人教版第三章數(shù)列

第三章數(shù)列

3.1數(shù)歹I］

?自學(xué)導(dǎo)引

1.數(shù)列、數(shù)列的項(xiàng)：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

2.數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛?。牡凇?xiàng)即與〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式就叫做

這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

3.數(shù)列可用圖象來(lái)表示，在直角坐標(biāo)系中，以序號(hào)為橫坐標(biāo),相應(yīng)的項(xiàng)為級(jí)坐標(biāo)描點(diǎn)畫圖來(lái)表示一個(gè)數(shù)列，

圖象是一些孤立的點(diǎn).

4.根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以把數(shù)列分為有望數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列.

5.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列可以看作是?個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,…，〃｝)的函數(shù)

當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.

?思考導(dǎo)學(xué)

1.簡(jiǎn)述數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別.

【答】數(shù)列強(qiáng)調(diào)數(shù)列中的項(xiàng)是有順序的，數(shù)列中的項(xiàng)可以是相等的，與數(shù)集中的無(wú)序性和互異性是不同

的.

2.每個(gè)數(shù)列是否都存在通項(xiàng)公式？

【答】并不是每個(gè)數(shù)列都能寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，比如：正整數(shù)中的質(zhì)數(shù)按從小到大的順序排列構(gòu)成的

數(shù)列2,3,5,7,11,13,17,……至今為止也無(wú)人能夠?qū)懗鏊囊粋€(gè)通項(xiàng)公式；當(dāng)然有窮數(shù)列一定有通

項(xiàng)公式并且可以用項(xiàng)數(shù)n的多項(xiàng)式表示.

?典例剖析

［例1］根據(jù)所給數(shù)列的前六項(xiàng)，試寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式

(1)1,3,5,7,9,11,........；(2)1,~2,3,~4,5,一6,........；

(3)9,99,999,9999,99999,999999,.......；

【解】(l)a?=2n—l(2)a?=(—1),,+1n(3)a?=lOn—1

［例2］在數(shù)列｛斯｝中m=30。=21,通項(xiàng)公式是項(xiàng)數(shù)的一次函數(shù).

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式，并求02003.⑵若如藥"求數(shù)列｛仇｝的通項(xiàng)公式.

【解】(1)設(shè)由已知：

A+5=3(A=2

<］04B21解得“8??,?恁=2〃+1貝ij02003=2X2003+1=4007(2)》“=〃2〃=2(2〃)+1=4〃+1

【點(diǎn)評(píng)】求儂即將〃〃=2〃+1中的“換成2〃，實(shí)際上是求出了數(shù)列｛斯｝中偶數(shù)項(xiàng)按原來(lái)的順序排列構(gòu)成的

新數(shù)列的通項(xiàng)公式,還可考慮求。2〃7、。2“+1、。3/4等等.

［例3］已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a?=n2—9n+20

(1)試問2是否是數(shù)列｛斯｝中的項(xiàng)？(2)若斯W0,求比

【解】(1)令—9/?+20=2,即〃之一9〃+18=0解得n=3或n=6

即2為數(shù)列｛%｝中的第3項(xiàng)或第6項(xiàng).

(2)由%W0即“2—9”+20《0(”一4)(〃-5)W0；.4W〃W5又”GN*."=4或〃=5.

【點(diǎn)評(píng)】解關(guān)于"的方程或不等式要注意應(yīng)在正整數(shù)范圍內(nèi)求解.

?隨堂訓(xùn)練

1.數(shù)列1,0,1,0,1,……的一個(gè)通項(xiàng)公式是

1-(-1),,+,l+(-l)n+I(-l)n-1-1-(-1)"

A.a“=---------B.a?=---------C.a,,=--------D.a?=---------

2222

1(一1嚴(yán)

【解析】將數(shù)列｛上｝與｛｛一｝對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加得到的數(shù)列即是.

【答案】B

2.設(shè)數(shù)列近,五,2后,而，……則2百是這個(gè)數(shù)列的

A.第六項(xiàng)B.第七項(xiàng)C.第八項(xiàng)D.第九項(xiàng)

【解析】可觀察所給數(shù)列的通項(xiàng)公式是斯=屈二I,由舊二1=2行得〃=7【答案】B

3.已知a產(chǎn)%那么

A.0是數(shù)列中的一項(xiàng)B.21是數(shù)列中的一項(xiàng)C.702是數(shù)列中的一項(xiàng)D.30不是數(shù)列中的一項(xiàng)

【解析】由〃2+雇=702即〃之+"一702=0得：幾=26或幾=—27(舍去)【答案】C

?(?+!)

