華師大版數(shù)學七下中心對稱學案

一.本周教學內(nèi)容：中心對稱【學習目標】1.認識旋轉(zhuǎn)對稱圖形，并能夠按要求作出簡單的平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形。2.認識中心對稱，探索它的基本性質(zhì)，并理解中心對稱圖形是旋轉(zhuǎn)角為180°的旋轉(zhuǎn)對稱圖形。3.能夠運用軸對稱、平移與旋轉(zhuǎn)或它們的組合進行圖案設(shè)計，認識和欣賞這些圖形的變換在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。二.教學過程：（一）旋轉(zhuǎn)對稱圖形在日常生活中，我們經(jīng)常可以看到，一些圖形繞著某一點定點旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合。如電扇的葉片旋轉(zhuǎn)120°，螺旋槳旋轉(zhuǎn)180°后，都能與自身重合。繞著某一定點轉(zhuǎn)動一定角度后能與自身重合的圖形，叫旋轉(zhuǎn)對稱圖形。如：用一張半透明的薄紙，覆蓋在如下圖所示的圖形上，在薄紙上畫出這個圖形，使它與圖形重合，然后用一枚圖釘在圓心處穿過，將薄紙繞著圖釘旋轉(zhuǎn)，則經(jīng)試驗可知，該圖形繞圓心旋轉(zhuǎn)60°后，能與自身重合，而且繞圓心旋轉(zhuǎn)120°或180°后，都能與自身重合。所以，這個圖形就是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。（二）中心對稱1.下面的三個圖形繞某一中心點旋轉(zhuǎn)一定角度后，可以與自身重合，所以它們都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。中間一個圖形繞著中心點旋轉(zhuǎn)180°后，能夠與自身重合，我們把這種圖形叫做中心對稱圖形，這個中心點叫對稱中心。2.把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠和另一個圖形重合，那么我們就說這兩個圖形成中心對稱，這個點叫對稱中心，這兩個圖形中的對應(yīng)點叫關(guān)于中心的對稱點。如圖，△ABC與△ADE是成中心對稱的兩個三角形，點A是對稱中心。3.兩個圖形成中心對稱的特征：（1）成中心對稱的兩個圖形中，連結(jié)對稱點的線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。（2）如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被該點平分，那么這兩個圖形一定關(guān)于這一點成中心對稱。4.中心對稱圖形與兩個圖形成中心對稱的區(qū)別中心對稱圖形是對一個圖形說的，指的是這個圖形繞它本身的中心旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，它表示的是某個圖形的特性；而成中心對稱則是對兩個圖形而言的，指的是將其中某一圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后，如果它能與另一個圖形重合，那么這兩個圖形成中心對稱，它表示的是兩個圖形之間的對稱關(guān)系。【典型例題】例1.如圖所示，把一塊磚ABCD直立于地面上，然后將其輕輕推倒，在這個過程中A點保持不動，四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)到AD'C'B'位置。（1）指出在這個過程中的旋轉(zhuǎn)中心，并說出旋轉(zhuǎn)角度是多大？（2）指出圖中的對應(yīng)線段。分析：因為四邊形AD'C'B'是由四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)得到的，A保持不動，因此A是旋轉(zhuǎn)中心，又因為AB、AD'在同一平面上，且AD垂直于地面，對應(yīng)線段AB與AB'成90°，因此旋轉(zhuǎn)角度是90°。（2）中由于點A、B、C、D的對應(yīng)點分別是A、B'、C'、D'，找出了對應(yīng)點，對應(yīng)線段也就不難找出了。答案：（1）旋轉(zhuǎn)中心是A，旋轉(zhuǎn)角度是90°。（2）對應(yīng)線段分別是：CD與C'D'，AB與AB'，AD與AD'，BC與B'C'。方法提煉：解答這類題目，應(yīng)該看哪個點不動，在旋轉(zhuǎn)過程中，圖形中的點都動，哪個點不動，哪個點就是旋轉(zhuǎn)中心，只要找出了對應(yīng)點，對應(yīng)線段自然可得，抓住“動”與“不動”。難點：運用旋轉(zhuǎn)的特征解決一些實際問題，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力，突破難點的途徑應(yīng)多動手操作，充分認識“圖形在旋轉(zhuǎn)過程中每一點與該對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離都相等”這一性質(zhì)去理解和運用旋轉(zhuǎn)的其他性質(zhì)。例2.如圖所示，正方形ABCD中，E是正方形內(nèi)一點，把△AED繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到旋轉(zhuǎn)后的三角形并回答：（1）圖中有哪些相等的線段和相等的角。（2）哪兩個三角形的形狀、大小都一樣。