摩擦角的應(yīng)用

摩擦角的運(yùn)用摩擦角指的是：物體在受到摩擦力情況下，物體的滑動(dòng)摩擦力（或最大靜摩擦力），支持面的支持力的方向固定不變，我們將支持力與摩擦力合成為支持面作用力（以下講到的斜面對(duì)物體的作用力或平面對(duì)物體的作用力都為此力），則支持面的作用力與支持力的方向成角，而這個(gè)角就稱之為摩擦角。解析：由摩擦公式:得，即摩擦角引入摩擦的意義：摩擦力與支持面的支持力是成對(duì)出現(xiàn)的，引入摩擦角后，可以將這對(duì)力合成一個(gè)力，在物體的平衡態(tài)受力分析中很大程度上起到問題簡化的效果。尤其是在物體在四個(gè)力作用下保持動(dòng)態(tài)平衡的問題中，引入摩擦角后就可以簡化成我們熟悉的三力平衡問題（如：三個(gè)力中有一個(gè)力確定，即大小、方向不變，另一個(gè)力方向確定，這個(gè)力的大小和第三個(gè)力的大小、方向變化情況待定），這里特別補(bǔ)充說明的是：在物體的三力平衡問題中，作用在物體這三個(gè)力合力為0，等效于三力共點(diǎn)，則三力的作用線匯交于一點(diǎn)，即三力匯交。經(jīng)典例題例1.如圖所示，用繩通過定滑輪物塊，使物塊在水平面上從圖示位置開始沿地面勻速直線運(yùn)動(dòng)，若物塊與地面的摩擦因素，滑輪的質(zhì)量及摩擦不計(jì)，則物塊運(yùn)動(dòng)過程中，以下判斷正確的是（）。A.繩子的拉力將保持不變B.繩子的拉力將不斷增大C.地面對(duì)物塊的摩擦力不斷減小D.物塊對(duì)地面的壓力不斷減小例2.如圖所示，傾角45o的斜面上，放置一質(zhì)量m的小物塊，小物塊與斜面的動(dòng)摩擦因素，欲使小物塊能靜止在斜面上，應(yīng)對(duì)小物塊再施加一力，該力最小時(shí)大小與方向是（）。A.，與水平成15o斜向右B.，豎直向上C.，沿斜面向上D.，水平向右例3.水平地面上有一木箱，木箱與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為?，F(xiàn)對(duì)木箱施加一拉力F，使木箱做勻速直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)F的方向與水平面夾角為，如圖，在從0逐漸增大到90°的過程中，木箱的速度保持不變，則（）A.F先減小后增大B.F一直增大C.F的功率減小D.F的功率不變例4.如圖所示，質(zhì)量為m的物體放在水平地面上，物體與地面的動(dòng)摩擦因素，想用力F推動(dòng)物體沿水平地面滑動(dòng)，推力方向與水平夾角在什么范圍內(nèi)事可能的？1．如圖，一物塊在水平拉力F的作用下沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng)．若保持F的大小不變，而方向與水平面成60°角，物塊也恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)．物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為()A．2－B．C．D．2．如圖所示，有一傾角=30°的斜面B，質(zhì)量為M。質(zhì)量為m的物體A靜止在B上?，F(xiàn)用水平力F推物體A，在F由零逐漸增加至mg再逐漸減為零的過程中，A和B始終保持靜止。對(duì)此過程下列說法正確的是A．地面對(duì)B的支持力先增大后減小，再不變B．A對(duì)B壓力的最小值為mg，最大值為mgC．A所受摩擦力的最小值為0，最大值為2mgD．A所受摩擦力的最小值為mg，最大值為3mg3．一只質(zhì)量為m的螞蟻，在半徑為R的半球形碗內(nèi)爬行，爬到距碗底高的A點(diǎn)停下來，再也爬不上去，設(shè)碗內(nèi)每處的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，那么碗內(nèi)的動(dòng)摩擦因數(shù)為（）A．B．C．D．4．拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具（如圖）。設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可以忽略；拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g，某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ。（1）若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小。（2）設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為λ。