分式線性變換

§2分式線性變換一、教學(xué)目標(biāo)或要求：理解分式線性變換的映射性質(zhì)及應(yīng)用二、 教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)）:基本內(nèi)容：分式線性變換的映射性質(zhì)，例題重點(diǎn)：分式線性變換難點(diǎn)：應(yīng)用三、 教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)四、 思考題、討論題、作業(yè)與練習(xí)：4-11§2分式線性變換1、 分式線性變換及其分解分式線性變換的概念稱變換(7.3)az+b(7.3)w=—cz+d為分式線性變換或M6bius變換,其中的a,b,c,d為復(fù)常數(shù)，且ad-bc豐0.記規(guī)定宀°時(shí),d}S3d}S3-— =■=■=■線性變換0=丄仗）將擴(kuò)充M平面—變換為擴(kuò)充也平面,逆變換是線性變換。線性變換田=3可分解為以下二種類型變換的復(fù)合_a+b（I）田二血就（上丸）整線性變換（當(dāng)尸0時(shí)， ）

qj=—(II)忑反演變換qj=—(II)忑反演變換abe~ad型變換的幾何意義——整線性變換下，原象與象是不改變圖形方向的相似變換。旋轉(zhuǎn)變換)由=p乜+如卬=pz{p>0,伸縮變換)中十母(平移變換)k(II)型變換的幾何意義。ik=i(關(guān)于單位圓周的對(duì)稱變換)型二一< 2zl^=f〔關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱變換)1￡ZJ=— I_-.2其中壬具有性質(zhì)：田，并且對(duì)稱點(diǎn)都在過(guò)單位圓心。的同一射線1(D=—上。忑把平面上的單位圓周映成也平面上的單位圓周，并把單位圓周內(nèi)(外)部映成單位圓外(內(nèi))部。規(guī)定圓心□易8為關(guān)于單位圓周的對(duì)稱點(diǎn)。線性變換的復(fù)合仍是線性變換。幾個(gè)初等函數(shù)的映射性質(zhì)1.w二z+h(h為常數(shù))的映射性質(zhì)：是--個(gè)平移變換.在復(fù)平面處處是保角的.這是因?yàn)?，在?fù)平面上處處有w'二1豐0.將圓周映射為圓周.w二kz(k為常數(shù)，且k主0)的映射性質(zhì)：是旋轉(zhuǎn)與伸長(zhǎng)(或縮短)變換的疊加.在復(fù)平面上處處是保角的.這是因?yàn)椋瑆'二k鼻0在復(fù)平面上處處成立.w=—的映射性質(zhì)：z該映射稱為反演變換或倒數(shù)變換，它是相繼施行兩個(gè)對(duì)稱變換的結(jié)果，一是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，二是關(guān)于單位圓周對(duì)稱.在復(fù)平面上除z二0外，處處是保角的.