4.函數(shù)式〃)=(-1)工當(dāng)自變量依次取正整數(shù)1,2,3,…，〃，…時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，以數(shù)列形式表示為

A.—1,1,—1,1B.—1,—1,1,1,-1,—1—1,1,1,—1,~1/,?,(―1)2

小〃+1)

D.—1,—1,1,1,—1,-1,-,(-1)2,…

【解析】顯然數(shù)列6〃)｝為無(wú)窮數(shù)列【答案】D

5.已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式知=―—(”eN*),那么」一是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).

“(〃+2)120------

【解析】令恁=」一即一1一=」一,得片10,或片一12(舍去)【答案】10

120n(n+2)120

6.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=9〃2勺)"，則此數(shù)列的前4項(xiàng)分別為.

【解析】“1=6,“2=8,“3=8,。4="—【答案】6,8,81—

99

?強(qiáng)化訓(xùn)練

1.數(shù)列1,2,4,8,16,32,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是

1n1

A..a?=2n—1B.a?=2"C.a?=2"D.an=2

【解析】V1=2°,2=2',4=22,8=23,16=24,32=25Aa?=2n-'【答案】B

2.數(shù)列1,1,2,2,3,3,4,4,.,的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）

1+（—1嚴(yán)

n+——-n〃為奇數(shù)

A.a“=-----------

2-〃為偶數(shù)

12

n+1n-1

〃為奇數(shù)〃為奇數(shù)

22

C.a“=?D.c”="

n-\n

〃為偶數(shù)〃為偶數(shù)

I2[2

【解析】將1,0,1,0,1,0,…與1,2,3,4,5,6,…數(shù)列對(duì)應(yīng)相加得到的數(shù)列為2,2,4,4,6,

6,…

一（2亡

上——【答案】A

1234

3.數(shù)列1上,2*,3巳,4二,的一個(gè)通項(xiàng)公式是

2345

n2n2+2n+〃+1n+2n

A.a〃=----B.an=-------C.att=------D-.-o-〃=

n+1n4-1n4-1n2+1

nn2+2〃

【解析】〃i=l-=l~i。2=2—=2"i的=3-=3+—。4=4—=4^即=〃~1-----=--------

22334455n+1〃+1

【答案】B

4.已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為?！?〃2-8〃+15,則3

A.不是數(shù)列｛a,,｝中的項(xiàng)B.只是數(shù)列｛%｝中的第2項(xiàng)

C.只是數(shù)列｛斯｝中的第6項(xiàng)D.是數(shù)列｛斯｝中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)

【解析】令斯=3,即〃2-8"+15=3解得”=2,或〃=6【答案】D

5.數(shù)列3」±上工,

的一個(gè)通項(xiàng)公式是

5211717

【解析】〃尸2/=工==2=9,"=上皿〃+三2【答案】%:〃+2

5,22831147145173〃+23〃+2

6.數(shù)列0,1,0,2,0,3,……的一個(gè)通項(xiàng)公式是.

【解析】可以看作由即=]+（_1）"與的=2對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列，因此數(shù)列0,1,020,3,……的一個(gè)通項(xiàng)

22

八弋為1+(一1)"r死安】1+(一1)〃

公式為斯=--------?n【答案】---------,n

44

7.根據(jù)數(shù)列的前〃項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

/…C1/1°1,八4916.、，，，

(1)2,2,4,4,6,6,...(2)2—,4—,6—,8,...(3)1,一—~f...(4)a,b,a，b,a,b,

2

]+(—1嚴(yán)1的/-a+ba-b,…

4

【解】(1)即=---------+”(2)a?=2n+—(3)</?=(-1)2n-\()?n=-^―+^―(-D

8.已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式是&=2+獨(dú)三弛，問1和32是不是數(shù)列｛為｝中的項(xiàng).如果是，那么是第幾項(xiàng)?

n

【解】令〃產(chǎn)2+----------=1,整理得：/22—30〃+200=0,即(〃-10)(/t—20)=0,〃=10或〃=20

n

one2八

Al是數(shù)列｛%｝的第10項(xiàng)或第20項(xiàng)；令a,,=2+=^—^—■-=32,I|J30n2+30/?-200=0

n'

整理得3/+3"—20=0,方程在N*中無(wú)解:.32不是數(shù)列｛斯｝中的項(xiàng).

