中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題《對角互補模型》

專題16《對角互補模型》破解策略1．全等型之“90°”如圖，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，則（1）CD＝CE；（2）OD＋OE＝OC；（3）．證明方法一：如圖，過點C分別作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N． 由角平分線的性質(zhì)可得CM＝CN，∠MCN＝90°． 所以∠MCD＝∠NCE， 從而△MCD≌△NCE（ASA）， 故CD＝CE． 易證四邊形MONC為正方形． 所以O(shè)D＋OE＝OD＋ON＋NE＝2ON＝OC． 所以．方法二：如圖，過C作CF⊥OC，交OB于點F． 易證∠DOC＝∠EFC＝45°，CO＝CF，∠DCO＝∠ECF． 所以△DCO≌△ECF（ASA）所以CD＝CE，OD＝FE， 可得OD＋OE＝OF＝． 所以．【拓展】如圖，當(dāng)∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則：（1）CD＝CE；（2）OE－OD＝OC；（3）．如圖，證明同上．2．全等型之“120” 如圖，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，則：（1）CD＝CE； （2）OD＋OE＝OC； （3）． 證明方法一：如圖，過點C分別作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N． 所以 易證△MCD≌△NCE（ASA）， 所以CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝OC．方法二：如圖，以CO為一邊作∠FCO＝60°，交OB于點F，則△OCF為等邊三角形．易證△DCO≌△ECF（ASA）．所以CD＝CE，OD＋OE＝OF＝OC，∴S△OCD＋S△OCE＝S△OCF＝OC2【拓展】如圖，當(dāng)∠DCE的一邊與BO的延長線交于點E時，則：（1）CD＝CE；（2）OD－OE＝OC；（3）S△OCD－S△OCE＝OC2如圖，證明同上．3、全等型之“任意角”如圖，∠AOB＝2，∠DCE＝180°－2，OC平分∠AOB，則：（1）CD＝CE；（2）OD＋OE＝2OC·cos；（3）S△ODC＋S△OEC＝OC2·sincos證明：方法一：如圖，過點C分別作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N易證△MCD≌△NCE（ASA）∴CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝2OC·cos∴S△ODC＋S△OEC＝2S△ONC＝OC2·sincos方法二：如圖，以CO為一邊作∠FCO＝180°－2，交OB于點F．易證△DCO≌△ECF（ASA）∴CD＝CE，OD＋OE＝OF＝2OC·cos∴S△ODC＋S△OEC＝S△OCF＝OC2·sincos【拓展】如圖，當(dāng)∠DCE的一邊與BO的延長線交于點E時，則：（1）CD＝CE；（2）OD－OE＝2OC·cos；（3）S△ODC－S△OEC＝OC2·sincos如圖，證明同上4、相似性之“90°”如圖，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝，則CE＝CD·tan方法一：如圖，過點C分別作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M、N易證△MCD∽△NCE，∴，即CE＝CD·tan方法二：如圖，過點C作CF⊥OC，交OB于點F．易證△DCO∽△ECF，∴，即CE＝CD·tan方法三：如圖，連接DE．易證D、O、E、C四點共圓∴∠CDE＝∠COE＝，故CE＝CD·tan【拓展】如圖，當(dāng)∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則CE＝CD·tan如圖，證明同上．例題講解例1、已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，在∠BAC所對弧BC上任取一點D，連接AD，BD，CD．（1）如圖1，若∠BAC＝120°，那么BD＋CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是什么？（2）如圖2，若∠BAC＝，那么BD＋CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是什么？解：（1）BD＋CD＝AD如圖3，過點A分別向∠BDC的兩邊作垂線，垂足分別為E、F．由題意可得∠ADB＝∠ADC＝30°易證△AEB≌△AFC∴BD＋CD＝2DE＝AD⑵BD＋CD＝2AD?sin．如圖4，作∠EAD＝∠BAC，交DB的延長線于點E．DDFBEOAC圖4則△EBA≌△DCA，所以BE＝CD，AE＝AD．作AF⊥DE于點F，則∠FAD＝．所以BD＋CD＝DE＝2DF＝2AD?sin．例2如圖1，將一個直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的對角線BD上滑動，并使其一條直角邊始終經(jīng)過點A，另一條直角邊與BC相交于點F．⑴求證：PA＝PE；⑵如圖2，將⑴中的正方形變?yōu)榫匦?，其余不變，且AD＝10，CD＝8，求AP：PE的值；⑶如圖3，在⑵的條件下，當(dāng)P滑動到BD的延長線上時，AP：PE的值是否發(fā)生變化？圖3圖3ADBEPFCADBPCE圖2ADPBEC圖1解：⑴如圖4，過點P分別作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分別為M，N．則PM＝PN，∠MPN＝90°，由已知條件可得∠APE＝90°，所以∠APM＝∠EPN，所以△APM≌△EPN．故AP＝PE．圖4圖4ADPBECNM⑵如圖5，過點P分別作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分別為M，N．則PM∥AD，PN∥CD．所以△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD．可得，所以．易證△APM∽△EPN，所以．圖5圖5ADBPCENM⑶AP：PF的值不變．[如圖，理由同⑵]圖6圖6ADBEPFCMN進階訓(xùn)練1．如圖，四邊形ABCD被對角線BD分為等腰Rt△ABD和Rt△CBD，其中∠BAD和∠BCD都是直角，另一條對角線AC的長度為2，則四邊形ABCD的面積為_________．AABCD第1題圖答案：四邊形ABCD的面積為2．【提示】易證A、B、C、D四點共圓，則∠BCA＝∠BDA＝∠ABD＝∠ACD，由“全等型之‘90°’”的結(jié)論可得S四邊形ABCD＝AC2＝2．2．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是BC邊的中點，∠EDF＝120°，DE與AB邊相交于點E，DF與AC邊（或AC邊的延長線）相交于點F．第1題圖1第1題圖1AEFCDBAEFCDBN第1題圖2⑴如圖1，DF與AC邊相交于點F，求證：BE＋CF＝AB；⑵如圖2，將圖1中的∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與AC邊的延長線交于點F，作DN⊥AC于點N，若DN＝FN，求證：BE＋CF＝（BE－CF）．答案：略．【提示】⑴過點D作DG∥AC交AB于點G，證△DEG≌△DFC，從而BE＋CF＝BE＋EG＝BG＝AB．第1題答圖1第1題答圖1AEFCDBG⑵過點D作DG∥AC交AB于點G，同⑴可得BE－CF＝AB＝DC＝，延長AB至點H，使得BH＝CF，則DH＝DF＝DE，從而BE＋CF＝HE＝DE＝×DN＝2DN，所以BE＋CF＝（BE－CF）．第1題答圖2第1題答圖2AEFCDBNHG3．在菱形ABCD中，兩條對角線AC，BD相交于點O，∠MON＋∠BCD＝180°，∠MON繞點O旋轉(zhuǎn)，射線OM交BC于點E，射線ON交CD于點F，連結(jié)EF．⑴如圖1，當(dāng)∠ABC＝90°時，△OEF的形狀是____；⑵如圖2，當(dāng)∠ABC＝60°時，請判斷△OEF的形狀，并說明理由；⑶如圖3，在⑴的條件下，將∠MON的頂點移動到AO的中點O'處，∠MO'N繞點O'旋轉(zhuǎn)，仍滿足∠MO'N＋∠BCD＝180°，射線O'M交直線BC于點E，射線O'N交直線CD于點F，當(dāng)BC＝4，且時，求CE