分析：將一個圖形繞某一點按一定的方向旋轉(zhuǎn)一個角度后，到達另一位置，在這個運動過程中，圖形的形狀和大小沒有改變，只是位置不同，且對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，本例中，△ABE'是△ADE旋轉(zhuǎn)得到的，△ABE'與△ADE的形狀和大小都不變。答案：（1）相等線段有：AB＝AD＝DC＝CB，AE＝AE'，DE＝BE'。相等角有：∠E＝∠E'，∠EDA＝∠E'BA，∠DAE＝∠BAE'（除直角外）（2）△ADE與△ABE'的形狀和大小都一樣。方法提煉：解答這類題目，應(yīng)考慮旋轉(zhuǎn)的特征，是繞什么點旋轉(zhuǎn)的，圖形中的每個點都旋轉(zhuǎn)相同的角度，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，關(guān)鍵是是否旋轉(zhuǎn)。例3.如圖所示，小華同學正在黑板上畫△ABC繞△ABC外一點P旋轉(zhuǎn)45°的旋轉(zhuǎn)圖，當他畫完A、B兩點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A'、B'時，不小心將旋轉(zhuǎn)中心P擦掉了，沒有旋轉(zhuǎn)中心P，小明不知道如何畫下去，你能幫助小明找到旋轉(zhuǎn)中心P，使他繼續(xù)完成剩下的圖形嗎？分析：因為旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點連線的垂直平分線上，所以旋轉(zhuǎn)中心是對應(yīng)點連線垂直平分線的交點。答案：先連接AA'、BB'，然后分別畫線段AA'，BB'的垂直平分線，則它們的交點就是。例4.如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，B在AD上，試利用旋轉(zhuǎn)說明：BE＝CD。分析：因為此題是利用旋轉(zhuǎn)說明，所以應(yīng)考慮應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的一些特征來解題。答案：因為△ABC與△ADE都是等邊三角形，所以∠BAC＝∠EAD＝60°，AB＝AC，AE＝AD所以線段AB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°后與AC重合，AE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°后與AD重合，即△ABE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°后與△ACD重合。此時BE與CD重合，所以BE＝CD方法提煉：把題目中的結(jié)論與條件互換即已知BE＝CD，問哪兩個三角形可以通過旋轉(zhuǎn)得到。這樣的題目就是抓住旋轉(zhuǎn)的特征去尋找思路。例5.如圖所示的風車葉片中，是中心對稱圖形的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個分析：從圖中可觀察到四個風車的葉片的形狀每個都是完全相同的。要選出中心對稱圖形，就要考慮看哪些風車葉片旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合。最簡單的辦法就是看葉片是奇數(shù)個或是偶數(shù)個，是奇數(shù)個的，它只是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，是偶數(shù)個的，那么它既是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，又是中心對稱圖形。因此，本例中的“風車”三個有偶數(shù)個葉片，故它們是中心對稱圖形。答案：C例6.如圖所示為中心對稱圖形，請找出它的對稱中心。分析：因為要找中心對稱圖形的對稱中心，應(yīng)聯(lián)系中心對稱的性質(zhì)“對稱點連線經(jīng)過對稱中心”。答案：因為對稱點連線經(jīng)過對稱中心，所以圖形中的兩組對應(yīng)點連線交點就是對稱中心。點A的對應(yīng)點是點C，點B的對應(yīng)點是點D，連結(jié)AC、BD，它們的交點O即是。拓展延伸：可以用這種方法尋找規(guī)則圖形的中心。例7.如圖所示，點A、B為河塘兩岸的兩座村莊，為了測量兩村莊間的距離，因條件限制，不能經(jīng)過河塘直接測量，請你想一想，能否利用所學知識來解決這個問題呢？分析：由于測量時，不能經(jīng)過河塘，這就需要將兩點（村莊）在不改變AB兩點之間的距離的情況下，移動到適當?shù)奈恢?。答案：在河塘岸邊適當?shù)奈恢萌∫稽cC，連接AC、BC（保持AC、BC不經(jīng)過河塘）。分別將AC、BC延長到點A'、B'，使A'C＝AC，B'C＝BC；這樣即是作線段AB關(guān)于點C的中心對稱圖形A'B'，根據(jù)中心對稱的特征有A'B'＝AB，所以測出A'B'的長就是AB的長，即兩村莊之間距離。例8.觀察圖中所給的圖案，它可以看成是由哪個圖形經(jīng)過怎樣的變換產(chǎn)生的？它是不是軸對稱圖形？旋轉(zhuǎn)對稱圖形？中心對稱圖形？分析：此圖案中的基本圖形是正方形，它可以看成一個小正方形沿對角線方向平移一條對角線長、兩條對角線長、三條對角線長后得到三個正方形，然后在平移的軸線上找一點作為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三個90°，即可得到以上圖案。