9.在數(shù)列｛痣｝中，田=2,田7=66,通項(xiàng)公式是項(xiàng)數(shù)〃的一次函數(shù).（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；（2）88是否是數(shù)

列｛斯｝中的項(xiàng).

［解】⑴設(shè)a.=A"+B,由ai=2,ai7=66

［A+B=2.fA=445

得！，解得《...冊(cè)=4”-2（2）令%=88,即4〃-2=88得n=一任N*

17A+8=66［B=-22

A88不是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng).

10.若數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)為斯=-2/+13〃，畫出它在x軸上方的圖象，請(qǐng)根據(jù)圖象求出川的最大值；并在同一

坐標(biāo)系中畫出函數(shù)4v）=-2*2+13X的圖象，根據(jù)圖象求出,/（X）的最大值，并與斯的最大值進(jìn)行比較.

【解】令%>0即一2/+13〃>0,解得:0<?<—13,XneN*n=l,2,3,4,5,6;

2

1.13

田=11,&2=18,。3=21,。4=20,田=15,“6=6?！钡淖畲笾禐?。3=21月》）的最大值為21—,當(dāng)”取距一最近的正整數(shù)時(shí)，

84

如取得最大值.（圖象為孤立的點(diǎn)，略）

?學(xué)后反思

觀察數(shù)列的前n項(xiàng)歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是這堂課的難點(diǎn).復(fù)雜的數(shù)列要把項(xiàng)“分解”開（如：分子、

分母、符號(hào)等），再找它們與項(xiàng)號(hào)”的關(guān)系.為把握起見，可給求出的通項(xiàng)公式中的“賦值來(lái)驗(yàn)證公式的正

確性.

?教學(xué)建議

本節(jié)重點(diǎn)是數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式，難點(diǎn)是根據(jù)數(shù)列的前〃項(xiàng)觀察、歸納數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.教學(xué)中需用

函數(shù)的觀點(diǎn)解釋數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式，加深對(duì)通項(xiàng)公式的理解，通過(guò)例題和練習(xí)讓學(xué)習(xí)接觸較多的具體

數(shù)列，幫助學(xué)生分析觀察數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而歸納出通項(xiàng)公式.

第二課時(shí)

?自學(xué)導(dǎo)引

T數(shù)列的性質(zhì)

1.如果已知數(shù)列｛斯｝的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)冊(cè)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)

式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

2.若〃向>斯對(duì)任意的正整數(shù)”都成立，則數(shù)列｛匾｝可稱為遞增數(shù)列;若知+|<%對(duì)任意的正整數(shù)〃都成

立，則數(shù)列｛斯｝可稱為遞減數(shù)列;若。"尸a”對(duì)任意的正整數(shù)〃都成立，則數(shù)列｛斯｝可稱為常數(shù)列.

?思考導(dǎo)學(xué)

1.數(shù)列的遞推公式的兩個(gè)要素是什么？

【答】首先要提供首項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）；再就是要給遞推關(guān)系即任一項(xiàng)即可用”,門（或前幾項(xiàng)）表示.

2.簡(jiǎn)述數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系.

【答】數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式都能確定數(shù)列，但用通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)，或判斷一個(gè)數(shù)是否是數(shù)列

中的項(xiàng)更為方便，因此我們需要考慮能否利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式等問題.

?典例剖析

［例1］已知數(shù)列｛斯｝滿足a“+i=2a”+l,〃GN*

（1）若a尸一1,寫出此數(shù)列的前4項(xiàng)，并推測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）若切=1,寫出此數(shù)列的前4項(xiàng)，并推測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【解】（1）幻=02=。3=44=—1，可推測(cè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式斯=-1.

（2）.1=1,°2=2X1+1=3,43=2X3+1=7,口=2X7+1=15.可推測(cè)數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為a,,=2n—1.

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)列的遞推公式是山遞推關(guān)系式（遞推）和首項(xiàng)（基礎(chǔ)）兩個(gè)因素所確定的，既便遞推關(guān)系完全一樣,

而首項(xiàng)不同就可得到兩個(gè)不同的數(shù)列.

［例2］已知數(shù)列｛%｝滿足。i=l&H=a%+B,且。2=3,。4=15,求常數(shù)a已的值.