（3）將圓周映射為圓周.對(duì)于z平面上的圓周（或直線）A（x2+y2）+Bx+Cy+D=0映射w=-z當(dāng)A豐0,D豐0時(shí)，將圓周映射為圓周;當(dāng)A豐0,D=0時(shí)，將圓周映射為直線;當(dāng)A=0,D豐0時(shí)，將直線映射為圓周;當(dāng)A=0,D=0時(shí)，將直線映射為直線.分式線性變換的映射性質(zhì)（7.3）式的“結(jié)構(gòu)”是由平移變換、旋轉(zhuǎn)與伸長(zhǎng)（或縮短）變換及反演變換復(fù)合而成.1.線性變換的保形性1a?=—定義兩曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的交角是指它們?cè)诜囱葑儞Q 之下的象曲線在原點(diǎn)處的交角。定理7.7線性變換田=3在擴(kuò)充復(fù)平面上是保形的。證由于由=珥刃在擴(kuò)充復(fù)平面是單葉的，故只需證其保角。對(duì)于（II）型變1,1n=— Q）= 0換 ，當(dāng)小〕，"苗時(shí)， ，由定理7.4知解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不為°處保角，當(dāng)工=°,￡=g時(shí)，由定義知也是保角的。對(duì)于（I）型變丄田，則A=1換印=血十為，伏士?！?，劉=比工0,當(dāng)"8時(shí)是保角的；當(dāng)忑=g時(shí)，令 丄田，則^(0)=0....+故田=耘+克技皿）在廠8處也是保角的。綜上所述，即得。3.線性變換的保交比性定義7.4擴(kuò)充復(fù)平面上相異的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的量習(xí)一習(xí)衍一習(xí)稱為它們的交比，記為也宀宀円）；當(dāng)四點(diǎn)中有一個(gè)為8時(shí)，包含此點(diǎn)的項(xiàng)用1代替，z、11_ （巴6，勺，6）= : 即若Z1=CO，貝U 引—習(xí)幻七2,也就是先將習(xí)當(dāng)作有限的，再令取極限而得。定理7.8線性變換下，四點(diǎn)的交比不變。迥=衛(wèi)②）=衍"證記 迢七「12沁，則（—=1234），故（ad （—=1234），故田i-g= —7（罔+/）（迅?+/）（眄，遲，劭，少4）= : 5一◎蟲(chóng)3一碼_習(xí)_￡].與_石=住1用2,勺用4）若可“（21,234）中有一個(gè)為g,則類似可證。定理7.9設(shè)線性變換得擴(kuò)充工平面上的三個(gè)相異點(diǎn)石耳宀指定變?yōu)榻薪修z，則此線性變換被唯一確定，并且可寫(xiě)為田一週生一電_E_西忑3_￡]少一吟見(jiàn)_巴忑一石q巧—込2（即三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定一個(gè)線性變換）。_az-^b證設(shè)伽-加7,滿足週QT2可。由加-如皿知,l3'z+Z?'Lj ￡U= 忑恥“四個(gè)常數(shù)中至少一個(gè)不為0,不妨設(shè)八0,則八十1，將叫叫込代入，由方程組的理論，川Q0是唯一確定的。例試求將點(diǎn)g,0,1分別映射為點(diǎn)0,1,g的分式線性變換.解令z=g,z=0,z=1，w=0,w=1,w=g，則由（7.11）式得1 2 3 1 2 3w=-^即為所求.1-z線性變換的保圓周性定理7.10線性變換將平面上的圓周（直線）變?yōu)閳A周或直線。證1°顯然整線性變換（I）田=耘+克弱皿〕將圓周（直線）變?yōu)閳A周（直線）,1=一 ..丁對(duì)反演變換（II） ,將直線眩+五P 變?yōu)椤?聞+軸圖=0，當(dāng)c=0時(shí)表示直線，當(dāng)"0時(shí)，?！?表示圓周。同樣,=1_2由；將圓周 缶臣+屁+0莎*=0（*#,制〉檢）變?yōu)椤皇?皿+M帀=0，當(dāng)c=0時(shí)表示直線，當(dāng)"0時(shí)表示圓周。2°若將擴(kuò)充復(fù)平面上的直線看作半徑無(wú)窮大的圓周，則線性變換在擴(kuò)充復(fù)平面上將圓周變換成圓周。3°要確定線性變換將忑平面上圓周D的內(nèi)部變換為"平面圓周「的內(nèi)部還是外部有兩種方法?？梢栽賃內(nèi)部取一點(diǎn)可，若%=啦，在「的內(nèi)（外）部，則變換田=血〕將D的內(nèi)部變換成「的內(nèi)（外）部；也可用另一種方法,在u上依次取三點(diǎn)，當(dāng)觀察者繞c依習(xí)耳宀方向進(jìn)行時(shí)，區(qū)域若在C的左側(cè)，則在①平面上相應(yīng)依次沿乃蟲(chóng)也），也蟲(chóng)⑵），巧蟲(chóng)也）繞行時(shí)，田f）確定的相應(yīng)區(qū)域仍在觀察者左側(cè)。線性變換的保對(duì)稱點(diǎn)性定義7.5%習(xí)關(guān)于圓周\z~a\=R對(duì)稱是指％習(xí)都在過(guò)圓心總的同一射線上，且|可_打|衍_國(guó)=應(yīng)；約定吃與g對(duì)應(yīng)。

