74元.累積值的方差為83865.54,標(biāo)準(zhǔn)差為289.60.期望累積值為1560.9元.公式（3）和（4）是正確的.三個(gè)投資額的期望累積值分別為6350.4元,3528元和2240元.第3年末該賬戶的期望累積值為12118.4元.期望累積值為1.1449,累積值的方