【解】由4尸1&H=Qa〃+B知

〃2=。。/+￡即。+￡=3①〃3=。。2+B=3。+￡a^=a田+8=3a?！?/p>

a—2a=-3

即3。2+?！?￡=15②解得<或<

1/?=1、6=6

【點(diǎn)評(píng)】本題就是用待定系數(shù)法解決了遞推關(guān)系中的系數(shù).當(dāng)然還可以繼續(xù)解決已知遞推公式，求數(shù)列的

通項(xiàng)公式等問題.

［例3］已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a,,=----(1)求證｛斯｝為遞減數(shù)列，(2)若S?=a+a2+"-+a,求數(shù)列｛%｝

n(n+l)］n

的前n項(xiàng)和S?.

]1-2

(1)【證明】

(n+l)(n+2)n(n+1)〃(〃+1)(〃+2)

*/nGN*,/.a,,+\—a?<0,即,.數(shù)列｛”“｝為遞減數(shù)列.

111111

(2)?a?=-------=---------..S”=ai+“2+…+%=-----1-------1+-----------

n(n+1)nn+11x22x3n(n+1)

_I、JI、J1、1n

=(Z11_-)+(---)+*,*+(-----)=1—----=-----

n+1n+1n+1

【點(diǎn)評(píng)】本題給出了證明數(shù)列為遞增(或遞減)數(shù)列和求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法.可注意證明數(shù)列為遞增(或遞

減)數(shù)列與證明函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系和區(qū)別.

?隨堂訓(xùn)練

ai=：,a“=(-1)"?2a-i(n^2),則死等于

L在數(shù)列｛斯｝中,n

16c16c8r8

A.-——B.—C.——D.一

3333

【解析】由〃尸」,〃〃=(—1)"?2a?—l得a2=—,a3=——,a4=--,a5=—【答案】B

33333

2.在數(shù)列｛斯｝中,01=2,02=5,H斯+1=即+2+斯，則。6的值為

A.-3B.-11C.-5D.19

【解析】由〃1=2,。2=5又％+］=斯+2+?！礊?2=恁+1一?！?；?以3=3,。4=—2/5=—5風(fēng)=—3【答案】A

3.已知恁+尸〃〃+3,貝?擻列｛斯｝是A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列

【解析】由斯+尸％+3,即即+i—斯=3>0知,數(shù)列｛斯｝為遞增數(shù)列.【答案】A

4.已知數(shù)列｛斯｝滿足6>0,且為+|=；斯,則數(shù)列｛斯｝是

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列

【解析】山〃i>0,且〃〃+1=,〃〃則。〃>0

2

又4±L=J_<1...%+i〈斯因此數(shù)列｛斯｝為遞減數(shù)列.【答案】B

%2

5.已知41尸2次"+1戶+1(〃WN*),貝i」/(4)=

35

【解析】用尸皿1=%3尸31=二=2熟尸31=上=2【答案】2

222242288

6.設(shè)凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為危)，則式3)=;而+1)=(用表示).

【解析】顯然%)=0/(〃+1月(")+("-1)【答案】0fin)+n-\

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.已知數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng),。1=1,且。"=2即一]+1(〃22),則。5為

A.7B.15C.30D.31

【解析】由“1=1,且%=2%一1+1(〃》2)得：。2=3,的=7,。4=15,4=31【答案】D

2.數(shù)列｛—2〃2+29”+3｝中最大項(xiàng)的值是

1

A.107B.108C.108-D.109

8

、29、292

【解析】V-2H2+29H+3=—2(n——)2+---+3,又"GN*,故當(dāng)"=7時(shí)、％最大，即最大項(xiàng)的值為。戶一2

48

X72+29X7+3=108.【答案】B

3.數(shù)列I,3,6,10,15,……的遞推公式是

a.=1[a,=1

AJ、B.〈

all+I=an+n,n&N*'[%=an_t+n,neN*,〃>2

a”+i=%+(n+l),nEN*,n>2〔*=a,-+(〃—1),〃eN*

【解析】。1=1。2=。1+2。3=。2+3...an=an-\+n【答案】B

4.若數(shù)列｛”“｝滿足ai=',a“=l---,〃22,“WN*,則。20。3等于

2??-i

A.-B.-lC.2D.l

2

【解析】由。1=工，a“=l一」一知“2=-1,的=2,44=!，〃2003=的*667+2="=〃5=。2=-1【答案】B

22

a｝=1

5.已知數(shù)列｛斯｝的遞推公式為J%N*,那么數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為.

