(文科)簡單的線性規(guī)劃

1.已知函數(shù)（其中）經(jīng)過不等式組所表示的平面區(qū)域，則實數(shù)的取值范圍是??????．【答案】（0,1）【分析】不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，由圖得，當過點（0,1）時a最大，此時a=1；當過點（0,0）時a最小，此時a=0.由平面區(qū)域不包括邊界，所以a的取值范圍是（0,1）.第1題圖zll882.設(shè)x，y滿足約束條件：，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，則的最小值為．【考點】 簡單線性規(guī)劃．【答案】3+2【分析】由z=ax+by（a＞0，b＞0）得，∵a＞0，b＞0，∴直線的斜率，作出不等式對應的平面區(qū)域如圖：平移直線得，由圖像可知當直線經(jīng)過點A時，直線的截距最大，此時z最大．由，解得，即A（2，4），此時目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，即2a+4b=2，∴a+2b=+=（+）×1=（+）×（a+2b）=1+2++3+2=3+2，當且僅當=，即a=b時取等號．故最小值為3+2.第2題圖zl2003.函數(shù)的最大值是____．【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學中有關(guān)于函數(shù)的基本知識.【考點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖像的做法.【答案】4【分析】x≤0時，y=2x+3≤3，0＜x≤1時，y=x+3≤4，x＞1時，y=x+5＜4.綜上所述，y的最大值為4.故答案為4.4.已知實數(shù)x、y滿足，則z=2x－y的取值范圍是____________．【考點】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【答案】[－5，7]【分析】畫出可行域，如圖所示解得B（－1，3）、C（5，3），把z=2x－y變形為y=2x－z，則直線經(jīng)過點B時z取得最小值；經(jīng)過點C時z取得最大值．所以zmin=2×（－1）－3=－5，zmax=2×5－3=7．即z的取值范圍是[－5，7]．故答案為[－5，7]．zac002第4題圖【點評】本題考查利用線性規(guī)劃求函數(shù)的最值．5.已知滿足條件≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域面積為，滿足條件≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為，其中[x]、[y]分別表示不大于x，y的最大整數(shù)，例如：[－0.4]=－1，[1.6]=1，則與的關(guān)系是（） A． ＜ B．= C．＞ D．+=π+3【考點】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【答案】A【分析】滿足條件≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域為一個圓,其面積為π.當0≤x＜1，0≤y＜1時，滿足條件≤1；當0≤x＜1，1≤y＜2時，滿足條件≤1；當0≤x＜1，－1≤y＜0時，滿足條件≤1；當－1≤x＜0，0≤y＜1時，滿足條件≤1；當0≤y＜1，1≤x＜2時，滿足條件≤1；∴滿足條件≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域是五個邊長為1的正方形，其面積為5.綜上得與的關(guān)系是＜，故選A．zac008第5題圖【點評】本題類似線性規(guī)劃，處理兩個不等式的形式中，第二個難度較大≤1的平面區(qū)域不易理解．6.設(shè)x、y滿足，則z=x＋y()A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，無最大值C.有最大值3，無最小值D.既無最小值，又無最大值【答案】B【分析】由z=x＋y，得y=－x＋z，令z=0，畫出y=－x的圖像，當它的平行線經(jīng)過點（2,0）時，z取最小值2，無最大值.7.已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3,則z=2x－3y的取值范圍是______.(答案用區(qū)間表示)【答案】（3,8）【分析】畫出不等式組表示的可行域，在可行域內(nèi)平移直線z=2x－3y，當直線經(jīng)過x－y=2與x＋y=4的交點(3,1)時，目標函數(shù)有最小值z=2×3－3×1=3；當直線經(jīng)過x＋y=－1與x－y=3的交點(1,－2)時，目標函數(shù)有最大值z=2×1-3×(-2)=8.8.不等式組，所表示的平面區(qū)域的面積等于（）A.B.C.D.【答案】C【分析】由可得交點坐標為(1,1).即所表示平面區(qū)域面積為.9.滿足條件的可行域中共有整點的個數(shù)為（）A.3B.4C.【答案】B【分析】有4個整點，分別是(0,0),(0,－1),(1,－1),(2,－2).10.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元.該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是（）萬元.A.12B.20C.【答案】D【分析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y噸，則有.目標函數(shù)為z=5x＋3y.作出可行域后求可行域邊界上各端點的坐標，經(jīng)驗證知，當x=3,y=4時可獲得最大利潤27萬元.11.在平面直角坐標系中，點(－1,a)在直線x＋y－3=0的右上方，則a的取值范圍是（）A.(1,4)B.(－1,4)C.(－∞,4)D.(4,＋∞)【答案】D【分析】因為點(－1,a)在x＋y－3=0的右上方，所以有－1＋a－3＞0，解得a＞4.12.