已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)。求這一臨界角的正切tanθ0。5．一物體質(zhì)量為m，置于傾角為的斜面上，圖所示，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，若要使物體沿斜面勻速向上滑動(dòng)，求拉力的最小值。6．在水平面上放有一質(zhì)量為m的物體，物體與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)用力F拉物體，使其勻速運(yùn)動(dòng)，怎樣施加F才能最小。7．如圖所示，一物塊置于水平地面上。當(dāng)用于水平方向成60°角的力F1拉物塊時(shí)，物塊做勻變速直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)改用與水平方向成30°角的力F2推物塊時(shí)，物塊仍做勻速直線運(yùn)動(dòng)。若F1和F2的大小相等，則物塊與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（）B.C.D.8．如圖所示，將質(zhì)量為m的滑塊放在傾角為θ的固體斜面上?；瑝K與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。若滑塊與斜面之間的最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，重力加速度為g，則將滑塊由靜止釋放，如果，滑塊將下滑給滑塊沿斜面向下的初速度，如果，滑塊將減速下滑用平行于斜面向上的力拉滑塊向上勻速滑動(dòng)，如果，拉力大小應(yīng)是2mgsin用平行于斜面向下的力拉滑塊向下勻速滑動(dòng)，如果，拉力大小應(yīng)為mgsin9．如圖所示，一質(zhì)量m=0.4kg的小物塊，以v0=2m/s的初速度，在于斜面成某一夾角的拉力F作用下，沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t=2s的時(shí)間物塊又A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，A與B之間的距離L=10m。已知斜面傾角，物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)。重力加速度g取10m/s2.求物塊加速度的大小及到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小拉力F與斜面的夾角多大時(shí)，拉力F最小，最小值為多少。例1.解析：如圖所示，取物體O點(diǎn)，作力的三角形。重力為有向線段①，從該線段箭頭端點(diǎn)做地面作用力的作用所在射線②，作從射線②上任意點(diǎn)指向O點(diǎn)且將圖形封閉成三角形的一系列的有向線段③，它們就是繩子拉力矢量，用曲箭頭標(biāo)明變化趨勢(shì)。由知力三角形中①和②的夾角小于45o，初始狀態(tài)繩子拉力與水平呈45o，力三角形中③和①的夾角從45o開始慢慢減小，圖3中θ<90o，不難得出結(jié)論：繩子的拉力不斷增大，地面的作用力不斷減小，由圖1易知，地面支持力與摩擦力均隨之減小，所以BCD正確。例2.解析：由得，摩擦角，作出力的三角形，如圖所示，藍(lán)色有向線段為重力，黑色射線為斜面對(duì)物塊的作用力，紅色有向線段為施加的力，青色有向線段為施加的力的最小位置（與斜面的作用力相垂直），則方向與水平成15o斜向右。即A正確。例3.解析：方法一（傳統(tǒng)方法）：由于木箱的速度保持不變，因此木箱始終處于平衡狀態(tài)，受力分析如圖所示，則由平衡條件得：，兩式聯(lián)立解得，可見F有最小值，所以F先減小后增大，A正確；B錯(cuò)誤；F的功率，可見在從0逐漸增大到90°的過程中tan逐漸增大，則功率P逐漸減小，C正確，D錯(cuò)誤。方法二（引入摩擦角）：由得，摩擦角φ<45o，作出力的三角形，如圖所示，黑色射線為地面對(duì)木箱的作用力F1，紅色有向線段為拉力F，藍(lán)色有向線段為重力。由題意在從0逐漸增大到90°的過程中，F(xiàn)的變化趨勢(shì)為青色曲箭頭方向變化，易得到：F先減小后增大。對(duì)于F的功率，由矢量表達(dá)式：，重力的功率顯然為0（重力與速度成90o），得到F的功率與F1的功率互為相反數(shù)，F(xiàn)1的功率,顯然F1與v的角度ψ保持不變，而F1不斷的減小，從而F的功率的值不斷的減小，所以答案為AC。GG例4.解析：摩擦角，考慮臨界情況，重力mg、地面對(duì)物體的作用力以及推力F構(gòu)成閉合三角形時(shí)，則有，臨界角，由圖可知時(shí)物體可在地面上滑動(dòng)。即。FF參考答案1．