凡口=1-----7

【解析】由〃1=1,且〃〃+1=——一知。2=一,。3=—,〃4=一???〃”=-----【答案】即=-------

2%+13572〃—12〃—1

6.設(shè)｛為｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(〃+1)?恁+J—〃斯2+。“+必=0(〃=123,???),則它的通項(xiàng)公式是.

[解析】山已知(〃+1)〃〃+/—〃〃〃2+%+/〃=0知—2)+〃〃+](即+]+〃〃尸0

0yi

/.n(an+\—an)+an+\=0即(〃+l)%+]=〃％整理得一批=----

an〃+1

(1)

%-i_2

—〃_](2)d111

(1)X(2)X???X(?—1)得‘=—又“i=l,???a〃=一.【答案】an=—.

axnnn

a_1

2(〃一1)

ax2

n

7.已知數(shù)列｛斯｝中勾=1,即+產(chǎn)寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式.

n+1

【解】(1)由41=1,即+1=-----74“得。2=二,。3==,。4=:,%=:

〃+12345

(2)可推測(cè)數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a?=-.

nn

8.已知數(shù)列｛%｝中,〃1=〃2=1，且即=斯-1+%2(〃23,〃金N*)設(shè)瓦=烏一.

a

n+i

(1)求證：b〃+i=―-—,〃￡N*(2)求數(shù)列｛兒｝的前5項(xiàng).

1+勿

(1)【證明】2=-=%=------------=——

%+2%+1+an]+an1+b?

(2)【解】由"=--=1，岳=—，63=—力4=—力5=—

a22358

9.已知數(shù)列｛&｝的遞推公式是為+2=3%+]—2%,且勾=1,〃2=3,求數(shù)列的前5項(xiàng)，并推測(cè)數(shù)列｛〃己

的通項(xiàng)公式.

【解】由。]=1,。2=3,〃〃+2=3?！?1—得

的=3a2—2〃i=3X3—2Xl=7以=3。3-2。2=3義7—2義3=15a5=3a4-2a3=3X5~2Xl=3\

……可推測(cè)％=2〃-1.

10.數(shù)列｛〃”｝滿足：。1=3,。2=6,?！?2=為+1—%，求。2003.

【解】由。[=3,〃2=6,〃〃+2=〃〃+]—〃〃，得

。3=。2-G]—6—3=3。4=的一色=3-6=-3。5=。4—。3=-3—3=-6

。6=。5-44=-6-(-3)=-347=。6-“5=-3-(-6)=3a8=。7-46=3—(-3)=6........

02003=06X333+5=45=-6.

?學(xué)后反思

利用數(shù)列的遞推公式可求出數(shù)列中的任何?項(xiàng)，它和數(shù)列的通項(xiàng)公式一樣是可以確定一個(gè)數(shù)列的，和通項(xiàng)

公式比較，用通項(xiàng)公式求數(shù)列中的某-項(xiàng)或判斷一個(gè)數(shù)是否是數(shù)列中的某一項(xiàng)比用遞推公式更直接、更方

便.

?教學(xué)建議

可引導(dǎo)學(xué)生考慮已知遞推公式，求通項(xiàng)公式的問題，但不宜過(guò)難、要循序漸進(jìn)，可通過(guò)遞推公式求項(xiàng)，發(fā)

現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律和性質(zhì)，如數(shù)列可能是常數(shù)列、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、循環(huán)數(shù)列等等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,

引導(dǎo)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，在以后的學(xué)習(xí)中還要注意數(shù)列的遞推公式與數(shù)學(xué)歸納法之間的

聯(lián)系等等.

3.2等差數(shù)列

第…課時(shí)

?自學(xué)導(dǎo)引

1.等差數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫

做等差數(shù)列,用式子可表示為旬一a“r=d(〃22,d是與"無(wú)關(guān)的常數(shù)),則數(shù)列｛an｝叫做等差數(shù)列.

2.等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列的公差”>0時(shí),數(shù)列為遞增數(shù)列:“<0時(shí),數(shù)列為遞減數(shù)列；4=0時(shí),

數(shù)列為常數(shù)列.等差數(shù)列不會(huì)是擺動(dòng)數(shù)列.

3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a.,=ak+(n-\)d,它是用不完全歸納法得出來(lái)的.

4.如果“力，b成等差數(shù)列，那么4叫做。與b的等差中項(xiàng).

?思考導(dǎo)學(xué)

1.試判斷等差數(shù)列的遞增和遞減性.