已知點M(x,y)滿足約束條件，點A(2,4),O為坐標原點，則z=的取值范圍是_______.【答案】[－6,38]【分析】目標函數(shù)為z==2x＋4y，作出約束條件的可行域，及直線：2x＋4y=0，平移直線經(jīng)過點(3,8)時，目標函數(shù)取得最大值z=2×3＋4×8=38，經(jīng)過點(3,－3)時目標函數(shù)取得最小值z=2×3＋4×(－3)=－6.13.能表示如圖陰影部分的二元一次不等式組是______.第13題圖YGZW2【答案】【分析】由圖易知陰影部分中，0≤y≤1，x≤0.又原點在直線2x－y＋2=0的右邊，則2x－y＋2≥0，故陰影部分可用不等式組表示.14.已知D是由不等式組所確定的平面區(qū)域，則圓=4在區(qū)域D內(nèi)的弧長為（）A.B.C.D.【答案】B【分析】如圖所示，圖中兩直線的斜率分別是，，所以圓心角α即為兩直線所成的夾角，所以tanα==1，所以α=，而圓的半徑是2，所以弧長是.第14題圖YGZW315.在平面直角坐標系中，若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則a的值為（）A.－5B.1C.【答案】D【分析】如圖，陰影部分即為滿足x－1≤0與x＋y－1≥0的可行域，而ax－y＋1=0的直線恒過(0,1),故看作直線繞點(0,1)旋轉(zhuǎn).當a=－1時，可行域不是一個封閉區(qū)域；當a=1時，面積是1；當a=2時，面積是；當a=3時，面積恰好是2.第15題圖YGZW416.已知約束條件，若目標函數(shù)z=x＋ay(a≥0)恰好在點(2,2)處取得最大值，則a的取值范圍為（）A.0＜a＜B.a≥C.a＞D.0＜a＜【答案】C【分析】畫出已知約束條件的可行域為內(nèi)部(包括邊界)，如圖，易知當a=0時，不符合題意；當a＞0時，由目標函數(shù)z=x＋ay得y=x＋，則由題意得－3=＜＜0，故a＞.第16題圖YGZW517.當x、y滿足約束條件(k為常數(shù))時，能使z=x＋3y的最大值為12的k的值為（）A.－12B.－9C.12【答案】B【分析】當z=x＋3y經(jīng)過直線y=x與直線2x＋y＋k=0的交點(－,－)時，z取得最大值12.所以由－＋3×(－)=12,求得k=－9.18.在如圖所示的坐標平面的可行域(陰影部分包括邊界)內(nèi)，目標函數(shù)z=2x－ay取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a為（）A.－2B.2C.第18題圖YGZW6【答案】A【分析】在中，=0，=,=－1.而令目標函數(shù)z=2x－ay=0，得所在直線的斜率為k=.因為目標函數(shù)取得的最大值的最優(yōu)解有無窮多個，所以必有目標函數(shù)所在的直線與三角形的某一邊所在的直線重合：（1）因為k=不可能等于0，所以目標函數(shù)所在直線不可能與直線AB所在直線重合；（2）當目標函數(shù)所在直線與邊AC重合時，即k==時，得a=6，則目標函數(shù)的最小值為z=2×1－6×1=－4的解有無窮多個；（3）當目標函數(shù)所在直線與邊BC重合時，即k==－1時，得a=－2.則目標函數(shù)的最大值z=2×5-（-2）×1=12的最優(yōu)解有無窮多個.19.若實數(shù)x、y滿足不等式組且x＋y的最大值為9，則實數(shù)m=（）A.－2B.－1C.1【答案】C【分析】將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，將m等價為斜率的倒數(shù).20.下面給出的四個點中，到直線x－y＋1=0的距離為，且位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是（）A.(1,1）B.(－1,1)C.(－1,－1)D.(1,－1)【答案】C【分析】把(1,1)代入x＋y－1得1＋1－1=1＞0，排除A；把(－1,1)代入得－1－1＋1=－1＜0，排除B；而(1,－1)到直線的距離為，排除D;故選C.21.設(shè)定點A(0,1),動點P(x,y)的坐標滿足條件，則的最小值是______.【答案】【分析】最小值即為點A到直線y=x的距離.22.若線性目標函數(shù)z=x＋y在線性約束條件下取得最大值時的最優(yōu)解只有一個，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】a≤2【分析】作出可行域如圖，由圖可知直線y=－x與y=－x＋3平行，若最大值只有一個，則直線y=a必須在直線y=2x與y=－x＋3的交點(1,2)的下方，故a≤2.第22題圖YGZW723.由約束條件確定的平面區(qū)域的面積S=____.周長C=_____.【答案】；8+【分析】如圖，其四個頂點為O(0,0)、B(3,0)、A(0,5)、P(1,4).過點P做y軸的垂線，垂足為C.則AC==1，PC==1，OC=4，OB=3，AP=,PB==,得=AC·PC=,=(CP＋OB)·OC=8.所以，S=＋=,C=OA＋AP＋PB＋OB=8＋＋2.shw11第23題圖24.求不等式≤2所表示的平面區(qū)域的面積.【解】原不等式等價于,作出以上不等式組表示的平面區(qū)域，如圖，它是邊長為的正方形，其面積為8.第24題圖YGZW825.如圖x、y滿足的可行域是圖中陰影部分(包括邊界).若函數(shù)t=ax－2y在點(0,5)取得最小值，求a的取值范圍.第25題圖YGZW9【解】由圖易得，x、y滿足的約束條件為，將目標函數(shù)t=ax－2y改為斜截式y(tǒng)=－，－表示直線在y軸上的截距，欲求t的最小值，可轉(zhuǎn)化為求－的最大值.當a≥0時，顯然直線在點(0,5)處，－取得最大值；當a＜0時，依題意，≥－1，易得－2≤a＜0.綜上所述，a≥－2時，函數(shù)t=ax－2y在點(0,5)取得最小值.26.若a≥0，b≥0，且當時，恒有ax＋by≤1，求以a、b為坐標的點P(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積.【解】作出線性約束條件