分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的學(xué)習(xí)

分?jǐn)?shù)階PID系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階PID的簡介在設(shè)計實(shí)際的控制系統(tǒng)時，對于一些復(fù)雜的實(shí)際系統(tǒng)，用分?jǐn)?shù)階微積分方程建模要比整數(shù)階模型更簡潔準(zhǔn)確。分?jǐn)?shù)階微積分，指微分、積分的階次可以是任意的或者說是分?jǐn)?shù)的，它擴(kuò)展了大家所熟知的整數(shù)階微積分的描述能力.在很多方面應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)學(xué)模型，可以更準(zhǔn)確地描述實(shí)際系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)?分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)學(xué)模型，可以提高對于動態(tài)系統(tǒng)的設(shè)計、表征和控制的能力。PID控制是控制系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛、技術(shù)最成熟的控制方法.由于其結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn),被廣泛地應(yīng)用于冶金、電力和機(jī)械等工業(yè)過程中，具有很強(qiáng)的生命力.將分?jǐn)?shù)階控制理論和PID控制器整定理論相結(jié)合，是一個很新的研究方向.分?jǐn)?shù)階PID控制器由I.Podlubny教授提出，其一般格式簡記為pi入d「由于引入了微分、積分階次人和“，整個控制器多了兩個可調(diào)參數(shù)，所以控制器參數(shù)的整定范圍變大，控制器能夠更靈活地控制受控對象，可以期望得出更好的控制效果?？梢哉f，分?jǐn)?shù)階PID控制器的出現(xiàn)是分?jǐn)?shù)階控制理論歷史上的一個里程碑，為分?jǐn)?shù)階控制理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)?分?jǐn)?shù)階控制的意義就是對于古典的整數(shù)階控制的普遍化，它可以提供建立更多的模型。二分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分?jǐn)?shù)階微積分分?jǐn)?shù)階微積分屬于一種基本數(shù)學(xué)工具，在控制科學(xué)方面，分?jǐn)?shù)階微積分方程可以用來很好的對分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能分析，分?jǐn)?shù)階微積分就像一門新的語言一樣，有它自己獨(dú)特的邏輯和語法規(guī)則.在分?jǐn)?shù)階微積分領(lǐng)域里，為了更好地明白那些基本原則需要開發(fā)新的定義與原理?在仔細(xì)分析的基礎(chǔ)上，還要證明對于描述函數(shù)、系統(tǒng)的方法和操作是正確的.因此，分?jǐn)?shù)階微積分不僅是更好的建模工具，而且還可以從數(shù)學(xué)上精確證明系統(tǒng)的正確性.分?jǐn)?shù)階微積分的基本操作算子為D:，其中a和t是操作算子的上下限，at為微積分階次。-Di=SL =0.寫（姑）（-叫7?@）＜0常 用的分?jǐn)?shù)階微積分定義是Riemann-Liouville定義和Grunwald-Letnikov（GL）定義。RL定義為

r（77i—a）?。﹔（77i—a）丁）-dr式中（m-1<a<m）,「（?）為Gamma函數(shù)，其積分定義式為「（z）二Je-ttz-1dt,0滿足基本性質(zhì)r（z+1）=z廠（z）。GL定義為r（k+1）f（t-kh）Da通過引入分?jǐn)?shù)階操作算子乂"t積分和微分可以被統(tǒng)一在一起.描述分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)更常用的代數(shù)工具是拉氏變換。在t=0時刻加入的信號x（t）的n（n€R+）階微分的拉氏變換為L{Dnx（t）}=snX（s）對于分?jǐn)?shù)階微積分方程，如果在t=0時刻有輸入與輸出信號u（t）和y（t）,傳遞函數(shù)為G（5G（5）=5嚴(yán)十血嚴(yán)H Fb#1十b護(hù)T——+bmBs^其中（am，bm）€R2;（am，bm）€R2 。+三分?jǐn)?shù)階數(shù)字PID控制器分?jǐn)?shù)階PID控制器的一般形式為PI入D口控制器，包括一個積分階次人，和微分階次“，其中,人和“可以是任意實(shí)數(shù).其傳遞函數(shù)為Gc[s^= H—$~hI'd*"*（入*“>°）這里積分項(xiàng)是s九,就是說，在相頻的對數(shù)圖中，它的斜率是-20人dB/dec,而不是-20dB/dec。在時域中控制信號u(t)可以表示為KPe(t)十KtD~xe(t)十KdD^e(t)古典的整數(shù)階PID控制器是分?jǐn)?shù)階PID控制器在A=1和p=1時的特殊情況.當(dāng)A=1,p=0時，就是PI控制器；當(dāng)A=0,/J=1時，就是PD控制器.?？梢?，所有這些類型的PID控制器都是分?jǐn)?shù)階PID控制器的某一個特殊情況。分?jǐn)?shù)階PID控制器多了兩個可調(diào)的參數(shù)A和J通過合理地選擇參數(shù)，分?jǐn)?shù)階PID控制器可以提高系統(tǒng)的控制效果，分?jǐn)?shù)階控制器是古典整數(shù)階控制器的一般化。分?jǐn)?shù)階PID控制器對于用分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型描述的動態(tài)系統(tǒng)，可以取到很好的控制效果。四分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的應(yīng)用前景分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)而二十世紀(jì)晚期由理論階段邁向?qū)嶒?yàn)及應(yīng)用階段，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)迅速在應(yīng)用數(shù)學(xué)、醫(yī)療、材料和信息科學(xué)等許多基礎(chǔ)研究領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，在控制科學(xué)方面，分?jǐn)?shù)階微積分方程可以用來很好的對分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能分析，近二十年來利用分?jǐn)?shù)階微積