【答】由等差數(shù)列的定義知。用一恁=4

當(dāng)d>0時(shí)an+i>an即｛%｝為遞增數(shù)列；

當(dāng)(1=0時(shí),an+\=a?即｛%｝為常數(shù)列；

當(dāng)d<0時(shí)，a?+i<an即｛斯｝為遞減數(shù)列.

2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的特征.

【答】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為關(guān)于項(xiàng)數(shù)〃的次數(shù)不高于?次的多項(xiàng)式函數(shù)即期=41+8(若｛為｝為常數(shù)列

時(shí)4=0).

?典例剖析

［例1］已知數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，且的=11,“8=5,求%.

【解】設(shè)數(shù)列｛為｝的公差為d,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知得

a,+4d=11._a,-19

\，解得《所以a“=19+(〃-1)(—2),即a“=-2”+21.

/+7d=5［d=-2

【點(diǎn)評(píng)】先根據(jù)兩個(gè)獨(dú)立的條件解出兩個(gè)量伯和d,進(jìn)而再寫出為的表達(dá)式.幾個(gè)獨(dú)立的條件就可以解出

幾個(gè)未知量，這是方程組的重要應(yīng)用.

［例2］已知數(shù)列｛a?｝為等差數(shù)列,ap=q,%=p,且p#q,求即”

Qn-a”a—D

［解］d=-------=------=—\ap^g=ap+(p+q—p)d=q—q=0

p-qp-q

a-a

【點(diǎn)評(píng)】等差數(shù)列公差的計(jì)算，可利用d=/一J(機(jī)H〃)，而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫為斯=恁+(〃

m-n

-k)d.

［例3］數(shù)列｛〃,,｝各項(xiàng)的倒數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，若的=1，%=；，求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

【解】設(shè)b,r—和%｝成等差數(shù)列，其公差設(shè)為d則h3=—=3也=上=7.?.冷%二冬=2

ana3a55-3

b,i=b^(n—3)d=3+2(〃-3)=2〃-3/.an=—=--—

hn2〃一3

1

【點(diǎn)評(píng)】可觀察出遞推關(guān)系為〃,,+產(chǎn)一J的數(shù)列的倒數(shù)構(gòu)成的數(shù)列即為等差數(shù)列，可通過(guò)求」-進(jìn)而求

%+Ca”

出a?.

?隨堂訓(xùn)練

1.數(shù)列[a,,｝的通項(xiàng)公式即=2〃+5,則此數(shù)列

A.是公差為2的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列C.是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列D.是公差為n的等差數(shù)列

【解析】an—a?-i=2n+5—[2(”-1)+5]=2(〃22)【答案】A

2.“,b,c都是實(shí)數(shù)，那么"2b=a+c”是％,b,c成等差數(shù)列”的

A充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】a,b,c成等差數(shù)歹！J。人一a=c—bo2b=a+c【答案】C

3.在等差數(shù)列｛%｝中，az=-5,d=3,則⑶為

A.-9B.-8C.-7D.-4

【解析】由已知。"=。2+(〃-仁一5—3=—8【答案】B

4.已知等差數(shù)列｛?。那?項(xiàng)依次為a-\,a+\,2a+3,則此數(shù)列的通項(xiàng)a?為

A.2n-5B.2?-3C.2n~\D.2n+1

【解析】由已知2(a+1)=(“?—l)+(2a+3)整理得。=0,0=—1,。2=1,4=。2-l)d=2〃-3

【答案】B

5.在等差數(shù)列｛斯｝中，若的=50,%=30,貝1」。7=.

[解法一]d-一一=—10,〃7=〃3+(7—3)4=50—40=10

【解法二】由2%=的+。7得07=2%—43=2X30-50=10【答案】10

6.在一1和8之間插入兩個(gè)數(shù)a,b,使這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則a=,b=.