C【解析】當(dāng)拉力水平時(shí)，物體勻速運(yùn)動(dòng)，則拉力等于摩擦力，即：F=μmg；當(dāng)拉力傾斜時(shí)，物體受力分析如圖，有：f=μFN；FN=mg-Fsinθ；可知摩擦力為：f=μ（mg-Fsinθ）；f=Fcos600；代入數(shù)據(jù)為：，聯(lián)立可得：μ=，故選C。2．B【解析】試題分析：對(duì)AB組成的整體受力分析，整體受力平衡，豎直方向受到重力和地面對(duì)B的支持力，所以地面對(duì)B的支持力等于（M+m）g，故A錯(cuò)誤；對(duì)A受力分析，受到重力、支持力、拉力和摩擦力作用，垂直于斜面方向有：N=mgcos30°+Fsin30°，當(dāng)F=0時(shí)，N最小，最小為Nmin＝mgcos30°＝mg，當(dāng)F=mg時(shí)，N最大，最大為Nmax＝mgcos30°+mg×＝mg，根據(jù)牛頓第三定律可知對(duì)B壓力的最小值為mg，最大值為mg，故B正確；沿著斜面方向，當(dāng)Fcos30°=mgsin30°即F=mg時(shí)，摩擦力為零，當(dāng)F＜mg時(shí)，靜摩擦力方向沿斜面向上，如圖所示：摩擦力f=mgsin30°-Fcos30°，當(dāng)F=0時(shí)，f最大，fmax＝mgsin30°＝mg，當(dāng)F＞mg，靜摩擦力方向向下，則摩擦力f′=Fcos30°-mgsin30°，當(dāng)F=mg時(shí)，f最大，f′max＝mg×?mg＝mg，綜上可知，所受摩擦力的最小值為0，最大值為mg，故CD錯(cuò)誤．故選B．考點(diǎn)：物體的平衡3．A【解析】試題分析：由幾何關(guān)系可知，半徑OA與豎直方向OP的夾角∠AOP=30°。螞蟻爬到A點(diǎn)再也爬不上去，說明此時(shí)最大靜摩擦力等于重力沿A點(diǎn)的切線的分力，對(duì)螞蟻受力分析如圖所示，根據(jù)平衡條件，有：，動(dòng)摩擦因數(shù)，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確?？键c(diǎn)：最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力，動(dòng)摩擦因數(shù)，，共點(diǎn)力的平衡4．（1）（2）λ【解析】（1）設(shè)該同學(xué)沿拖桿方向用大小為F的力推拖把。將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，按平衡條件有Fcosθ+mg=N①Fsinθ=f②式中N和f分別為地板對(duì)拖把的正壓力和摩擦力。按摩擦定律有f=μN(yùn)③聯(lián)立①②③式得④（2）若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有Fsinθ≤λN⑤這時(shí)①式仍滿足。聯(lián)立①⑤式得⑥現(xiàn)考察使上式成立的θ角的取值范圍。注意到上式右邊總是大于零，且當(dāng)F無限大時(shí)極限為零，有⑦使上式成立的θ角滿足θ≤θ0，這里θ0是題中所定義的臨界角，即當(dāng)θ≤θ0時(shí)，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動(dòng)拖把。臨界角的正切為⑧5.解析：（引入摩擦角）如圖所示，摩擦角，由平衡條件得，作力的矢量三角形，其中：藍(lán)色有向線段為重力，黑色有向線段為斜面對(duì)物體的作用力，紅色有向線段為拉力。顯然：當(dāng)拉力F垂直于全反力方向時(shí)此時(shí)F的拉力最小，即：6.解析：設(shè)拉力與水平面間的夾角為θ，將拉力F分解，并列出平衡方程，由動(dòng)摩擦力公式得Fcosθ=μ（mg-Fsinθ），化簡為（其中令）當(dāng)時(shí)F有最小值：，且θ=arctanμ。7．解析：兩次作用力下物體都向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，兩次全反力大小不同但方向相同，受力情況如圖3所示，現(xiàn)將兩次全反力F全，重力mg及拉力F矢量平移可得到如圖4所示的矢量圖。因∠2+∠3=60°，有∠1=30°，又因∠4=30°，則∠4+∠2+∠3=90°由題意知F1，F(xiàn)2相等，則F1，F(xiàn)2關(guān)于垂線段對(duì)稱。則∠2=45°；所以全反角α=15°。既有又tan15°=可解得8．解析：若拉力沿斜面向上，對(duì)物體受力分析如圖6（a）所示，滑塊沿斜面向上勻速滑動(dòng)，且，則有摩擦角，平移全反力F全，重力mg及拉力F可構(gòu)成首尾相接的閉合矢量三角形，如圖6（b）所示，顯然F=2mgsin，選項(xiàng)C正確。若拉力沿斜面向下，且，則有摩擦角，此時(shí)全反力F全與重力mg重合在同一豎直線上，如圖6（c）所示，由于滑塊沿斜面向下勻