定理7.11設(shè)w=f(z)為分式線性變換，若擴(kuò)充z平面上兩點(diǎn)與乙?關(guān)于圓周c對(duì)稱，則w=f(Z])與w=f(乙2)兩點(diǎn)關(guān)于圓周cc=f(c)對(duì)稱.定理7.12設(shè)石宀關(guān)于圓周c'^~a\=R對(duì)稱，貝V吋Eg%7竝關(guān)于「70)對(duì)稱。線性變換的應(yīng)用1?求將上半平面保形變換為上半平面的線性變換。_az-^b證由于此變換將實(shí)軸變換為實(shí)軸，故 比+/,忑肚謳均為實(shí)數(shù)。又取Im=Im=Ln則ad-beaz+b■ _ GJ= _LJ即ad-be>0，故所求變換為 滿足 均為實(shí)數(shù)且ad~bc>02.求將上半平面Imz>0映射為單位圓|w|<1的分式線性變換，且使點(diǎn)z二a(Ima>0)映射為點(diǎn)w=0解用構(gòu)造法.依題意，所求映射應(yīng)將z平面上的實(shí)軸映射為w平面上的單位圓周c:\w\=1.由于要求將點(diǎn)z=a映射為點(diǎn)w=0，而關(guān)于z平面上的實(shí)軸與點(diǎn)a對(duì)稱的點(diǎn)是a，關(guān)于w平面上的圓周c與點(diǎn)w=0對(duì)稱的點(diǎn)是g，所以，由分式線性變換具有保對(duì)稱點(diǎn)性可知，擬求映射除應(yīng)將點(diǎn)z=a映射為點(diǎn)w=0外，還應(yīng)將點(diǎn)z=a映射為點(diǎn)w=g?又因所求映射是分式線性變換，故可構(gòu)造為

w=k二,k為待定系數(shù)z—a為確定k，只須利用該變換需將實(shí)軸上的點(diǎn)z二x映射為單位圓周WI=1上的點(diǎn)的事實(shí)，即當(dāng)z二x時(shí)，有|w|二k二x—a由此得k二eiO,9為任意實(shí)數(shù).至此，便得w=ei9 ,Ima>0,9為任意實(shí)數(shù) （7.12）z—a經(jīng)驗(yàn)證，（7.12）式即為所求.事實(shí)上，當(dāng)z=x時(shí)，由（7.12）式得W|=W|=|ei9|又（7.12）式是分式線性變換，故（7.12）式將z平面上的實(shí)軸（上半平面的邊界）映射為W平面上的圓周|W=1（單位圓的邊界）.又由于當(dāng)z=a時(shí),由（7.12）式得w=0，而該點(diǎn)位于圓|w|<1中，所以，由保域性定理（定理7.1）可知，（7.12）式將Imz>0映射為|w|<1，且將點(diǎn)a（Ima>0）映射為點(diǎn)w=0．至于（7.12）式是分式線性變換是明顯的，故（7.12）式即為所求．3.求將|z|<1映射為|w|<1的分式線性變換，使得點(diǎn)z=a（|a|<1）映射為點(diǎn)w=0（圖2）．解用構(gòu)造法.依題意，所求映射應(yīng)將z平面上的單位圓周c:|z|=1映射為W平面上的單位圓周cI|w|=1.由于要求將點(diǎn)a（|a|<1）映射為點(diǎn)w=0，而關(guān)于圓周c與點(diǎn)a對(duì)稱的點(diǎn)是丄a

（見(jiàn)圖7-2）,關(guān)于圓周c，與點(diǎn)w二0對(duì)稱的點(diǎn)是-，所以，由分式線性變換具有保對(duì)稱點(diǎn)性可知，所求變換應(yīng)將點(diǎn)z二Q映射為點(diǎn)w=0，且將點(diǎn)z=1映a射為點(diǎn)w=8，又因所求變換是分式線性變換，故可構(gòu)造為w=k，斗,k'為待定系數(shù)z-aw=-ak1-az令k=—ak'，得w=k3±,k為待定系數(shù)1—az為確定k，利用c上的點(diǎn)的像一定位于c'上的事實(shí)，不失一般性，可取點(diǎn)z=1代入上式后應(yīng)滿足|w|=1，即岡=岡=lkl-1—a于是，k=eiQ,9為任意實(shí)數(shù)?于是，經(jīng)驗(yàn)證w=w=ei9i—ai，a<1，9為任意實(shí)數(shù)7.13)即為所求．a(chǎn)z+bw= 小例若a、b、c、d均為實(shí)數(shù)，且ad-bc>0,則cz+d將上半平面Imz>0保形變換為上半工半平臺(tái)Imw>0。az+b

w= 證明：因?yàn)閍，b，c，為實(shí)數(shù)。所以cz+d將實(shí)數(shù)變?yōu)閷?shí)數(shù)，從而此變換將實(shí)軸Imz=0變?yōu)閷?shí)軸Imz=0。dwad—be>°且當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，dz (cz+db 即f'(x)>0,argf'(x)且當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，00這表明實(shí)軸經(jīng)過(guò)變換后的旋轉(zhuǎn)角為零，即將正