【解析】d=8一(-1)=3；.。=-1+3=2,42+3=5【答案】25

4-1

?強(qiáng)化訓(xùn)練

1.已知〃八p為常數(shù)，設(shè)命題甲：。、b、c成等差數(shù)列；命題乙：ma+p,機(jī)b+p〃c+p成等差數(shù)列，那么甲是

乙的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】。、b、c,成等差數(shù)歹1」<=>2〃=。+。=2(m〃+〃)=(相〃+〃)+0中)【答案】A

2.已知數(shù)列｛%｝中“3=2。=1，又?jǐn)?shù)列｛—1―｝為等差數(shù)列，則即等于

4+1

D.-1

【解析】；｛」一｝為等差數(shù)列

%+1

1_______1

.?…，=，+(”3)，

1」+18，二

7-324an+la3+12461.14-13243

?,?<2||=—【答案】B

2

3.首項(xiàng)為一24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是

Q88

\.d>-B.dV3C.-Wd<3D.一<dW3

333

見+9d>08

【解析】由已知四0>0,且的WO即1?將.=一24代入解得？<d〈3【答案】D

a｝+Sd<03

4.在等差數(shù)列｛斯｝中,若43+。4+。5+〃6+。7=450,則做+恁等于

A.45B.75C.180D.300

【解析】由已知w+Qd+Qs+Qe+的aSO,即5〃i+20d=450

即〃]+4d=90。2+。8=2。1+81=23]+46/)=180【答案】C

5.如果等差數(shù)列｛斯｝的第5項(xiàng)為5,第10項(xiàng)為-5,那么此數(shù)列的第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是第項(xiàng).

【解析】在等差數(shù)列｛斯｝中,。5=5,。10=-5

a\0-a5

d=〃〃=%+(幾-5)d=5+(〃-5)(-2)=\5-2n

10-5

令斯V0,即15—2〃<0,〃>——，又〃￡N*???〃=8,9,10.......因此，數(shù)列中的第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是第八項(xiàng)即的.

2

【答案】八

6.已知等差數(shù)列的第10項(xiàng)為23,第25項(xiàng)為-22,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

[a,+9d=23[a,=50

【解析】由已知得《,解得!.-.a?=50+(n-1)(-3)=-3n+53.

+24d=-22d-—3

【答案】a?=-3n+53

7.判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列.⑴斯=4〃-3(2)%=十十〃

【解】(1)幡%+L斯=[4(〃+1)—3]—(4〃一3尸4..?｛%｝為等差數(shù)列

⑵由a,i=n+n知a1=2,?2=6,?3=12a2—a^a3—a2A｛斯｝不構(gòu)成等差數(shù)列.

8.已知數(shù)列｛斯｝滿足a〃+]2=〃/+4,且〃]求%.

【解】由〃〃+/=心+4即恁+J—a/=4.?.數(shù)列｛a/｝構(gòu)成等差數(shù)列々/=#+伽―1)"=]2+(〃—[)?4=4A?—3

又>0，an=A/4H—3

a-a

9.若xWy,兩個(gè)數(shù)列：x,ai，a2,的，y和x,b\,b2,b3,bA,y都是等差數(shù)列，求，--的值.

bi?

【解】設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列的公差分別為小、42,即求乙，由已知得，y=x+4d]

“2y=x+5d2

M4d｝=y'-rx‘解得d15a-a5

即《即2x

b-34

10.已知數(shù)列｛斯｝滿足ai=1,%+1=———(1)求數(shù)列的前4項(xiàng).(2)推測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明.

2%+1

11

【解】⑴。]=1；a=—的=—;a=—

23547

得一!一=」-，即一!——-=；.｛」-｝構(gòu)成等差數(shù)列

(2)由ai=l,a?+i=——---2+2

2%+l%%+i%%

111

=+(z及—\)d=1+2(〃-］)=2〃-1/.〃“=------

ana｝2n-l

?學(xué)后反思

等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，反映出的特殊規(guī)律是定義，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式涉及到四個(gè)量S、斯、小d,

用方程的觀點(diǎn)知三求一?列方程組求基本量是解決等差數(shù)列問題的常用方法.當(dāng)已知a、氏c成等差數(shù)列時(shí)，

通常采用2b=“+c作為解決問題的出發(fā)點(diǎn).

?教學(xué)建議

通過(guò)對(duì)等差數(shù)列定義和通項(xiàng)公式的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生明確,般等差數(shù)列是由兩個(gè)條件來(lái)確定，其基本量是首

項(xiàng)和公差.可根據(jù)學(xué)生的具體情況介紹通項(xiàng)公式的作用和等差數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活使用方法.

第二課時(shí)

?自學(xué)導(dǎo)引

1.如果恁+尸"吐對(duì)任意的正整數(shù)”都成立，則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

2

2.(1)若｛“”｝是等差數(shù)列，且&+/=,〃+”(%、1、tn、?GN*),則a*+〃/三

(2)若｛斯｝是等差數(shù)列，公差為4,則32“｝也是等差數(shù)列,公差為組.