（也可以看成一條線段經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)后得一正方形，再重復上述過程得到）答案：一個小正方形沿對角線方向平移一條對角線長、兩條對角線長、三條對角線長后得到三個正方形，然后在平移的軸線上找一點作為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三個90°產(chǎn)生的。它是軸對稱圖形，旋轉(zhuǎn)對稱圖形，中心對稱圖形。方法提煉：對這種題應(yīng)仔細分析能否經(jīng)過一種變換得到，如果不能夠經(jīng)過一種變換得到，就應(yīng)考慮使用變換的組合。把圖形經(jīng)過軸對稱，平移、旋轉(zhuǎn)得到。【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一.選擇題。1.下列既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形 B.菱形C.平行四邊形 D.等腰三角形2.下列各組圖形（如圖所示）中，不能由平移或旋轉(zhuǎn)得到的一組是（）3.如圖所示，其中是中心對稱圖形的是（）4.如圖所示，正方形BCDE可以看作是由正方形ABEF繞某點旋轉(zhuǎn)得到的，在圖形所在的平面上能作為旋轉(zhuǎn)中心的點有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個5.兩次翻折（對稱軸互相平行）相當于一次（）A.翻折 B.平移 C.旋轉(zhuǎn) D.中心對稱6.如圖所示，△ABC繞點A按逆時針轉(zhuǎn)動一個角度后成為△AB'C'，則旋轉(zhuǎn)的角度為（）A.∠BAC的度數(shù) B.∠BAB'的度數(shù)C.∠BAC'的度數(shù) D.∠B'AC'的度數(shù)7.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）（1）射線 （2）角 （3）線段（4）直線 （5）正三角形 （6）圓A.1個 B.2個 C.3個 D.4個8.下列說法不正確的是（）A.中心對稱圖形可能是軸對稱圖形B.軸對稱圖形一定不是中心對稱圖形C.中心對稱圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形D.旋轉(zhuǎn)對稱圖形可能是軸對稱圖形二.填空題。9.在△ABC中，如果∠C＝90°，∠A＝45°，那么△ABC是__________對稱圖形。10.請寫出兩個既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的四邊形____________。11.如圖所示，四邊形的A'B'C'D'是四邊形ABCD平移后得到的，則點A的對應(yīng)點是___________，點B的對應(yīng)點是___________，線段AB的對應(yīng)線段是___________，∠A的對應(yīng)角是___________，平移距離是___________。12.如圖所示，∠DEF是∠ABC經(jīng)過平移后得到的，若∠ABC＝36°，則∠DEF＝___________。13.如圖所示，等邊△ABC經(jīng)過平移后成為△BDE，則其平移的方向是___________；平移的距離是__________；△ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后成為△BDE，則其旋轉(zhuǎn)中心是___________；旋轉(zhuǎn)角度是___________。14.如圖所示，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5cm，△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度后，成為△ACD，則圖中的__________是旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角是__________。15.鐘表的分針勻速旋轉(zhuǎn)一圈需要60分鐘，它的旋轉(zhuǎn)中心是___________，經(jīng)過20分鐘后，分針旋轉(zhuǎn)了___________。三.解答題。16.試將如圖所示的四邊形ABCD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。17.如圖所示，將字母“A”按箭頭指示的方向平移4cm，畫出平移后的“A”。18.如圖所示，請將該圖補成中心對稱圖形。19.用黑白兩種棋子在方格中構(gòu)造一個既是軸對稱，又是中心對稱的圖形，如圖所示。20.以給出的圖形“○、○、△、△、＝”（兩個相同的圓，兩個相同的三角形、兩條平行線）為構(gòu)件，各設(shè)計一個構(gòu)思獨特且有意義的軸對稱圖形和中心對稱圖形。舉例：如圖所示，左框中是符合要求的一個圖形，你還能構(gòu)思出其他的圖形嗎？請在右框中畫出與之不同的圖形。

【試題答案】一.選擇題。1.B 導解：明確軸對稱圖形和中心對稱圖形的特征。2.A 導解：平移旋轉(zhuǎn)特征。3.B 導解：觀察圖形套用中心對稱特征。4.C 導解：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。5.B6.B 導解：旋轉(zhuǎn)的特征。7.B8.B二.填空題。9.軸 導解：根據(jù)軸對稱特征。10.矩形、正方形導解：特殊的平行四邊形既是軸對稱圖形，