(3)若｛斯｝是等差數(shù)列且公差為d,貝IJ｛。2“-I+。2“｝也是等差數(shù)列,公差為例.

(4)若｛斯｝、｛b,,｝都是等差數(shù)列,則｛p%+gb,J也是等差數(shù)列.

?思考導(dǎo)學(xué)

1.如何證明三個(gè)數(shù)。、仄c成等差數(shù)列？

【答】根據(jù)等差數(shù)列的定義：a、氏c成等差數(shù)列即b—a=c-b=b="￡.

2

2.如何使用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式？

【答】可根據(jù)任意不同的兩項(xiàng)求出公差公一％,又可推出a?=ak+(n-k)d.

m-n

?典例剖析

［例1］在等差數(shù)列｛%｝中，(1)已知。2+的+。23+。24=48,求。⑶

(2)已知〃2+〃3+。4+。5=34,〃2?“5=52,求公差d.

【解】(1)根據(jù)已知條件。2+。3+。23+。24=48,得4〃［3=48/?4?13=12

(2)由〃2+〃3+〃4+〃5=34,得2(〃2+〃5)=34,即。2+。5=17

a2-a5=52。2=4%=13%一〃,13—4%一。24-13

解《，得或，d=」——工=—=3或1=

。2+。5=17a5=13。5=45-235-23

【點(diǎn)評(píng)】等差數(shù)列｛〃〃｝中最基本的量是首項(xiàng)R和公差d,利用性質(zhì)解決等差數(shù)列問題較為簡(jiǎn)單方便，當(dāng)

然利用已知條件列出關(guān)于?、d的方程問題總是可以解決的.

［例2］若一L,」一,」一成等差數(shù)列，則.2,b2,°2成等差數(shù)列.

b+cc+aa+b

_,,1122Z?+a+c2

【r證明a】由已知Z得f=1-----1------=-----=>-------------=-----=>(2b+Q+c)(c+〃)=2(0+c)(Q+Z?)

h+ca+bc+aS+c)(a+Z?)c+a

=/+02=2。2,則整力2,。2成等差數(shù)列.

【點(diǎn)評(píng)】若。+助+c,c+a均不為零，逆命題也成立.同學(xué)們自證.

［例3］已知四個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，前三個(gè)數(shù)的和為6,第一個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的乘積為4,求這四個(gè)數(shù).

【解】設(shè)所求的四個(gè)數(shù)分別為2d.根據(jù)已知條件

.由①得。=2,將。=2代入②整理得『一40,."=0或占1

—d)+Q+(〃+d)=6(T)

<

(a-d)(a+2d)=4②因此所求的四個(gè)數(shù)分別為2,2,2,2或1,2,3,4.

【點(diǎn)評(píng)】要根據(jù)四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，而前三個(gè)數(shù)的和已知

去設(shè)未知量、布列方程，可使未知量的個(gè)數(shù)較少并且解方程的過(guò)程較為簡(jiǎn)單.

?隨堂訓(xùn)練

\.an+2+an=2all+i(neN*)是數(shù)列上“｝構(gòu)成等差數(shù)列的

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】恁+2+恁=2即+1(〃￡］\*)<=>an+2-a,l+\=a,l+i-afl(neN*)<=>a2-a\=a3—a2=a4—?3=-??=?rt+an

=｛恁｝成等差數(shù)列【答案】C

2.設(shè)數(shù)列｛〃〃｝、｛?｝都是等差數(shù)列，且句=25,仇=75,a2+fe2=100,則知+加等于

A.OB.37C.100D.-37

【解析】設(shè)｛斯｝、｛?。墓罘謩e為4、d2^(an+\+bll+\)—(an+bn)=(an+］—af1)+(bn+1—bn)=d\+d2

(cin+hn)為等差數(shù)列，又a1+仇=〃?+岳=100,二〃37+①7=1。0【答案】C

3.1gx、Igy、Igz成等差數(shù)列是『=心成立的

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［解析】lgx,lgy,lgz成等差數(shù)列U>21g)=lgx+lgz=>lgy2=lg(xz)=>y2=xz【答案】A

4.已知｛%｝為等差數(shù)列，6/15=8,"60=20，則。75=.

【解析】設(shè)匕1=。］5，岳=。30，匕3=。45，〃4=。60，匕5=。75

t>41

：.b5^bi+~?4=8+20二8?4=24,即即5=24.【答案】24

4-13

5.在等差數(shù)列［a,,｝中，已知a,“+